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1、SARS的传播模型(精品)SARS传播的数学模型传播的数学模型摘要摘要本文首先分析题目所给的条件对附件1中的前期模型进行合理性、适用性评价，我们认为它考虑因素不全面，传染人数呈指数增长等的不足之处，针对这些不足之处我们建立了自己的模型。模型的建立是依据SARS流行过程中的传播特点和灰色系统的特点之间的相像性，利用灰色系统理论和其它数学学问建立了四个数学模型。并利用附件中供应的北京市疫情统计数据作为参考资料，依据建立的数学模型，对相应数据进行预料以检验模型的合理性、适用性。接着，依据灰色系统的系统预料理论建立系统预料模型，即各变量之间的关系dx描述，利用北京市疫情统计数据中的部分统计数据，由最小
2、：乘法确定模型参数，并用龙格库塔求数值解对已确诊累计病例、现有疑似病例、死亡.累计病例、治愈出院累计人数，进行系统预料，预料出上述数据的改变趋势和肯定时间内预料值，将侦料结果与实际值进行比较，发觉该模型短期预料值与实际值非常接近，适用于短期预料，若用于长期预料则需不断修改模型参数。最终利用模型对延后5天实行严格的隔离措施进行预料，与实际状况下疫情传播状况进行比较，从而得出刚好实行措施在限制传染病流行过程中的主动作用。此外，用灰色微分方程理论和时间序列分析中的ARlMA理论建立了GM(1,l)kx)1(可用状态方程BUAXdt模型。GM(1,1)模型数学描述为B(aueauxak/)/)1(00
3、()0(，ARIMA模型数学描述为下的2003年北京的旅游人数，定量地描述了SARS对北京旅游业的影响，并对两种模型得到的结果进行比较，画出了比较图表。总结出了SARS对旅游业的影响。最终我们依据自己所建的模型给当地政府写了一篇建立数学模型重要性的论文。1.题的重述题的重述pspsssBBB2211),并分别预料在没有SARS影响SARS(SevereAcuteRespiratorySyndrome,严峻急性呼吸道综合症，俗称：小典型肺炎)是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和扩散给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了很多重要的阅历和教训，相识到定量地探讨
4、传染病的传播规律、为预料和限制传染病扩散创建条件的重要性。请你们对SARS的传播建立数学模型，详细要求如下：(1)对附件1所供应的一个早期的模型，评价其合理性和好用性。(2)建立你们H己的模型，说明为什么优于附件1中的模型:特殊要说明怎样才能建立一个真正能够预料以及能为预防和限制供应牢靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所实行的措施做出评论，如：提前或延后5天实行严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2供应的数据供参考。(3)收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预料。附件3供应的数据供参考。(4)给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病
5、数学模型的重要性。2 .问题的分析问题的分析Sars作为本世纪初人类面临的第一个大规模传染病，给人类社会造成的危害是非常巨大的。Sars的突袭给人类带来巨大的损失，在与Sars作斗争的过程中，我们意识到在类似Sars的疾病爆发过程中，假如可以预料到疾病的传播趋势，对灾情作出合理的估计，就可以合理支配筹备工作，快速作出反应，有效地限制灾情，减小损失。故此我们须要建立数学模型来探讨、预料、限制病情的传播。3 .早期模型的评价早期模型的评价3.1合理性：合理性：附件1所给的模型为：N(t)=NO(1+K)t它是基于现实生活中的自然状态，描述出了SARS传染病最核心最本质的改变趋势。K的取值采纳半模拟
6、循环计算方法，发展趋势由K值的改变体现。该模型的优点在于简洁，易行，便利对数据采纳拟合处理和利用取对数求方差估计与实际数据的误差，说明白该模型所具有的合理性。3.2 不合理性:不合理性：此模型把实际问题过于简洁化了，有不合理的地方：(1)模型中的K的取值只能依据已经有的数据拟合，因此模型的精确度严峻地依竟与所给数据的精确度。实际中，统计所给的数据本身就有肯定误差，拟合一个本身就包含偏差的数据势必造成与现实规律更大的背离。(2)模型本身不具有预料性，它的K值是由数据拟合确定的。假如背离题目本意，我们让K依据某种规律改变，预料发展趋势，其产生的误差是很大。(3)随着时间的推移，社会中存在各种限制的
