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1、基于问题关联，浅析与探索以题会类摘臬：教学教学的三个思考，从“知其然”到“知其所以然”提升至“何由 以知其所以然”，以知识溯源为思维引路,以“教会学生怎么想”为能力抓手， 坚 “同一类型还可怎么做”为拓展方向，探究部分教学题型深入浅,出的解书， 从强调怎么做的到迁移能力的培养，达到既要快又要准的找出解题思路，苞者从 数学学科的重点题型入手，浅谈江苏部分中考题型的解答，以达到以建会美的效 果。关饨词：咏学模型数彪结合 类比 关联“怎么入手”、“怎么想到这种方法”、“同一类型还可怎么做“，注重知 识的“生长点”与“延伸点”，抓住同类题型的关联点。近年来，中考题型压轴 题多以最值问题、路径问题、倍用
2、问题等，多与动点、动线、图形旋转等问题关 联，初中数学难在几何，成在儿何，这类题目往往是大部分考生的拦路虎，但细 究之下，发现很多题目都是有规律可循，代数有方法几何有模型，基本的定理和 必备的几何模型往往就是解答压轴题的突破口，所以夯实几何基础，具有事半功 倍的效果。一、基于基本定义，挖掘除限条件实践和操作在空间与图形的学习中显得尤为重要，学生进一步认识简单几何 体和平面图形，感受平移、旋转、对称等现象，从一般到特殊，学习描述物体相 对位置的一些方法，建立初步的空间观念。我们要做好类别的划分，在研究宙点 题型的解答方法时，并通过研究针对不同题型有不同的解题方法来提高学生的解 题能力与应对能力.
3、例如，隐圆类型有多种，有“圆”千里来相会，寻找圆的影 子,让“圆”形毕露。1、描述性定义，在一个平面内，线段OA绕它的固定的一个端点旋转一周， 另一个端点A所形成的图形叫做圆,其中固定的端点。叫做圆心,线段OA叫做半 径。2,几何形定义，平面内到定点的距离等于定长的所有点做成的图形（形成的 轨迹）叫做EU如图如图1 3所示，在ABCD中，AB=6,BC=8,P为BC边上一动点.以直线 AP为对称轴将AABP酣折得到AAB P,当DB最小时，线段CP长 为 .方法：由定点找定长出现圆形.在翻，专中A点始终固定不变为定点，而翻转后 AB的长度也固定不变,所以AB为定长.从而得到B的运动矶迹是以A为
4、圆心AB 为半径的圆，如图1-3-1所示，当点A、B、D在一条直线上时DB最小，最小 值为DB.可计算得:DB的最小值为2。例2：（宿迁2020中考）如图矩形ABCD中，AB=L AD= 5,点P为AD边上一个动点，连接BP,级段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ,当P从A 点远动到D点时，线段PQ在平面内扫过的面积为.二、类比同类模型，构造一线三角一线三垂直和一线三等角，是初中数学常见的数学模型，应用非常广泛，如 下图是两种最基础的模型，由此会演变出来的几种不同的样式。在江苏2019和2020 年中考中应用.例：（盐城2019）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2-l分别交X
5、、y轴于A、B两点将直线AB绕点A逆时针旋转45 ,交X轴于点C,则直线BC的 直线表达式.如何通过相似或全等解决这类中考题，充分利用给定角度45 （或60等）， 利用一线三垂直构造辅助线，如图过A点作八DJ_BC垂足为D点，作DEjJ（轴垂足 为E点，这样三角形的关系立刻出来。例：（宿迁市2020）中考题27题【感知】如图，在四边形加中，Z.AEB =90 .点/在边切上，/C=/0=90 ,求证：胆=典.EB CB【探究】如图，在四边形/必中，/HN月腔=90 ,点在边 切上， 点广在边初的延长线上，ZFEG= NAEB=9Q ,且黑=寮连接用交。于点/.求证：BIf=GH.【拓展】如图，
6、点在四边形川先力内，N4即十NZZ=18O ,且胆=胆，EB EC过作肥交/切丁点R岩，EFA=NAE&延长所交成1于点6求证：BG=CG.图、图二是我们常见的线三垂直，由图-很自然怛到图二辅助线的做法, 构造两次相似，图三是演化后的一线三等角,乂乂深入，图二的思路对于图三的 解答作用盎大。图一只需要一次相似，图二需要两次。如图二，做辅助线i；i_Lc【）, 由一线三垂直可得ZiADEsECB,可得任= 同理ADGEs2IEF,可得更=，BE BCEF IF由题意可得，两个式子比值相等从而得到两条线段。如图三，此问难度较大一些, 类比第二个问题，画两条辅助线构造一线三等角，作BYE=.AME,
7、从而得到aAFEs FFEMB,作CNBM, ZDFEsENC通过两组相似可得对应线段成比例，S是两个相BM似一角形联系的纽带，思路和第二问相同。这道中考题把一线三角垂直和相等应 用的淋漓极致。三、动点动线动角，主动从动紧密相连2019和2020江苏部分中考试题出现一个定点两个动点，主动、从动点互为主 从这种情况，主动线和从动线夹角固定比值固定，数学史上称为瓜豆原理，常见 的瓜豆原理有两种模型。第一种情况，主动点轨迹是直线，从动点筑迹也是直线，如图已知A为定点， 点B是直线L上的动点，/ABC是等腰直角三角形。证明（1）点C矶迹是直线（2） 该直线与L的夹角为45度。过A点作垂线段垂直直线L,
