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1、求同存异，升降换分略论数学的解题方法湖北工业大学叶盛标我们学数学是从1个苹果+2个苹果=3个苹果开始的.这里的3个苹果同形同质.我们还在幼儿园时代.到了小学六年级，学习园的面积：Sy=Er=Xtr2.同面积这里用到了很萌的微积分.到了初中，证明勾股定理勾2+股1弦2.正方形的面积=4个宜角三角形的面积+小正方形的面积.（同面积）到了高中，证明Sin(+/?)=SinaCOS川+cosasin4【证】SMliC=；AB.ACsin(+SMltn+SMcC=；ABADsina+ACADsm=ACcos/?-sina+AC-Acostz-sin=ABAC(sinacosy+cosasin).:.si
2、n(+/7)=sinacos/7cosasin.一个三角形的面积=两个三角形面积的和.(同面积)到了大学,学微积分：有同名导数歌诀：恭导还是累，(x)=rT,指导还是指，(e)=et(*)aIn,弦导还是弦.(Sinx)=COSX,(CoSx)=-SinX.吊指弦弦，同名导致.（原函数与导函数为同名函数）这四个同名导数,使得分部积分变得非常简便,那是因为被积函数里面行幕指弦弦这四个函数；这四个同名导致,使得解二阶常系数非齐次线性微分方程V*+py,+qy=e仍(X)CoScar+0“(X)Sin皿)变得非常简单,那是因为方程右端的自由项中的B(x),n(x),e&,sins,coss的导数为同
3、名函数；这四个同名导数,使得微积分中很多证明题,计算题变得非常简单,被任课老师称为学生必须掌握的技巧！再如计算不定积分.dJSlnMI+CoSx)由三角函数知道，Shx,COSX都可以用ian；的有理式表示，即万能置换公式：2tan-l-la一sinX=-,Cosx=.2Xt,x1+(an*-l+tan-UPsinx,COSK为同名函数.于是作变换=tan-(-.v),.v=2arcan/,dx=dt,2I+/*f1+sinX.Ii-.(Ixisin.11l+cos.v)综上所述,并推而广之,数学的解题方法为:数学问题,结论开始:求同存异，升降换分.同洞函,同角,同次,同阶,同级,同根,同秩,
4、同形,同迹,同面积,同体积,同弧长,同周期,同奇偶,同分布,同区间,同区域,同类项,同已知,同结论,同定理,同方法,同过程,同题目,就可轻车熟路;不同呢?升降换分.升:升阶升级;降:降阶降级;换:换元,换序,轮换,倒代换,三角代换,合同变换,正交变换,等价代换,;分:分段,分类,分别讨论.求同存异是目标,升降换分是手段.从小学,初中,高中到大学,我们常讲的模仿,模块,套公式,就是求同存异，谓之求同存异法.为了说明求同存异法,再举两例.2-2VCTtr例1.求极限Iim;二:八、*0smxln(l+x*)【解】分广分母有指数函数,正弦函数,对数函数,不同名！用麦克劳林公式，可使分子分母变为同名函
5、数.事实上，0/_2-2CeJrfIiin,r2A-0,e-Isixln(l+2)IoJ=Iime=2/丁门;-7In(I+x)x,1)SnrxlnU+尸)X,sinxx,-jIII=Iime-Iim；JCOSX=Ix2+-X4+.,m)入SilrXl(l+尸J2!rP,4!.2+2COSx,I，=IunCOsx-1+toX42!1.,=IimJ-？=.V2-2+2cosxCIX412乙34!12用麦克劳林公式,可使分子分母变为同名函数分母是分子就是一.麦克劳林的伟大功绩就是把初等函数化为同名函数(辕级数).例2.拉格朗口中值定理:设y=r)在上连续,在(内可导,证明：在(4)内至少存在一点小
6、，使得f(b)-M=fb-a).【证】数学问题，结论开始.证件)%)=/(典&),即证尸G)=fb-M-f(b-)=0,令F(X)=fb-M-fxh-a),F(x)=f(b)x-/()a-f(xh-)+C,/(x)为Nx)的导函数，NX)为F(x)的原函数,也是同名函数,但不同阶.从F(X)到尸(x),叫升阶,从函(x)到F(x),叫降阶.F（八）=af(b)-af（八）-bf（八）+af（八）+C=af(b)-bf（八）C,F(b)=bjb)-bf（八）-bf(b)+qf(b)+C=af(b)-bf（八）+C,从而尸=F(b),(同边值)由罗尔定理，在(4)内至少存在一点Q使得FW=O,即有刚-f()=-),证毕.风靡全球,畅销70年的波利亚的宏篇大作怎样解题向我们娓娓道来：“你以前见过它吗？”“或者见过同样的题目以稍有不同的形式出现吗？”“你知道一道与它有关的题目吗？”“你知道一条可能有用的定理吗？”讲的也就是：求同存异法.
