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1、微专题23恒成立、能成立问题【方法技巧与总结】1.利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：(1)xD,7w(x)w(x)min;xD,m/(x)m/(x)11w；(3) 3xO,w(x)w(x)m;(4) BxeD,mfx)mfxn.n.2.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数y=f(x),x三a,h,y=g(),xc,J.(1)若,b,2c,有/(3)Vg(W)成立,则/(x)maxvg(%)mta;(2)若“斗,3x2ec9dt有/(5)g(x2)成立，则f(x)maxvg(x)nm;(3)若,b,3x2ec,dt有f&)vg(w)成立,
2、则/(x)mill屋”皿；若,可,3c,有/(%)=g(x2)成立，则/的值域是g(x)的值域的子集.【题型归纳目录】题型一：分离参数题型二：判别式法题型三：数形结合题型四：多变量的恒成立问题题型五：主元法题型六：直接法【典型例题】题型一：分离参数例1.若对任意lx2,有/Wa恒成立，则实数的取值范围是()A.0a2)B.424C.aW5D.aa5【答案】B【解析】因为对任意lx2,有VW。恒成立，所以(r1.因为lx2,所以0fv4,所以4,故选：B14例2.对于满足等式一+丁二二1的任意正数。力及任意实数xl,+8）,不等式+b-r2+6x-”恒成立，则实数?的取值范围为（）A.2,+oo
3、）B.l,+）C.0,+）D.-3,+）【答案】B14【解析】因为任意正数。力满足等式上+=1,所以+b=+(b+l)-1ab+=4+织+t4+2、目三ab+1Yab+1当且仅当b+l=2=6,即a=3,b=5时等号成立,因为任意实数xw1，+0）,不等式+b-W+6X-川恒成立,所以，%-2+6x-8对任意实数XeU,+00）恒成立，因为xl,+oo）时，f+6x8=-（工一3）2+11,当且仅当x=3时等号成立,所以，mt即实数的取值范围为口,+）故选：B例3.已知对任意?1,3,潘一如一1V一帆+5恒成立，则实数X的取值范围是（）A.p+00fl-5I+6、22【答案】D【解析】对任意M
4、w1.3,不等式如2-3-1-小+5恒成J.即对任意1,3f+）6恒成立，所以对任意mwl,3,f7+9恒成立,m所以对任意相x2-x+l=2,所以f+l2,解得匕叵v0恒成立，则实数0的取值范围是（）1C.wlD.,O恒成立，可得。x在，2上恒成立，即即a1.故选：D.变式2.若关于工的不等式/一61+11-。0在区间(2,5)内有解，则实数4的取值范围是A.6,+)B.(6,+)C.2,-HX)D.(2,+)【答案】D【解析】由关于工的不等式V-6x+ll-。W_6x+Il在区间(2,5)内有解，令/(幻=-6x+ll,则a(x)Irin=/(3)=918+11=2,即。2,所以实数。的取
5、值范围是(2,F8).故选：D.题型二：判别式法例4,若关于X的不等式(/-4)f+g+2)x-l0的解集不为空集，则实数的取值范围为()A.f-2,B.-2,g1 5_5C.(-,-2)kJp+oo)D.(-,-2u,+j【答案】C【解析】根据题意，分两种情况讨论：当。2一4=0时，即。=2,若。=2时，原不等式为4xT0,解可得：x1,则不等式的解集为卜x(,不是空集；若。=-2时，原不等式为-l0,无解，不符合题意；当/-40时，即w2,=(+2)2+4(-4)0若(a2-4)x2+(。+2)%10的解集是空集，则有,则当不等式(/-4)/+(+2口-1的解集不为空集时，有八一2或且2,
6、综合可得：实数。的取值范围为(9,-2)06,+8);故选：C.例5.关于X的不等加+r+-lO的解集为R,则()A.(-5O)B.(O,+oo)C.(0,1)D.S，0【答案】D【解析】当=0时，ax2+0v+-l=-l0对xR恒成立，符合题意；当4。O时，构造y=r2+v+1,要使yv对xR恒成立，由二次函数的图像可知：0且A=2-4a(a-1)=-3a2+4a0,解得：a0综上：0.故选：D.例6.已知关于X的不等式m+2nr+20的解集为R,则实数机的取值范围是()A.0n2B.0m2C.7O或m2D.，2【答案】B【解析】肖机=0时，则20恒成立，?=0成立；(m0当m0时，则1.M
