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1、阿基米住折弦定理【问题呈现】阿基米第S/v加，加dc公元前287-公元前212年,古希删）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛便、高斯并称为三大数学王子.折弦定义:从IH周上任一点出发的两条弦,所如成的折线，我们称之为该图的一条折弦.阿基米德折弦定理：一个即中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段娠的中点在较长无上的射影，就是折弦的中点。如卜图所示，八8和8C是00的两条弦（即A8C是圆的条折弦），BsAB,M是ABC的中点,则从M向BC所作乖戌之歌足D星折弦ABC的中点，即CD=AB+Bd【证明方法】方法1：补短法如图，延长。8至R使BF=BA；M是ABC的中点.：ZMCA=MC=ZMBC
2、:W.B,A,C四点共RlMCA+MB=180-；/M8C+BF=/8()a.：B=MBF；MB=MB,BF=BA/.MBFMBA.：/F=ZMAR-/MCB.：AfF=AfCVMD.,CF.CD=DF=DR+fF4+RD方法2:低长法如图，在C/)微取。G=/)8：AtDlHCi：.SfH=MG.ZMGH=ZMHC=ZMAC；M是A8C的中点.：MAC=/MCA=/MGB即MGH=MCB+/BCA=HCB+BMA乂NMG8=MCB+GMC.：ZBM=GMC-/MA=MC.MBAMGC(SAS)/.AB=GC.：CC=CG+G0=A8+8C方法3：垂线法如图，作M1.1.射战八8,垂足为，VM
3、是A8C的中点.：MA=MCVMDlBCMDC=90rf=MAB=NMCBMHMDC(AASAH=CD,MH=MD又：MR=MBRiMHRRMDR8C,M是瓠ABC的中点.MF_1.A8于F.JlJAF=1-B+BC.如图2,BC,N八8C=60.A8=8,BC=6.。是八8上一点，BD=I.作。交/!&C的外接圆于连接八，则EC=.【例2】.如图，C.8C是。的两条弦，M是AB的中点，作WR1.AC,垂足为F，若8C=E,【变式27.如图,ZiA8C内接于。仇AOBC.点/）为ACB的中点.求证：AIJrACHC+CD1.【变式2-2.如图.ZiABC内接于。”,HC=2,A8=AC点/）为
4、同上的动点.且COSNA8Cn.求A8的长度；2）在点。的运动过程中,弦A。的延长线交8C廷长线于点问AOJK的值是否变化？若不变.请求出AOAE的色：心变化，请说明理山：D.3+52 .在AASC中，AC8C,M是它的外接圆上弧AC8的中点，AC上的点X使得AfX1.AC,AC=IO,XC=3,则SC=3 .如图.矩形A8C/）中,A）=12.=8.E是A8匕一点.且8=3.F是BC上一动点,若将AEBF沿EF对折后.点B落在点P处，则点P到点D的最班距离为一.4 .如图，在边长为2旧的等边/1&C中，动点D,E分别在BC,八C边上，且保持八=C。，连接BE,AD,相交于点P,则CO的最小值
5、为.5 .己知：ly.SiABC,。为八C边上一点，.AD=DC+CB.过。作八。的乖线交aASC的外接圆于M,过M作48的垂戏MM交回于M求if：WN为AA8C外接圆的Il径.6 .如图，在。中，AB=AC,点/）是CHB上一动点（点不与C/?重合,连接/乂、DR、DC.ZBAC=120.（I若C=4,求0。的半径：2）写出。A、IM之间的关系,并证明.7.如图,O。是等边AABC的外接IS，P是懑上一点,1块空：ZAPC=度，ZBPC=度；&O。的半径为4,求等边4ABC的面枳:3)求证：PA+PB=PC.8 .己知人B、C、。是。上的四点，CD=BD,AC是四边形A8C。的对角戏1)如图
