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1、应用矛盾对立统一的观点解题*9教学中充满矛盾也充满了对立统一的关系.数学问起解趋很好的处理了特殊性和 一般性之间的关系，正面与反面之间关系数与形蚱换的美系等，常版达到事半功倍之 效，印运用矛盾对立统一的现点解超。关健词数学问建解决 矛盾对立统一对立统一规律是函数的三大规律之一，是啡物辩证法的根本规律，又称对立面的 统和斗争的规律.它揭示了普遍陕系的根本内容和事物发展的内在动力，揭示了事物 发展的动力和源泉，揭示了事物和联系的本质，它揭示出自然界, 人类社会和人类思 维等领域的任何事物都包含着内在的矛盾性，事物内部矛盾推动事物发展.任何事物都 存在对立面和统面，他们相互斗争，相互依存，在定条件下
2、相互转化.这在数学中 俯拾皆是.本文研究运用数学中的矛盾转换，如对立与统一，正面与反面，正向思维 与逆向思维，特殊与一般，数与形等的转换，正数与负数、常量与变量等对立统一等 概念的教学,寻求解题思路和方法：分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比、化 归、分类等数学思想方法的应用，一次又一次地证实了事物是普遍联系、对立统一、 运动变化的。一、对立与统一的转换例 1 已知“+c = 0, 3RiiE(- + -) + ZH- + -) + (- + -) + 3 = 0 b c C a a b解；(-+) + c(- + -) + 3 b c c a a bLa,1、bxcbca cababcJ
3、 1 L , J IkJI 1、b c a c b a a b c-(a+ b+ c) (-+- + -) a h c=O例 2 设 64SinA + 8COSB + tanC = O, cosB4SinA tanC = O 求证：tanC = 61sinA 证明：若 SinA-O,则 tanC=O,且 64SinA=O,从而 IanC-64SinA：若SinAH0,用什么方法来证？显然，直接由条件化结论不容易。但由条件cos?B4sinA tanC = O的形态，考虑64SinA + 8cosB + tanC = O能否化成二次方程？ 可以。因为64 = 8：,所以64SinA + 8cos
4、B + tanC = O即是这样一个以8为主元的二 次方程：sin 8? + CosB 8 + tanC = 0。由8是实数，且这个二次方程的判别式 = cos-4sin IanC = O,知这个方程有两个相等的实数根8,从而8x8 = 64 =处C, SinA即有 tanC = 64sinA总之，若 64SinA + 8cosB + tanC = O. COSirB4SinA tanC = 0,则 tanC = 64SinA。从例I与例2可以看到，集中精力解决主要矛盾是一种解趣策略。二、特殊与一般的转换例3如下左图，在半圆的直径AB上取一点C,分别以AC、BC为直径作半圆，过C作CD_LAB
5、交大的半圆于D,设CD的长为h,则阴账部分的面积为()解t C为AB上点，应包括AB的中点(即大的半圆的圆心)这特殊点，而IL 由题意，一般情况与特殊情况下，阴影部分面积的表达式是不变的，变的只是表达式 中参数h的长短。如上右图所示。当C为AB中点时，阴影部分的面积是 Lt-21A2=-2所以在一般情况下阴影部分的面积也是儿 故选及 22 244例4比较V60与2 + 6的大小解无法直接计霓大小：倘若将两与2 + :叵分别立方，又变得更为耳杂，怎么 办呢？考虑到6O = V4(8 + 7), 2 + 7 =唬+阴，既然要比较。与2 +中的大小, 不如索性一般化地比较4(+ y)与小必 y0)的
6、大小。事实上，Vv + yj 2 Vx+47。可以这样来证明：设 = F0, v = fy 0,则 R&x + y) =4(“ + V), (Vx+Vy)? =( + v)而IV4Cr+ .V)P -(Vx7)j = 40/ +vj)-(m + v)j3(m, + V3 -mv(w+v) = 3(w + v) (w - V)2 0.当且仅当 Xw 时,等号成 立.令*=8, y=7,即得V4(8 + 7)我+ 5,也就是胸2 + .特殊与般是对立的，也是统的，从例3与例4可以看到，“退中求进”与“先 进后退”利用的恰好就是特殊与一般的对立统一思想。三、正面与反面的转换例5若a、b、C为互不相等
