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1、SARS流行病模型及其对将来走势的预料SARS流行病模型及其对将来走势的预料摘要SARS是21世纪第一个在世界范围内传播的疾病，它的爆发和扩散给我国的经济发展和人民生活带来了巨大影响，因此定量地探讨传染病的传播规律具有非常重要的意义。本文在一系列合理假设的基础上，通过对问题的具体分析，首先时于附件（1）中的模型M易予客观公正的评价。该模型简洁明白，具有肯定的合理性和好用性，但是又存在很多的缺陷，具有肯定的片面性，对影响SARS疫情传播的因素考虑的不够全面。在此基础上，我们提出了SIR模型，该模型将某一地区的人们看作一个动力系统，再将其划分为易感染者、患病者和移出者，通过建立微分方程组来加以解决
2、。在此模型中，我们考虑了个体的免疫率、死亡率以及被感染者的康复率等因素。为了验证模型、算法的正确性和有效性，通过计算机模拟，对北京、内蒙古、广东、河北、山西各地的SARS疫情进行拟和，并给出了我们的预料数据，结果表明我们的模型与实际状况相当的吻合。另外，我们还分别针对得病后入院时间以及隔离强度的不同，对SARS疫情传播所造成的影响做出估计，其结果表明：SARS病人1.5天后入院与2天后入院相比，SAKS发病总人数可能会削减1500人,SARS疫情得到限制的时间可能会提前1个月；而得病1.5天后入院与2.5天后入院相比，SARS发病总人数可能会削减2400人，SARS疫情得到限制的时间可能会提前
3、1个半月；隔离措施强度60%与50%相比，SARS发病总人数可能会削减700人，SARS疫情得到限制的时间可能会提前半个月：隔离措施强度60%与隔离措施强度40%相比，SARS发病总人数可能会削减HOO人，SARS疫情得到限制的时间可能会提前1个月。一、问题的重述一、问题的重述SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome,严峻急性呼吸道综合症，俗称：典型性肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和扩散给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了很多重要的阅历和教训，相识到定量地探讨传染病的传播规律，为预料和限制传染病扩散创建条件的重要
4、性。请对SARS的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件1所供应的一个早期的模型，评价其合理性和好用性。（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特殊要说明怎样才能建立一个真正能够预料以及能为预防和限制供应牢靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所实行的措施做出评论，如：提前或延后5天实行严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。（3）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。二、已有模型的分析对于附件1中的模型，我们可以很直观地看出，此模型简洁明白，没有涉及到太多的变量和参数，读者很简洁理解。模型不但包括了每个病人可以传染他人的期限1
5、.,而且还考虑了不同阶段、不同环境下传染概率的改变，并对香港和广东的疫情进行计算和分析，其结果论证了该模型具有肯定的合理性。为了便于分析，其假定参数1.为20天，此时该模型能较精确地反映出香港疫情的改变趋势。用此模型对广东疫情进行测算时也较精确地反映了疫情上升期间的趋势，但在随后的下降过程中反映的数据却与实际状况有肯定出入，这可能与后期广东对SARS疫情的预防或限制状况有肯定的关系，须要更进一步的分析。经过对广东及香港两地的疫情的计算和分析，他们乂利用该模型来计算和预料北京地区的病例状况，发觉其预料结果与实际状况大致相同，且基本上能够反映疫情的走势。从文中的实际数据和模拟结果的对比状况来看，该
