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1、费马点问题思考：如何找点P使它到AABC三个顶点的距圈之和PA+PB+PC以小？BP+AP+CP=BP+PQ+QEBE,当b、p、q、E四点共找时取仔致小他费马点的定义，数学上称，到三角形3个顶点矩凄之和最小的点为费马点.它是这样确定的：1 .如果三角形有一个内角大于或等于120。,这个内角的顶点就是费q点：2 .如果3个内角均小于I2O,则在三角形内部对3边张角均为120的点,胫二角形的费马点。费马点的性项：1 .费马点到三角形三个顶点距.离之和最小.2 .费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120“.费马点量小值快速求解：彼尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方
2、法发运用存El秘诀：以AABC任*一边为边向外作等边三启射.这条边周HUHIH高用方最小值例现精讲【例1】.已知.在AABC中，NAe8=301）如图1.当A8=AC=2,求8C的值：2）如图2,当A8=AC.点?是4A8C内一点，flW=2,PW=21.PC=3,求/APC的度数：3如图3.当AC=4.A=7C4.点P是ZiA8C内一动点.则+P8+。的最小值为A变式训练【变式17如图，P是边长为I的等边A8C内的任懑一点，求，=%+P8+PC的取信范用.【变式1-2.已知点。足内一点,且它到三角形的三个原点即离之和最小,则P点叫ZXA8C的费I点,(Fermatwint).已经证明：在三个
3、内角均小于120的4A8C中.当NA-8=NAPC=NBPC=120时,P就是AABC的费马点.若点P是校长为&的等段宜角三角形DEF的优当前,则PlHPE+PF=.【变式1-3.如图.0为正方形A8CO对角纹8Q上一动点,若A8=2,则+8CP的最小值为一【例21如图.0是边长为2的正方形八内-动点,。为边8(?I；一动点.连接RA)Q,则附+叨+PQ的E小值为A变式训嫁【变式2-1.如图.已知矩形A8CO.AB=4,8C=6.点M为矩形内一点.点E为SC边上任意一点,则C.2+213D.10【变式2-2.如图，己知正方形A8C。内一动点E到A、8、C三点的距淡之和的最小值为1的，则这个正方
4、形的边长为变式2-3.两张宽为3m，的纸条交叉虫在成四边形A8C。，如图所示，若=3(，则时角践8上的动点。到A,R.C三点正离之和的最小值是一实战演练1 .如图，正方形A8C。内一点,到八、8、C三点的距离之和的最小值为&正方形的边长为.2 .如图，在边长为6的JE方形八SCQ中,点W,N分别为人从8C上的动点，且始终保持BM=CM连接MN,以MN为斜边在矩形内作等,腰RAMNQ,若在正方形内还存在一点P,则点尸到点A、点。、点Q的距窗之和的殿小值为.3 .如图，四个村庄坐落在矩形48CD的四个顶点上.A8=IO公里,8C=15公里,现在要设立两个车站F,则EA+EB+EF+FC+FD的最小
5、值为公%.B4 .如图.。为等边三角形A8C内一点,N8PC等于150,.PC=S.PB=I2,求用的长.5 .将AA8C放在怔个小正方形的边长为1的网格中，点8、C落在格点上，点八在BC的垂直平分践上,ZAfiC=30,点。为平面内一点.ZACB=%（2如图，将AAPC绕点C顺时针旋转60。，画出旋转后的图形（尺规作图,保留痕迹）：AP+8P+CP的豉小旗为.笫用围6 .如图1.，是锐角ZA8C所在平面上点.如果NAP8=NWY-=NCMl=120。.则点/就叫做八8C费马点.1当AtBC是边长为4的等边三角形时，费马点P到8C边的距周为.（2若点P是八BC的费马点，NA8C=60,t=2.