7、综合作用，用一个单纯笼统的K的改变已很难刻画出困难因素的影响，因为各种因素对SARS的影响不尽相同，有的可能抑制传播，有的则可能促进流行，致使模型的一样性在后期变差，误差越来越大。(4)早期模型指出被感人数按指数增长，而实际状况，由于病情受到各界的限制，它不行能按指数形式增长，故此有其不合理性。3.3 好用性：好用性：一方面任何具有传染性的疾病大致都是会经验发展(快速扩散)期一相对稳定期一渐渐消亡期这样的一个过程，附件一模型精确地体现出了这点，因此它具有普遍好用性。但另一方面，附件一所用的数据只是病例发觉初期的数据，并不能刚好的反应出病情传播的状况，故此也具肯定的不合理性，须要建立新的模型来探
8、讨。4 .模型的建立与求解模型的建立与求解4.1问题的假设问题的假设4.1.1.SARS的持续期不太长，可以忽视在SARS持续期内的城市人口的自然诞生率和自然死亡率.4.1.2.被SARS感染后经治疗康熨的人群在SARS流行期不会被再次感染.4.1.3.病人被严格隔离、治愈或者死亡后，不再有感染作用.4.1.4.不考虑人口的流淌，仅仅在一个城市范围内探讨SARS疫情的发展过程.4.2符号说明符号说明S(t):易感类人群占城市人口总数的比例.I(t):传染类人群占城市人口总数的比例R(I):解除类人群占城市人口总数的比例.(t):SARS患者的就诊率=ttSARS时刻被隔离的SARS患者数时刻全
9、社会患者总数.：单位时间内一个传染者与他人的接触率.1.：平均传染期.4.34.3传播机理分析传播机理分析针对早期模型的不足，须要在模型的合理性和好用性方面进行改进.考虑在经典传染病模型SIR的基础上，通过机理分析，用实际因素来描述SARS的传播过程，为了简化模型，这里不考虑人口的流淌带来的影响，仅仅在一个封闭城市中探讨SARS的传播机理.那么，整个社会人群可以分为3类：S类：称为易感类，该类成员没有染上传染病，但缺乏免疫实力，可以被染上传染病I类：称为传染类，该类成员已经染上传染病，而且可以传染给S类成员.R类：称为解除类或复原类，R类成员或者是I类成员被严格隔离、治愈，或者死亡等.I类成员
10、转化为R类后，立即失去传染实力.S(I)、l(t)、R(t)分别表示t时刻上述3类成员占城市人口总数的比例.对于传播过程有3条基本假设：1：人口总数为常数N,N足够大，可以把变量S(t)、I(t)、R(t)视为连续变量，还可进一步假定为连续可微变量.2：人群中3类成员匀称分布，传播方式为接触性传播.单位时间内一个传染者与他人的接触率为，则一个传播者在单位时间内与S类成员的接触率为S(t),因此，单位时间内I类成员与S类成员的接触总数为XS(t)I(t),这就是单位时间内I类成员增加的数量,称为发病率，它是S(t)和I(D的双线性函数就是单位时间内【类成员增加的数量，称为发病率，它是S(t)和I
11、(t)的双线函数.3：传播者的被限制数正比于传染者的数量Nl(D，比例系数为V,V称为被限制率，则平均传染期为1.=1/V.=/V为一个传染者在其传播期内与其成员的接触总数,称为接触数.那么SARS的传播流程如图3：NSNI易感类(t)传染类(t)图3SARS传播流程图在这个模型中，解除类NR(t)就是已确诊SARS患者累计数，而N1S(I)是全社会累计SARS患者数，包括已确诊的和未被发觉的两部分.4.4模型的建立4.4模型的建立有了以上的机理分析，建立起针对SARS的改进SlR模型：dSSIdtdISIvIdtdRvIdtIRSSIR该模型中参数和V在疫情发展的各个阶段受实际因素影响，会有
12、比较明显的改变，现分析如下：Ol参数表示单位时间内一个传染者与他人的接触率，其与全社会的警觉程度和政府、公众实行的各种措施有关，例如，佩戴口罩，削减停留在公共场所的时间，喷洒消毒药剂，提高隔离强度等都能有效地降低接触率的值.一般认为，的数值随着SARS发展的4个阶段不断改变.在SARS初期，由于潜藏期的存在和社会对SARS病毒传播的速度相识不足，政府和公众并未引起重视，故维持在一个较高的数值：进入爆发期后，公众发觉感染者不断增加，恐慌心情增加，随即实行多种措施，使得到肯定的限制，但效果不明显，此处假设呈线性形式缓慢衰减：在高峰期，当高强度的限制措施实施后，病毒传播的有效接触率明显削减，可以认为
13、按天数呈指数形式衰减：此后进入衰减期，就维持在一个较低值旁边.02参数V表示传播者的被限制率.1.=1/V称为平均传染期，表示一个传播者在被隔离或者死亡之前具有传播实力的平均时间.一般认为，SARS患者经过传染期1.过后，将隔离治疗或者死亡，从I类成员变为R类，失去传播实力.1.与政府实行的措施亲密相关，例如，尽量早地发觉病患，对疑似病例提前进行隔离，早发觉，早隔离；供应更广范围的医疗手段，使更多的人接受有效的治疗等，都可以有效地降低平均传染期1.的长度.因此这里将1.干脆抽象为每一时期SARS患者的就诊率（t）的函数.平均传染期1.应随（I）的改变而改变.但是在初期，由于政府对SARS的相识SIvNSNR传染控制排除类（t）OOO（I）（2）100,0不足，并没有实行有效限制措施，1.的改变很小可以近似看作定值，这里我们取SARS病毒最长潜藏期（约19天）为这个定值；在爆发期，有效限制措施的逐步加强，使SARS患者的就诊率（t）渐渐增加,而平均传染期【，会渐渐减小并趋于一个定值，这里我们将SARS