6、模型比较合理地反映了上述三处的SARS疫情，并对后期的实际操作及预防起到了肯定的作用。但是我们看到，该模型还是存在着某些不足。比如期限1.被固定在20天，这就有了肯定的局限性，因为随着社会的重视程度及医疗水平的不断提高，还有其它诸多因素的影响，期限1.将会缩短，而不是一个恒定不变的值：另外该模型考虑的影响SARS流行病的因素较少，从而导致其未能反映出一些必要的数据，比如病人的康复数及康复率等等。因此在此基础上，经过合理的假设和必要的分析，我们提出了如下的SIR模型：三、SIR模型的建立及求解大多数流行病如天花、肝炎、麻疹等治愈后有很强的免疫力，它们已退出传染系统。严峻的急性呼吸道综合症SARS
7、就是21世纪出现的第一个既严峻且乂易于传播的疾病。但是它又不同于其他传染病，它引起了社会的极大恐慌，并造成社会运作方式发生相应的改变，因此其本质已经超出了一般传染病的发展规律。但在政府、各单位以及每个公民的共同努力下，如传染者与其他人接触率的削减、改进医院的限制措施、患者接触的检疫以及公众H动削减的接触等有效措施的实行，必定使非典疫情的发展满意更一般意义的规律。因此，我们结合SARS流行病的特点，建立SARS流行病动力学的SIR模型2。我们将人群分为易感染者(SUSCePlibIe)、患病者(InfeCtiOUS)、移出者(RemOVed)O所谓易感染者是那些健康且与病人接触过就简洁感染疾病的
8、人，他们中的一部分可能转化为患病者；患病者是那些能够将疾病传染给易感染者的人，在肯定期限内（感染阶段，他们仍属于患病者；移出者则包括已治愈的患病者和死亡者3,我们可以通过图1来表示他们之间的转化关系：图1.SIR模型中各群体间的相互转换图1.SIR模型中各群体间的相互转换各类t时刻的人数分别用tS、tkIR表示，且t时刻因病死亡人数也属于移出者一类。若用t表示t时刻人口总规模，则有：tNtRtEtS假设每个个体都具有因感染SARS而死去的相同的死亡率：单位时间内每个患者传染的人数为kIS（非线性传染率），其中k为大于O的常数：一个易受感染者在与病人进行有效接触后马上被感染且被感染后的康复率：患
9、者病愈后具有肯定的免疫实力，其免疫率为h。我们再假设只考虑因SARS死亡、康竟的人，而不考虑人的自然诞生与自然死亡人数（因数据不全，且影响小），则NlRtEtS（常数）由此我们得出带有免疫率的SARS流行病的数学模型为：tRtltStNRhldtdRlhlkisdtdINBrRSIkISdtdS）OOOO（1） 其中NB为诞生率，它是总人口数N的函数，初值OS=OS0,OOII0,00R,Tt,0,T为流行病的流行时间。若假定诞生率等于死亡率，即RlSN保持不变，记为ON,则ONNB,从（1）式中消去S可得：RIdtdRIhRINkIdtdD00（02（2） 相对于附件（1）中的模型，我们的模
10、型较全面地考虑了影响SARS的因素，包括复发率、感染率、免疫率等。为了进一步验证模型的合理性和有效性，我们依据世界卫生组织、中国卫生部以及香港卫生署等公布的疫情数据（包括确诊数、死亡数和出院人数），通过计算机，利用Mat1.ab语言5（程序详见附录一），对北京、内蒙古、广东、河北、山西各地的SARS疫情进行拟和，并给出了我们的预料数据（详见附录二、三）。拟和结果表明我们的模型与实际状况相当的吻合，以下是各地区的疫情改变曲线图：4月20日至7月1日北京SARS累计感染人数曲线图4月20口至7月1内蒙古SARS累计出院人数曲线图月25日至7月14日广东SARS累计出院人数曲线图4月25口至7月14
11、口广东SARS累计感染人数曲线图4月21日至7月1日河北SARS累计确诊人数曲线图4月21日至7月1口山西SARS累计死亡人数曲线图为了建立一个真正能够预料以及能为预防和限制供应牢靠、足够信息的模型，我们收集了SARS发病较严峻的部分地区的资料，其难点是：(1)数据收集相当困难，而且我们根本无法保证其牢靠性；(2)为了使模型的参数尽量符合实际，我们从多方面加以考虑，但其困难在于程序的调试比较麻烦，而且我们无法保证模拟时数据的选择是否合理。四、评价与分析政府的措施我们选择得病后入院时间改变的模拟分析和隔离措施强度两个参数疫情传播所造成的影响做出估计。1、得病后入院时间改变的模拟分析在SIE模型其
12、他参数不变的状况下，我们针对得病后入院时间的不同，在得病后入院时间为1.5天、2.0天与2.5天状况下，对模型进行模拟，得到三种不同的曲线，图形如下：得病后入院时间不同的SARS发病总人数曲线图对上述的三条曲线进行分析，可获得：SARS病人1.5天后入院与2天后入院相比，SARS发病总人数可能会削减1500人,SARS疫情得到限制的时间可能会提前1个月：而SARS病人1.5天后入院与2.5天后入院相比，SARS发病总人数可能会削减2400人，SARS疫情得到限制的时间可能会提前1个半月。2、隔离强度不同的模拟分析在SIE模型其他参数不变的状况下，我们针对隔离强度的不同，对隔离强度分别为40%、
13、50%,和60%的状况进行模拟，得到三种不同的曲线，如下图所示：隔离措施强度不同SARS发病总人数的改变曲线对以上三条曲线进行分析，可获得：隔离措施强度60%与隔离措施强度50%相比，SARS发病总人数可能会削减700人,SARS疫情得到限制的时间可能会提前半个月；隔离措施强度60%与隔离措施强度40%相比，SARS发病总人数可能会削减IloO人,SARS疫情得到限制的时间可能会提前1个月。五、模型分析与评价我们在建立模型时没有将病例加以细分，因为依据实际状况，病例可分为显性病例和隐性病例（即潜藏患者），我们只是将其视为患病者。表面上看我们好像考虑的不够全面，而事实上我们是依据易感染者的感染比
14、率来确定患病人数的，这就说明对于任何的显性患者或是隐性患者，其感染率是通过易感染者的自身免疫力来确定的，跟患者数目没有T脆关系。依据全国非典科技攻关组公布的七大科研进展可知，己出院的非典患者都不具有传染性，亲密接触者无隐性感染可能，潜藏期患者传染可能性很小，而SARS则走一种潜藏期较短的传染病。当然，我们不否认所建立的模型并不是非常完备的，因为还有很多因素都可能对预料结果造成影响，诸如SARS潜藏期天数，患者被发觉前的时间长短，住院后治愈时间的长短，隔离措施的强度，还有个人每天接触的人数等等。另外，我们并不能保证避开地区外的病例输入，而这一因素对预料结果也有很大的影响。若有可能，可以通过建立系
15、统动力学模型对其进行预料。六、建立传染病数学模型，势在必行山雨欲来风满楼，中国古代传闻中就有能够依据某些迹象预料灾难发生的圣贤之辈，但现实中我们不能再用迷信的方法来欺瞒自己，尤其是在划时代的今日，我们要用科学的理论来预防任何灾难的发生。如今，SARS是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病，它的爆发和扩散给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了很多重要的阅历和教训，假如SARS能够被预料的话，中国就不会陷入动荡担心的社会状况，就不会有数百个生灵离开人间，就不会有那么多不幸的事情发生所以，痛定思痛之后，我们有必要建立数学模型来解决这些难题。建立传染病数学模型的优点在于它具有科学的
16、理论依据，依据已有的相关信息定量地探讨传染病的传播规律，用抽象的数学方法能够计算出不同条件下的各种可能性结果，进而实行有效措施来预防灾难的发生。然而，传染病数学模型的建立并不是一件轻松简洁的事情，它须要对疫情传播所造成的影响做出估计，须要探讨人员具备严谨的数学理念，通过计算机编程来预料和限制传染病扩散，并对各种结果进行误差分析，使传染病产生的危害降到最低限度。我们有信念，有实力建立一个最佳的传染病数学模型来解决我们身边的任何一类疾病传播问题。虽然我们的相识是有限的，但我们的不断创新实力是无限的，我们渴望华蜜生活的拼搏精神是恒久不会磨灭的。参考文献：1R.M.AndersonandR.M.May,Populationbiologyo