7、。,八，解得0vm2;(=4m-8z0综上所述：实数m的取值范围为O72.故选：B.变式3.若不等式2履?+履-JVO对一切实数都成立，则A的取值范围是()OA.-3,0B.(-00,-3)u(O,+oo)C.(-3,0D.(-co,-3ljO,+)【答案】C【解析】当仁0时，-?0对一切实数X都成立，故2=0符合题意；当女工O时，要使不等式2旅2+H-JvO对一切实数X都成立，Ok0恒成立，则，的取值范围是()A.w-2w2)B.r-2n2)C.d72D.ml机0恒成立，满足题意.当2Wo时，则有C八,解得：-2v机0=4(zn-2)2-4(2-w)4O对任意实数X都成立，则实数。的取值范围
8、是()A.3-2应或0B.a3-223+22C.“3+2)D.3-2O,即x0对任意实数”都成立，由一元二次函数性质可知，。0且判别式A=(10)f-40,Wf3-223+22.故选:D.题型三：数形结合例7.己知定义在R上的函数/(幻满足/(x)=(-x),且在(0,”)上是增函数，不等式/(0v+2),J(T)对于Xt1,2恒成立，则的取值范围是()3I13A.(cof1B.(co,C.31D.12222【解析】解：由题可知，/*)的图象关Jy轴对称，I1.函数/(x)在(F,O)上递减，由函数/(x)的图象特征可得-啜如+21隹1,2上恒成立，得颈h在1,2上恒成XX故选：O例8.当X(
9、1,2)时，不等式X-IVIOg“X恒成立，则实数”的取值范围为()A.(0,1)B.(1,2)C.(1,2D.(2,-Hx)【解析】解：.,函数y=x-l在区间(1,2)上单调递增，当Xe(l,2)时，y=X-1(0,1),若不等式XTl且1.,log2即t(l,2故选：C.例9.当x(l,2)时，不等式(x-l)2log.x恒成立，则实数4的取值范围为()A.(2,3B.4,+oo)C.(1,2D.2,4)【解析】解：.,函数y=(x-l)2在区间(1,2)上单调递增，当x(l,2)时，y=(x-l)2(0,l),若不等式(4-1)?1且1.,log“2即ae(l,2,故选：C.变式6.存
10、在x3,4使得Xa-f,l成立，则实数的取值范围是3【解析】解：由题意，存在xe3,4使得(x-a),-,设X/(x)=(x-)2,x3,4,g(x)=一,x3,4，且8(幻”皿.=:，g(x)min=7X34如图,当a,3时，函数/(x)在3,4上单调递增,此时只需f(X)mitt=/(3)=(3-)2,1,解得3-走弱h3+且，故3-走殁Ih3：333如图，当3vv4时，函数/(%)的最小值为/Cr)*=/（八）=0,显然恒成立，如图，当口.4时，函数/(x)在3,4上单调递减，此时/(。.=/(4)=(4-编2,，4解得工领h2,故4领h2；222综上，实数。的取值范围是3-例10已知函
11、数/*)=/+公+2,。R.若不等式*)0的解集为2,求不等式/(x)l-Y的解集;(2)若对于任意XG不等式*)24(x-l)+4恒成立，求实数。的取值范围；(3)已知g(x)=-x+“z,当a=-3时，若对任意X1,4,总存在e(l,8),使/()=g(4)成立，求实数机的取值范围.【解析】(1)由题意，U为方程/+r+2=的两个不等实数根，.l+2=-n=-3,所以不等式/(x)l-为X*3x+21-x?=2%2-3x+1O，解得xg或X21,所以不等式解集为(-Wh+).(2) fWx2-ax+2a-2Qe-Af-t令(X)=X2-Or+2-2,即MX)0对XeI-1恒成立，/、/i(
12、1)O口+2a2O因为函数MX)开口向上，故只需满足l)“八，,I(-1)O+a+2a-20解得g,所以。的取值范围为(Yog=3(3)当4=一3时，/(x)=x2-3x+2j开口向上，对称轴为4一当KC1,4时，/(x)min=q,/(x)max=6,一：/(x)6,x(l,8)时，(x)(-8+n,-l+n),由题意,对任意3el,4,总存在x2w(l,8),使)=g(w)成立，即函数/(X)的值域是函数g()的值域的子集，_11 .z_、8+w6解得7vmV,所以机的取值范围为(7,弓).例11.己知函数/(x)=x+-4,g(x)=x-bth(x)X2+2bx当。=2时，求函数y=()+g()的单调递增与单调递减区间(直接写出结果)；(2)当t3,4时,函数f(