8、构造初始状态等股RtDE,因为和等胧RtABC 有公共部分，/DAE=/BAC=45,所以可以说明aADB和AAEC相似，并且相似比是1： 收，E点是定点，NAED是45度，NAEC=45,所以C点的轨迹是一条直线。并且 发现两个动点的轨迹夹角是定值，夹角等于两个动直线的夹角。通过几何画板可 以进一步演示C点的轨迹.瓜豆原理的第二个模型，第一个条件是主线.AB和从线夹角固定，第二个条件 是主线CP和从先CD的夹角定值，两线段比值为定值，如图动点P在圆上运动，D 的轨迹也是个PlL如何探讨呢，如图二，作RtZG0C, 0CG=60 0GC=900,易正明APCDs 0CG, P0CGCD,相似比
9、为2:1,所以GD=iOP, G到D长度为定值，并且D 点是定点，所以DE轨迹是明，例：（2018南通）中考题27题第三小题，如图正方形ABCD中，C是BC边的 中点，点E是正反形内动点，连接DE,将线段DE绕着D逆时针旋转90度的DF, 连接AE、CF,求线段OF长的最小值。由于E是主动点，F是从动点，DE、DF夹角固定是90度，并且比值是1,符 合挂豆原理，E、F轨迹完全相同，都是圆.用瓜豆原理方法解决此题，构造等腰 KtOIX), ,00,为斜边，容易证明aDEO空ZJ)F(),因为。是定点所以0也是定 点，OE是定值，0 E也是定值，所以F点的轨迹是一个以0为圆心的圆。OF的 最小值，
10、当F、F、0三点共线时有最小位，根据等腰RtZXODO斜边长为5上, 圆0;半径为2,所以OF的最小值为5&-2.例：(2019宿迁中考)正方形ABCD中边长为4, E为BC上一点，且BE=1, F 为AB边上的个动点，连接EF,以EF为边向右侧作等边AEFG,连接CG,则CG 的最小值为。如图，首先判断，E是定点I；点轨迹是直线，/FEG是定角60度，并且GE与 FE的比值是定值1,符合瓜豆原理，所以G点的轨迹是直线，先从F点初始状态 找到G点的初始状态H点，然后当F点运动到A时，G点运到结束落在CD上。四、基本定理入手，深入浅出例如七年级数学学习了两点之间线段最短这一定理，八年级上册最短路
11、径 问题的探究将最值问题引入一个新的台阶，以及二次函数中的面积域值、倍角、 弧长，线三垂直，线三等角、手拉手等丰富多彩的数学模型。动点类的数学 模型学习几何有规律可循，让信心逐步增加.例：RTAABC中，ZC=90o ,C=6, BC=4,圆C的半径是2. P为圆C的动点，连接PA, PB,求AP+ BP的最小值。解决此类问题AP+BP.动点为P是一个胤我们要考虑近年常考的两种模型, 2胡不归问题和阿氏圆间题，数学史上这两种类型的我目，基本解题思想还是两点 间距离最短问题。此题动点轨迹是圆，显然是阿氏圆问题，构造母子型相似.在 CD取一点D,使CD:CP=PC:BC,这样一来ZIPCDS /B
12、CP,当P在圆上运动时， PD-1 PB, A. P、D三点共线时AD值最小，把APlP的最小值转化成AD的最小值。例：（南通市2019中考18题）在平行四边形ABCD中，AB=6, BC=2, ZDAB=60%P为CD边上动点，则PB+PD的最小值等于。解决此题的中心思想还是转化，难点是弓PD,如何转化大部分同学束手无策, P点在直线上运动，矶迹是直线，所以此题属于数学史上的胡不归模型，作/ CDH=60构造直角三角形作PHAH,垂足为H,把WPD转化成PH的长，利用两点 间线段最短即可求出最小值。由此可见胡不归的中心思想就是构造直角三角形将 系数不为1的后项转化为系数为1的项，利用七年级时
13、学的基本的定理,两点之 间线段最短。教根据学，学根据教，代数有方法，儿何有模型，渗透数学对象研究的基本 思维，勾画研究路线图整体把握知识结构，能使问题的解决显得更直接、更简捷, 题多变多解,化抽寐为具体，层层深入让学生在探窕解题的过程中流连忘返， 数学解题的方法和解题模型是运用数学概念、法则、公式、定理等知识的体现. 突破解决问题的思路，在领悟问题的过程中思考别人为什么要这样命题，主要想 考察些什么，类似的题型还有哪些，不仪仅停留在传授知识上,还应进一步困绕数 学思维能力的基本特征,从对学生的思维训练入手，关键是抓住思维训练的内容、 类型、水平与必次，认真对学生的数学思维进行培养，训练思维的敏捷性、独立性 和道辑性,充分利用已知的数学思维，又要指除思维定式的障碍,使学生思维流畅, 解题过程中顿现柳暗花明。1王光兴.相中几何图。中模型解羯例析与林究J 及科才认研究,2016 (9) : 1-2 2tS*.敕学毅材圆计材料所竟的反思与展复J数学通报，2018 (09) :45-46 【3】数学解决问蜃认知模人及敬学观论研究D).南京畀蔻大学，2017(5).4fll4.李新生.始Wt下如何技高枷中敦学谭上就学用.谭程量育研究，2017, 04: 112-113.
