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1、第三章作业答案3-1判别下列系统的能控性与能观性。系统中a,b,c,d的取值对能控性与能观性是否有关，若有关其取值条件如何？(1)系统如图所示。X1=xl+MX2=-bx2Xj=X1+X2-CX3X4=x3dx4输出变量：y=i由此写出状态空间:/aOO0、O-bOOx+OU11-COOO1dXy= (0 O 1 O)X=l,0,0,0r,B=-,0,l,0rM2=2,0,-a-c,1A3B=-a3,0,a3+c3,-c-Jl1-aa-a判断能控型:UC=(BABA2BA=OOOO20/O1-a-ca+ac+ck0O1-a-c-drankUc4,所以系统不完全能控,讨论系统能控性:(C、001
2、0、CA11-C0CA2-a-C-b-cc20ICAL22cr+ac+cb2+bc+c2-C0,判断能观性:UO=阳成U04,所以系统不能观.（2）系统如图所示。X=U-abcd)x2y=(lO)XUc=B,AB=1-a+byJ-c-dj若a-b-c-d-bw,则ZUC.=2,系统能控.CAJ-a0b)若人0,则rankUQ=2,系统能观.（3）系统如下式:1、0U 解:系统如下:Jl10 -1J 。再X2JX2若工0力工0,系统能控.若CwO,dw,系统能观.3-2时不变系统:(试用两种方法判别其能控性与能观性。解：方法1：秩判据法。Uc=(BAB) =rI1 -2 -2J 1 -2 -2，
3、RankUc= 1 ,RCmkU0= 2,所以系统能控。（1）矩阵A=-311 -3,计算其特征值,11)J -1;P-,=-(1211-1由det（Z-A）=0可得，（4+3）-1=0,得4=-2,2=-4（2）求特征值对应的特征向量，Pi=4p=AP2p2=A”？得到PI=（3）求取对角标准型,A=PAP=r-2OT豆=PB=C=CP=由对角标准型判据可以得到，系统不能控，能观。3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数%.。0A=，c=(iT)解:A=%0、z,b=,C=(1一1),UC=S,Ab)=a?)v/-1依题意可控可观需:rankUe=2,rankU0=2所以:
4、名工a1(2)解：002)(、A=10-3,b=1,C=(001)W1JU;rO02、A=10-3r1UC=(bAbA2b)=2Ia2四24、12AA1J%)当1+4区+2崖-6夕2用工0,即1+4凤+2尾-62.0时,系统完全能控.rCUo=CA601、10。0,detU=-lwO,所以系统完全能观.3-4线性系统的传递函数为:Ms)=w(5)?+10?+275+18(1)试确定a的取值，使系统为不能控或不能观的。(2)在上述a的取值下，求使系统为能控状态空间表达式。(3)在上述a的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。解:G(S)s+ 0?+ 10?+ 275 + 18s+ a(5 +
5、1)(5 + 3)(5 + 6)10X= 0T y 二 ( 1O)XX=1y = (o叫-27-ox+0O)X(1)当=l,3或6时，系统传递函数出现零极对消，使得系统为不能控或不能观。(2)当。=1,3或6时，其能控标准型为10、01x+-27-10,系统为能控但不能观。(3)(2)当=l,3或6时，其能观标准型为系统为能观但不能控。3-5试证明对于单输入的离散时间定常系统Zr=(GM),只要它是完全能控的,那么对于任意给定的非零初始状态玉,都可以在不超过n个采样周期的时间内，转移到状态空间的原点。u(0)、证明：(GJ?)能控，则G,G力,O可逆；则令“=4G-,G-2.,Af1GwX(O
6、)d(T),u(0)、x(n)=Grtx(0)+ZGn-j-lhu(j)=Gxo)+G-%,G”儿,可=o:=Gx(0)-G-%,G2z,川G-%,G”-2,川-Gnx(0)=03-6已知系统的微分方程为:y+6y+l1,+6y=6u试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。解：因为y+6y+lly+6y=6w,所以出=6,4=IIMO=6也=6,=b2=b3=0此系统状态空间表达式为：y=(H-。也)，3-砧3),仅2-。4)“+w=(600)2其对偶系统的状态空间表达式为:00X= 1 0 1y 二 (0 0SlSO系统与其对偶系统的传递函数是一样的，即,W(S)=F，s2+6s+1l
7、s+63-7已知能控系统的状态方程A,b阵为：试将该状态方程变换为能控标准型。解：(1)UC = (b Ab) =,满秩系统能控.(2)系统的特征多项式:det(- A) = det%-132、4一4,=(-l)(2-4) + 6 = 2-52 + 10(3)求变换矩阵PT和PPT=(Ab8410-111b)(I)=J1X0-61)=(2（4）系统能控标准型为,A=PAPT=(8_481-2-6|)(34)(2415)b=Pb=2T1、48340bITo5人制3-8已知能观系统的状态方程A,b,C阵为:rl-J1;。=(一1O试将该状态空间表达式变换为能观标准型。det(一A)=det=22-
8、2+2解：Q1=1-2I。Ul-I-0、2、L20、-112(A=Q1AQ=.zz,=lZ=c=(-)1-21-2此系统的能观标准型为;fo-2Yx(4)X=+uJ2JX2)Ly=(0I)Fx2j3-9已知系统的传递函数为：W(S)=S-+ 6s 85245 + 3解:所以能控标准型为:y= (5 2)jv +w 能观标准型为:试求其能控标准型和能观标准型。.、s+6s+82s+5UW)=齐=r+w7r所以2),O=I0-31-4y=(0l)x+w3-10给定下列状态空间方程，试判别其能否变换为能控和能观标准型。f0X=-211-310+1wT)y=(o,0,I)XrO1-3、解：Uc=1-3
9、7,detUt.=14+15-18-ll=0矩阵不满秩，系统不完全能控,3-511,不能转换为能控标准型。001、Uo=-11-3,detU=8-l=7,矩阵满秩，系统完全能观，可以转换为能1179,观标准型。3-11试将下列系统按能控性进行结构分解。rI0l00,b= 0 ,C = (1, -1, 1)解:系统能控判别矩阵:Uc=(bAb A2B) =-103-4、0 %rankUc=2T)-3402、-2仔xc1、0y=(2-1)xC3-12试将下列系统按能观性进行结构分解。-2012-2-41,-1, 1),b=00解:系统能观性判别矩阵:,C、CAa-1-110 -121rankU。=2所以系统不需分解.3-14求下列传递函数阵的最小实现:=3,%=q=%=0A=oOWtOM=01/.X=000000000000100000010000001000000100000010000001下面检查能观性，如果能观，说明是最小实现。如果不能观，则按照能观性进行分解，之后将其中的既能控又能观部分选取出来，即为系统的最小实现（步骤略）。另解:
