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1、一、问题的通述SARS作为21世纪笫个在世界范附内传播的传染物，它的爆发和扩散给我国的经济开展和人民生活带来很大影响,同时也给人们很多审要的经脸和教训，相识到定量地探讨传染病的传播规律、为修料和限制传染病扩散创世条件的重要性.现在的何超是针对SARS的传播建立数学模型,要求如下：（I）对阳口中所供应的一个早期的模型，评价其合理性和好用性。（2）建立自己的模型，并比拟它与题目供应模型的优劣：时建立一个口正能做预料且能为预防和限制供应牢靠、足够的信息的模型,提出建议,并指出难点所在：另外对E生部门所实行的措施做出评论，如：提演说延后5天实行严格的隔离措施,X-J校情传播所造成的影响做出估计，问Sf
2、i二要求建立SARS传播模型,一个安康人被传染过程为：安康人T漕事美人T病人退出者（包括死亡者和治念者）通过分析各类人之间的转化关系，建立微分方程模型,在SARS传播过程中，政府的干预起较大作用，以政府实行措施限制疫情的时刻，“作为分割点，分别考虑之前后两阶段，称之为限制前阶段和限制后阶段.我情开展规律主要的日接触率*，）制约.在不同的阶段（）的影响因素不同.限制前，因按自然传播规律传播，故2（，）可视为常收：同时，在段情初期，人们的防范意识比拟弱，再加上非典白身的住搭特点，在很多胞区出现一个物人传染很多人的现象,即“超级传鎏事务”（SSB事务）t0:随着人们防范Je识的增加,.SSB事务发生
3、的精率减小.因比SSEIf务在非典的开展早期起着理要作用.而SSB事务作为超级传染事务，特性在.于在较短的时间内,即可使传染者数目增幅较大.因此可将SSB事务对我情的影响看作一个脉冲的廨时行为，运用脉冲微分方程描述,限制后以，）受人们防范意识的影响.而引起人的防范意识变更的缘由主要有两方面.一方面来归因对凌情的恐慌而迫使人的自身加强防范意识，用警觉指标M，）来刻划,另一方面由于政府政策.法律法规的公布等而加强的防范意识，用政府措族力Rg来刻划，而3）与g（r）又分别为疫情指标的函数，先定性分析确定各因素之间的函数关系，再在求解过程中利用多教辨识确定其中的参数，3. 1模型的假设由于SRAS的传
4、播时间不是很K,故假设不考虑这段时间内的人口诞生率和自然死亡率平均潜藏期为6天处于潜藏期的SARS病人不具有传染性W供应的北京统计数据直实可信2符号说明k从最初发觉非典患者到政府实行防卫措施的时间间隔N总人口数S(I)t时刻安康人数占总人数的比例/(Ot时刻感染人数占总人数的比例(，)I时刻潜畿期的人数占总人数的比例(?(0t时刻退出类的人数占总人数的比例H发病率系统退出率沏日接触率，表示每个病人平均每天有效接触的人数f(t).疫情指标g()政府措族力度Mr)警觉指标/)防范意识问题二SARS传播模型4. 1模型建立I由同册的分析,将人群分为安康人类S,潜藏类E,朝人类/,退出类。四类,之间的
5、转化关系为： 安康人类S与潘窜类人的转化I安康人和病人疔效接触成为潜微类因每个病人平均每天有效接触的安康人数为()S.N/个病人平均年天共能使MnSNl个安康人成为潜被类。所以N空=TSN/即生=-石/出dt 潜类E与病人类/的转化1C表示潜减期日传染率,潜藏类人的变更等于安康人的变更减去病人的变更.即：匹=SMt)I-EEdt由假设2,好一位处于潜藏期的人昨天将以1的概率转化为就人类，即=1.66病人类/与退出类Q的转化I表示退出系统的比率，单位时间内退出人的增加等于精人的削减，即：dQ.dt综上,我们建立了这个系统的转化过程,以下我们从将疫情传播过程分为控前阶段和控后阶段建立模型.4.1.
