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1、微专题10求函数的值域问题【方法技巧与总结】函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较更杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法:将函数视为关于自变量的二次方程,利用判别式求函数值的范围,常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解
2、析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.【题型归纳目录】题型一，常见(一次函数、二次函数、正反比例函数等)函数的值域题型二，复杂(根式型、分式型等)函数的值域题型三：抽象函数的值域题型四：复合函数的值域题型五：判别式法求值域题型六：根据值域求参数的值或者范围问题题型七：根据函数的值域求定义域【典型例题】题型一：常见(一次函数、二次函数、正反比例函数等)函数的值域例1.已知=则/()
3、的值域为.【答案】(1,北)【解析】令f=四，则=1+h1,所以1.=fT,XXX所以“f)=(ry+l,故/(力的解析式为f()=(-l)2+l(l),其值域为(l,a)故答案为：(1,E).例2.函数），=的值域为.-X+x+2【答案】（f,o）uG,+）【解析】由题得一2+2wo,.w且2.1QQ因为一2+2=-(x-7r)2+,=-2-+=-(z+1)2+l.22222因为f0,所以y,即函数/()的值域为(-,g.例5.作出下列函数的图象，并根据图象求其值域：(l)y=-3x+4,x-l,3;4(2)y=-px?3,O)7(O,l.【解析该函数的图象如图所示，由图可知值域为-5,刀；
4、(2)作出函数y=-3x?3,0)?(0,1的图象，如图所示，由图象可知值域为(-8,-4D,oo题型二,复杂(根式型、分式型等)函数的值域例6.求函数)，=f+4正57的值域.【解析】令则=1,由do及i-2o,得OWYwg,所以0tl,1_/2、1则y=+4/=一一Z2+4/+-(0Zl)222为开口向下的二次函数，对称轴为/=4,故在小。1单调递增因此当，=0时，11in=g：当，=1时，y11m=4故函数的值域为；,4.例7.函数尸第；5,10的值域是:X3,-2)U(T1)的值域是【答案】y,卜吗1亿+2x-l2(x+2)-5x+2x+2【解析】)，如下:QIQ所以x5,10的值域是
5、因为当x=-3时y=7,当=l时y=g,故答案为：小哥：s,；)=。，”)例8.函数y=2J-+4的值域是【答案】0,2.【解析】-V+4%=-(x-2)2+44,-2+4x0,0-x2+4x4，OJ-X2+4X2，-2故函数y=2-J/+4X的值域是0,2.故答案为：0,2例9.己知函数/(X)=丁丁的值域是口,2,那么函数X)的定义域是.3-2x【答案】.【解析】=-=-1Y由lf(x)2得3-5,即l3-2%g,解得xl,所32x213-2x/3-2x33以f(x)的定义域是3故答案为：!例10.已知函数/(X)=三的定义域为。+),则函数/U)的值域为()x+1A.-2,-o)B.-2
6、,；C.0,D.,+【答案】CH、=X=1【解析】zw77i-j,定义域为W,E),且/()=oX+-Xt(x)=x+-,x(0,3),利用对勾函数的性质知，当x(0,l)时，函数单减：当时，函数单增；f(x)min=1)=2,即f(x)N2,0,x0,l,即函数”力的定义域为0,1l-xO令二后+JI-X则f2=1+2x-x2=2j1-g)+：+11,2,rl,y=-l+r=-l(r-l)2+l,当且仅当f=l时/(x)有最大值为1,当=1时，X=O或1满足.故选：D例12.(多选题)己知函数Fa)=Jr7,g(x)=7,下列说法正确的是()A.F(X)g(x)的最大值为1B.2/(幻一g(
7、x)的值域为-,20f(X)C.f(x)+g(x)的最大值为2D.供在(1,3)上单调递减g()【答案】ABC【解析】A：f(x)g(x)=y-x2+4x-3=y-(x-2)2+l,x1,3当=2时F(X)g(x)的最大值为I,故IE确;B：2f(x)-g(x)=2T-3T,xe1,3ii,值域夜,2立,故正确：C：f(x)+s(x)=7T3T2(7T)2(37)2=2,当且仅当X=2时取等号，故正确：D：瑞=JIm=J在(1,3)递增，故错误；故选：ABC.例13.函数y=J3-j2x+4的值域为.【答案】-l,5【解析】因为3XO2x+40所以一2xW3,所以此函数的定义域为卜2,3,又因
8、为y=万；-07Z是减函数，当X=-2时y=y3x-J2+4取得最大值6当X=3时y=13-x-j2x+4取得最小值-V11),所以值域为-加6故答案为：-1O,.例14.关于函数F(X)二不、的性质描述，错误的是.k+7/(X)的定义域为-1,0)U(0,1；/(X)的值域为R：在定义域上是减函数；“外的图象关于原点对称.【答案】J_21X2.0【解析】函数/(X)=J：,满足Ill1，解得一1.,x-1,+oo)=f(X)=七;=-JgTG3，。，XIX+11-1Xya当Xe(0,IJ时，fw(0,l=!el,y)=/a)=，i三=三=J10,+e),所以函数值域为R,故正确.虽然xT,。
9、)时，函数单调递减，当Xe(O,1时，函数单调递减，但在定义域上不是减函数，故错误.由于定义域为T,O)D(0,H,/(x)=r-S7=又一匚，则“-)=(),/(X)是奇函数，其图象关x+l-lX于原点对称，故正确.故答案为：题型三：抽象函数的值域例15.已知函数/(M的定义域为(l,+),值域为R,则()A.函数/(/+1)的定义域为RB,函数/(丁+1)-1的值域为RC.函数/(d+2x+2)的定义域和值域都是RD.函数/(/(力)的定义域和值域都是R【答案】B【解析】对于A选项：令/+11,可得XH0,所以函数/(9+1)的定义域为上工0,故A选项错误;对于B选项：因为/(x)的值域为
10、R，x2+l所以/任+1)的值域为I1.可得函数/卜的值域为R,故B选项正确；对于C选项：令f+2+2l,得xT,所以函数/(f+2x+2)的定义域为卜打工-1,故C选项错误;对于D选项：若函数/(/(力)的值域为R,则/Wl,此时无法判断其定义域是否为R,故D选项错误.故选：B例16.已知函数/(X)对任意xR,都有F(X)=-Y(X+2),当xeO,2时，/(x)=-+2,则函数/(x)在-2,6上的值域为()A.0,IB.一；，0C.-2,0D.-2,4【答案】D【解析】当Xe。，2时,/(x)=x(2-x)=l-(x-l)20,1,则当XGI-2,0时，即x+20,2J,所以F(X)=
11、-gf(+2)e0；当x2,4时，即x-2wO,2,由/(x)=-J(x+2),得/(x+2)=-2f(x),从而f(x)=-2r-2)e-2,0:当x4,6时，即x-22,4,则f(x)=-2(x-2)0,4.综上得函数/(x)在1-2,6上的值域为-2,4.故选：D.例17.已知定义在R上的函数X)满足+l)=),若函数g(x)=(X)T在区间1,2上的值域为7,3,则g(x)在区间-2021,2021上的值域为.【答案】-2020,2025【解析】因为g(x+l)=/(x+l)(x+l)=f(x)xl=g(x)l,故对任意的整数%,当xk+l,%+21时，x-1,2,而g(x)=g(x-l)-l=g(x-2)-2=g(%-A)&且g(x-Ar)w-l,3,故g(x)w-l-k,3-4，故g(x)在区间-2021,2021上的值域为：yI-2020y-2016y-209y-2015y2021y2025,