6、I.连接80.若CO8=6(),求证：AC是/48的平分线：，BCB.点M是弧A8C的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足/)是折弦A8C的中点，即CD=ABHD.下面是运用“极长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程.证明：如图2.在CB上截取CG=AB,连接MA,M从IWC和MG.二M是瓠A8C的中点,.MA=ft”.任务：谙按照上面的证明思路，写出该证明的利余部分：2如图3,已知等腋AABC内接于OaA8=AC=4,8C=3,点C为弧Ae上一点，ZABD=45t.10 .小明学习了垂径定理，做了下面的探究，谓根据遨目要求帮小明完成探究.更换定理的起设和结论可以得到许多其命题.如图1,在0。
7、中.。是劣孤八8的中点,直线C。，A8千点AE=HE.请证明此结论：(2)从BI上任上一点出发的两条弦所组成的折线，成为该01的一条折花.如图2,P.P8纲成OO的i条折弦C是劣弧AB的中点，直线C。附于点E则AE=PE+PB.可以通过延长/）8、AP相交于点A再连接八。证明结论成立.请写出证明过程：8之间存在怎样的数量关系？i?写出证明过程.11 .在OO中标=余,顺次连接A、8、C.（1如图1,若点M是窟的中点,且MNzMC交8C延长线于点M求证：AfN为0。的切线：0.C（0,2）.求回心M的坐标：2点P为布上任意一点（不与人。用合），连接PcPD,作八E1.OP的延长线于点.当点P在右
8、上运动时,注投的值发生变化吗?若不变,求出这个值,若变化,请说明理由.AE3如图2,若点Q为宜线F=-I上一个动点，连接QCQO,当sin/火?C的值最大时，求点Q的坐标.13 .【问愿呈现】阿基米第折弦定理:如图I,A8和8。是。的两条弦（即折线A8C是I网的一条折弦）,8。八从点M是嬴的中点，则从M向8C所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD=O8+M.卜面是运用“豉氏法”证明CD=DB+BA的部分证明过程.证明：如图2,在CC上搬取CG=A8,连接MA、M8、MC和MG：M是冠的中点，.,.MA=MCd)又ZA=N您MAC(J.,.MB=MGXVDC.,.BD=DG：.ABBD=CG
9、+DG即CD=DB+BA根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：【理解运用】如图I.Afi.Hc是0。的两条弦，AB=4,C=6.点M是位的中点，AH8C千点/).则BD=；【变式探究】如图3,若点W是正的中点，【问遨呈现】中的其他条件不变，判断C/阳、BA之间存在怎样的数M关系？并加以证明.【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成卜列问题：如图4,8C是。的H径，点AlflI上一定点，点。用上一动点，且满足NDAC=45；若A8=6,QO的半径为5.求A。氏.14 .先阅读册璃及证明思跖，再解答下列日烟.命题：如图I.在正方形A8C/）中，已知：EAF=45,角的两边AF分别与8C、Co
10、相交于点石、F.连接.求证：EFBE+DF.证明网路：如图2,籽八8绕点A逆时针旋转90,至八。E.YB=八。，NMO=90,，八8与AC重合.：/AOC=/8=90,；.NFDE=180,点F、/）、E是一条直跳.I）特例应用如图1,命题中，如果8E=2,DF=3.求正方形A8CC的边长.2）类比变式如图3,在正方形ABa）中，已知AAF=45,角的两边AE、分别与8C、C/）的延K线相交于点RF，连接EE写出石尸、BE、OF之间的关系式，并证明你的结论.3拓展深入如图4,在。中，B,八。是。的弦，且八8=人。,M、N是。上的两点,NAMN=WN8A2如图5.连接M8、A）.A）与AN交于点，求证：M=5M+O/.DA.V:若点C在丽（点C不与点A、/人MMiR合）上，连接C8、C。分别交线段AM、AN或其延长线于点从匕直接写出尸、.。尸之间的等式关系.MBiBJ