6、2拄酋阶段I技自然传取律传播效确定I(t)在传播的初期，SARS按自然传播规律传播，(t)保持不变，记此常量为ll,儿详细取值花模型求解中通过卷数辨识得到“由资料=0.008超效传染事务(SSE)的处理：_1_定义脉冲函数：4(x-Xo)=五XO-.*,+Oelse6函数：b(x-%J=Hmd(X-)由问SS的分析.将SSE本分对投情的影响看作个瞬时的脉冲行为，且仅会对zcW=T(S-NWaarTJdFe-=S(t)l-E+NEai(t-ti)市/-I其中，为所加16函数的个数，在实际中为SSEM务的个数；区为第i个5函数的张度，据资料显示，集例SSB及务的平均心染人数为20人。综上我们建立了
7、控前阶段的模型：餐=-MNS-应a,耿-琦(U=5(z)7-fE+al(t-t,)a-=eE-l=lS+E+l+Q=S(O)=,(0)=E0,Z(O)=0.(XO)=QoJtl50,3,I0,QO为系统中各类的初始怅.4.1.3控后阶段,疫情指标.f(r)的确定影响凌情指标因案主要是传H新增死亡人数d(。、新增确诊人数加。、新增疑似病例数出).对这三个因素归后求加权和得到:,d)Mr)v(r其中,/)()为离放数据：q.%,5依次为d(r),Nr),Er)对疫情指标的相对影响权曲，且/+%+%=I.考虑到人们对类新增人数的圾感程度.q=0.4/=04%=0.2,由于统计得到的数据均为离散的,为
8、得到M关于时间/的连续变更，采纳最小二乘法拟合.得到/(r)的表达式。从小敢点看出，其大致呈韦伯分布函数的形“7严态故用/0)=(r-v)w-*-*,O进展拟合，由题目供应的北京市数据可得:m=2.5449,v=-1.1578,A0=14.3530其离散的.4(。与拟合后的/(。的图像见图二疫情Ifi惊的拟和曲规。安标数据比拟图由图象可以看出二者由较好的拟合度,那么拟合后的f(t)可用来定疑描述疫情指标l时间的变更关系.政府措*力度式，)的确定疫情的开展对经济、社会造成肯定的影响政府必会实行措施减朋其影响：同时,政府须依据以往的疫情实行相应的措施,所以，政府力度g(r)为以往疫情的平均值而的函
9、&(7(0=/0).分析实际状况g()应满意以下性状：1 I-O1) Z=Z11时.g)有一个初始值.即为潜在的政府力度自(0ol):2) (，)的7Q的增长而增长,开场增长较为缓慢因为开场残情的扩散块乏以使政府的反觇程度提高很快：但校情开展到肯定阶段后政府对控俏的扩微受得敏感起来：后期，政府力度己较口，随疫情指标的埴长变更较楔：3)当沏趋近于1时g”)趋于1.综合性质1)2)3).月(。协而变更的他线，形态如图三所示(横坐标为纵坐标为g(r).刻度没有意义,仅表示形态).故运用I.1*-Ill1.g()=ll+Al-e,%+用=1来刻施政府措施力度依据北京实际，取勺=0.23=0.8：计算得
10、到西)=0.58时，取g(%)=07,可计算出5=0.1803，觉指标(，)的确定人们对SARS的警觉程度随疫情的变更而变更.政府公布疫情初期,疫情的变更引起人们很大的关注,警觉程度随位情的微小变动波动很大：中后期,波动渐渐变线直至平稳.Mr)与。的关系定出为：Mr)=的-h-泡其中依据/（r）=0时，M4=02（02为人们固有的警觉指标）；当）fc时,10可得e=刈=08防范意识”7）的确定由同Sfi分析,防范意识Mr）受政府措脩力度g（和警觉指标M，）的影响，的8（，）的堵大而增大,RfiMr）的埴火而增大，且&（，），M。对Mr）的影响作用大致相当，取h（）=0.5（/）+0.5（）.防