7、的正数，则a+ 2Z + c = O , hx2 + 2cx + = 0.c +20r + , = 0这三个方程不能同时有等根.证明：假设这三个方程同时有等根，那么就同时有-4.C = 0, 4-4M = 0, 42c = 0,将此三式两边分别相加并除以2,得(-hy +(Z-e) +(c-a) =0,所以a=Z=c,这与已知a、b、C为互不相等的正 数矛盾，所以“三个方程同时有等根”的假设是错误的，正碑的结论是“三个方程不 能同时有等根工例6判断命题”设a、是方程a+u + c = 0的两根，若a+尸与a?均为整 数，则a与尸均为整数”是否正确.解：肯定一个结论要做严格的证明，而否定一个结论
8、只须举出一个反例。这里，设a = 2 + J5 /? = 2-V3 则a + = 4, a= 显然a、P是方程 /-4x+l=0的两根，且a+6与a?均为整数，但a与夕均不是整数，故原命题是错误的。由例5与例6可以看到，当从正面着手考虑很难找到解题突破口时，尝试从侧面 或反而去考虑问即往往总能得到好的思路，这种数学解题策略叫做正难则反，四、正向思雉与逆向思雉的转换逆向思维也是辩证思维的一种重要形式.利用逆向思维方法可以解决诸如下面例 7、例8之类看似很难的问题。例7已知不等式/ 一t-bO的解为2x3,求不等式Z-x-lO的解。不等式一一/,0的解为纥当上弛x丝斗士竺,乂为2x3, 所以；+叽
9、2,而+ &；+必=3,解之得日石、加6,而不等式尿2-a-lO 的解，即不等式6-5x-lO的解为x|FD,合起来就是FM+N6H),所以GTp +而二赤72 y( + b)i +c2 o上面的例9,用代数运算助几何证明，例10则是构造图形助代数运算。“用数助 形”与“以形助数”合起来叫做“数形结合二从例9与例10可以看到“数形结合千 般好，形数分开万般难六、已知与未知的转化例IL已知x、y. Z满足方程组3x+7y+z=3l.54x+10y=42-z. 求 x+y+z 的值.解：把Z看作己知数，解关Fr, y的方程组3x+7y=31.5-z 得 x=IO.5-l.5z 4x+IOy+ z
10、=42 y=O.5z.x+y+z= (10.51.5z) +0.5z+z = 10.5在这个问腮中，从表面上是无从下手的，不妨把其中的一个未知数看做己知的去 表示另外的未知数，再代入求值，从而把题目简单化。例 12.求满足 52 I2xy+8k -4x+4y+l=0 的实数 X 和 y.解：把y看作已知数，则原方程可化为关于X的一元二次方程：5x2 4 (3y+l ) x+(8yz +4y+l)=0：x、y是实数 =16 (3y+l) -20(8y2 +4y+1)=-4 (2y-l) j0.-4 (2y-l ) 2=0,.y=2l 把 y=2l代入得x=l.在这个问题中，把y看做已知的，再利用
11、方程中根的判别式求值代入。同样也可 以把X看做己知的。从例Il与例12可看出在解题是可以适当转换思想，把题目中未知的量看作是已 知的，更加的便于解题。七、常量与变融的转换在运用函数与方程的思想解题时，如果是一个多元函数或方程,这时,我们应设定个或两个主元，即自变量,而视其它为次元,即常量：,然后再考虑如何解决问题。化归 思想是中学数学最基本的思想方法之一。如下面的例题就是讲解常域与变增之间的转 换。例13.已知关T x的方程xi-Px2 -2Px+P, -l =0有且只有一个实数根，求实数P的 取值范围.解：把X看作常量，原方程可化为关于P的元二次方程：P7 - (x2+2x) P+(X,-1)=O解得 P=X-L 或 P=x、x+1Ax=P+1,或x2+x+lP=OY原方程有且只有一个实数根，.方程X2 +X+-P=O没有实数根由 A = H 4 (I-P) 3.证明：由已知条件可知，a、b、C三个数中只能是一个正数和两个负数，由对称性，不 妨设