6、PC=3,则P8的值为.3如图2,在税角AAbC外侧作等边AACB,连接88.求证：BB过4A8C的班马点P.7 .如图（1）.尸为AABC所在平面上一点，且AP8=/BPC=/GA=120,则点P叫做ZABC的费马点.若点夕是等边三角形三条中线的交点.点P（填足或不是）该三角形的费q点.2如果点P为锐角AWC的龙马点，且N八8C=60.求证：ABPBCP,3己知税角八8C,分别以A8、AC为边向外作正AABE和正ZkACC,CE和BC相交于P点.如图2）求/CP/）的度数：求证：P点为Aabc的费马点.Sl(I)(2)8 .定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中.到三角形三个顶点距离之和
7、最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”,“近点”到三个顶点施商之和叫做这个等腰三角形的“最近值”.【基础巩固】(I)如图I,在等腰Rl八8C中，/MC=9(y,八。为8C边上的高，已知八。上一点E满足/OEC=60.AC=46求A+8+CE=:【尝试应用】2)12.等边三角形八8C边长为43.E为高找八。上的点，将:地形AEC绕点A逆时针旋轨601得到三角形G.连接请你在此基础上继续探究求出等边三角形A8C的“最近值”：【拓展提高】(3如图3.在菱形BCD中,过八8的中点作Ali乖线交CD的延长战于点F,连接AC,DB.己知NBDA=75：48=6,求三角形AF8”最近(i?T的平方.图】图2图
8、39 .如图.点M为胡用三角形A8C内任意一点.连接AM、8M、CW.以.A8为一边向外作等边三角形ABE.符绕点8逆时针旋转6（厂得到5V.连接EMI）求证：AAMB经AENB；2若八M+8M+CM的值加小，则称点M为AABC的费马点.若点A，为八BC的费马点，试求此时/AMB.NBMC、NcWA的度数；3）小翔受以上后发，得到一个作饯角:角形费马点的简便方法：如图,分别以AABC的AB.AC为一边向外作等边AABF:和等边4ACF,连接CE、RF,设交点为Af.则点M即为ZiABC的费马点.试说明这种作法的依据.1)如图.已知ACAB中，8=3,将绕点。逆时针旋转9()得ZXOAB.连接初
9、T.则BB=：问题探究(2)如图,已知aA8C是边长为4京的等边三角形,以8。为边向外作等边48C).P为AABC内一点,将线段CP绕点C逆时针旋转60,点。的时应点为点Q.求证：DCQ出ABCP:求出+08+PC的最小(ft：问题例决(3如图.某货运场为一个矩形场地八8CC,其中八8=500米，八。=800米，顶点A,。为两个出口.现在翅在货运广场内建,个货物堆放平台R在8C边上(含8,C两点)开一个货物入口M,并修建三条专用车道网,PD.PM若修建每米专用车道的费用为K)OOO元,当M，P建在何处时,修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？结果保留整数)如图I,在AABC中，NA=I20,
10、AB=AC,fiC=53则4A8C的外接IflI的半径伯为.【问题解决】如图2,点P为正方形八BCO内一点，Fl.ZAPC=90,若八8=4,求八P的最小假.问题解决如图3,正方形A8C。是一个边长为WaTn的隔离区域设计图，CE为大门，点在边BC上,Cf=3cm,点P是正方形A8C/）内设立的一个活动词哨，到8、E的张角为120,ItPZflPE=IZOo,点A、。为另两个固定岗哨.现需在隔离区域内部设置一个补水供给点0.使得。到八、/人0三个岗哨的即岗和以小，试求0UZKQP的戢小值（保身根号或结果精确到5,参考数据6旬.7,10,2=110.25）.12.已知抛物线y=-景+尿7的对称轴
11、为k1,与y交千点A.与X轴负半轴交于点C作平行四边形ABOC并将此平行四边形绕点。顺时针旋转90,得到平行四边形AROC.1）求他物线的解析式和点A、C的坐标：2求平行四边形A8OC和平行四边形ABOC重叠部分（?/）的周长：若点P为八OC内一点，直接叮出+PC+PO的最小值（结果可以不化简）以及宜战”的解析式.13.如图,在平面直角坐标系XeV中，点8的坐标为（0.2）,点/）在X轴的正半轴上，NODB=30,OE为BOD的中缥过8、E两点的抛物找y=a率X+C与N轴相交于A、F两点储在F的左恻）.求）物线的解析式:等边ACMN的顶点M、N在线段AEJ求AE及AM的长：3点P为八30内的一个动点,设m=M+PB+PO,请直接写出m的最小值，以及m取得最小值时.城段八P的长.（备用图）