11、范意识”/）与日接触率2（。的关JK2（，）表示好个病人平均每天有效接触的人数，由问璃的分析知，传染系数）是防范意识”。的函数,且陶满意以下性质：（1） 当防苞意识为零时，以。取地大值一-限制前D接触率：（2） 随的增大,传染系数以r）减小.“。不强时,对I）的变更所起的作用较小；M，）超过肯定他时，对入“）的影响效果较明显：（3） 当Mr）趋近于1（不行能为1）时.4）趋近于0ir）由上三点确定的，）lMr）变更关系的曲线形态，采纳函数力）=Al-eW）刻画此形态.其中,7?待定.综上，控后阶段建立的模型为:。:=-()5-=St!-E(It=E-!dQf=ldt-wur(n=4(l-e)S
12、+E+l+Q=S(O)=%,E(O)=/(0)=GQ(O)=Q4. 2模型求解I由于模型无法褥到耨析解,所以招连续模型禹散化再求解.在求解过程中,利用参数辨识的方法,即确保Z(M。-而)到达最小.进展求解并确定模型中特定的参数,其中必)表示r时刻实际的北京市新增确诊人数，表示由模型计豫得到的，时刻北京市新增确诊人数.初始状态：化京人口总数N=12,000,OOO人，3月31日北京市12例非典出者作为疫情初发，/(O)=12/f=O.I1()i,(0)=O.C(O)=0(求解程序见附录一)M/)与(r)的关系如图四tooSss图叫新增确诊人数的实外位r计维值的比拟图由图象UJ以看出。，)与b(r
13、)的走势大致样，且使相差不大(注：开场的小顶峥是SSE犷务造成的).另外，由参数辨识可以得到模型中未确定的两个待定参数4,=0374,02=28.08915. 1问二的第果分析（对卫生11实行播的评饰）实行严格隔离措早晚的影响卫生部实行严格隔离措施，是在4月2011左右，我们肘早5天或晚5天做了如图的比照图（图卜）：、一W1.-v-Wh图r僚11新靖碉诊人故而天数的关系从图中可看出，政府廷后五天实行严格隔岗措施时，口新增病例峰值为376例，提前五天时，日新增病例峥值为55例，可见日新增病例的峰值时政府实行严格的肉措瓶的早晚特别敬停.实行的措施越晚.疫情峰值越高.疫情周期越长.这对于指导非典工作
14、具有重要意义,政府部门应当在实际工作中“发觉早隔离，实行有效的隔离预防措脩.政府实行措的力度对疫情的影响政府措施力度g（f）反映了政府针对疫情所实行的力度，我tfj分别取越明，曲税的拖足越长，甚至会再次出现投情小顶峰的现象.当g（,J=05时，曲线出现了其次次峰值，这表示假如政府（卫生部）在疫情刚有所下降时，就过度的减小力度，将会使疫情发生反押，引起其次次疫情峥值的到来。因此政府措施力度肯定要持续，不能看到技情有所缓和就放松警觉.北京的实际状况是8（，。）=0.7所对应的曲跳，可见卫生部步实上所实行的力度是比拟危急的，很简单引起其次次峰值，因此卫生部的措俺应当在加超一些.人们警觉程度对疫情的影看时突发性事务人们4个固有的警觉程度,对该固有警觉程度取0.1,0.2,0.3,代入模型由新求解，得比照图如图十二从图象中可看出，固有警觉程度越小，疫情曲线拖尾越长.移至会发生二次顶峰现象.图中给出了当警觉程度为01时,就出现了二次凌情顶峥现望.卫生部号召我们要戒除聃俗变更生活习惯，就是为了使固有警觉程度增l,这样不图十一仅可以使疫情不出现二次峰值，而且可以使疫图r二每日新增砒诊人数占总人口中的比例陵大故的关系情周期缩短.因此卫生部加强该项措施对减缓授情毡特别有效
