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1、本科毕业论文（20届）级数敛散性判定方法的研究所在学院专业班级数学与应用数学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月要：级数是研究函数性质及进行数值计算的有力工具，并且在其他学科以及生活中的应用也很广泛，但是对于数项级数的敛散性的判定较难.因此本文的重点是综述级数敛散性的判定方法，主要有KUmmer判别法，奇偶项判别法，阶估计判别法等。关键词：级数；敛散性；判定法TheStudyontheJudgmentofConvergenceandDivergenceofSeriesAbstract：Seriesisusedforresearchingthefunctions,properties,andis
2、goodfornumbercalculation,andseriesiswidelyusedinotherdisciplinesandourlife.Whereas,itsdifficulttojudgetheconvergenceanddivergenceofseries,so,thisarticlefocusonthesummarizingthejudgmentsoftheconvergenceanddivergenceofseries-MainlyhastheKummerJudgment,theParityJudgment,theOderEstimatesJudgment,andsoon
3、.Keywords：Series;Convergence;Judgment1引言12级数的概念及相关性质13数项级数的敛散性判别法及其应用33.1 P级数判别法33.2 2Kummer判另IJ法53.3 一类正项级数收敛判断的推广73.4 奇偶项判别法83.5 优拉高判别法113.6 达朗贝尔、拉贝、对数、比值判别法的推广143.7 阶估计判别法183.8 一般项级数的敛散性判别法203.9 数项级数敛散性判别的一些技巧223.9.1 9.1利用不等式法223.9.2 利用泰勒展式法223.9.3 拆项法234函数项级数的敛散性判别法23致谢错误!未定义书签。参考文献251引言级数是研究函数性
4、质及进行数值计算的有力工具，并且在其他学科以及生活中的应用也很广泛，但是对于级数的敛散性的判定较难.因此本文重点对数项级数的敛散性进行讨论.人们很早以前其实就已经接触到无穷级数了.在中国古代的庄子天下中所说的“庄子切棒”问题：“一尺之锤，日取一半，万世不竭”中所含有的极限思想，用数学形式表达出来就是无穷级数.虽然在古希腊的数学中出现了无穷级数，但是由于希腊人惧怕无穷，因此总是用有限和代替无穷和，近代数学正是在突破这种禁忌的基础上发展起来的.芝诺(Zen。ofEIea)的二分法涉及了把Illl1分解成无穷级数一+r+-+-+的形式.亚里士多德(AriStOtlC)也认为这种无穷级2222324数
5、的和存在，因为这是公比小于1的几何级数.阿基米德(ArChinledeS)在他的抛物线图形求积法一书中，用几何级数求出了抛物线的弓形面积.在十五、十六世纪，对无穷级数的研究以休赛特和奥雷姆的方式进行，即认为几何级数有两种可能性，当公比大于1时，无穷几何级数的和是无穷；当公比小于1时，无穷级数的和是有限的.但是由于局限于文字叙述和几何方法，因此没取得重大进展.尽管如此，中世纪的这种承认无限的思潮仍旧为十七世纪关于无穷级数与无限过程的重要工作开辟了道路.2级数的概念及相关性质定义给定一个数列“,对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式U+么+(1)称为数项级数或无穷级数(也常简称级数)，其中，4称
6、为数项级数(1)的通项.00数项级数(1)也通常写作：“，或简单写作数项级数(1)的前项和，记为00Sn=4=4+4+，(2)A=I定义2口给定一个定义在数集上的函数列4,(X),表达式+&(X)+Un(X)+,XD(3)称为定义在上的函数项级数，简记为(Nq,()/2=1Sn（X）=ZUk（%）,XeD,n=1,2,（4）=1为函数项级数（3）的部分和数列.定义3若数项级数（1）的部分和数列S收敛于S（bjIimS=S）,则称数项级数（1）收敛，称S为数项级数（1）的和，记为Su+u+或S=）、u.12nn若s,发散，则称数项级数（1）是发散的.定义4闭若X。夕，数项级数q（0）+4（）+（
7、/）+C）收敛，即当7?OO时部分和S.（x0）=Zq（XO）的极限存在，则称级数（3）在点Xo收A=I敛，怎称为级数（3）的收敛点.若级数（5）发散，则称级数（3）在点X。发散.若级数（3）在后的某个子集D上每点都收敛，则称级数（3）在D上收敛.级数（3）在D上每一点X与其所对应的数项级数（5）的和S（X）构成一个定义在上的函数，称为级数（3）的和函数，并写作S（X）=4+U2+Un（X）+,xD即IimSn（x）=S（x）,X由此可见，函数项级数（3）的收敛性等价于它的部分和函数列（4）的收敛性.性质1同设级数纥与女都收敛，且其和分别为S与S,则/7=10=ICO（1）a,R,级数Z（a纥
8、+/2）也收敛，且有n=l0088（+儆）=GLari+Bfbii=aS+尸S；=1=1/?=1OOOO（2）若ab（nN）,则，aV?,nn+/nn=1=l性质2在一个级数中，任意删去、添加或改变有限项，该级数的敛散性不变.性质3间设级数a收敛，则必有IimH=0./J=I8但是Iinla=0不是级数a收敛的充分条件，如调和级数./?=!3数项级数的敛散性判别法及其应用目前:比较为我们所熟悉的判定级数敛散性的方法主要有定义法、柯西（CaUChy）法、比较法、比式法、根式法以及利用性质来判定等等，然而，以上各种方法在不同程度上都有着各自的局限性,无法得到很广泛的应用，为了弥补上述不足，本文通过
9、查阅各种资料，特整理出了一些比较新的级数敛散性的判别法，下面逐一介绍.3.1 P级数判别法0级数判别法是通过建立正项级数与夕级数之间的一种关系，由）级数的敛散性来判断该正项级数的敛散性的方法.夕级数判别法1卜】设Z（为一正项级数，z（p0）为夕级数，1. 3N,当M时，U1时，正项级数，u收敛.00nP/心一n2. 3/V,当M时.，U.则当0PU发散.夕级数判别法2设E为一正项级数，Ko）为P级数，且Iimnpu=X,则70on1.当0X1时，正项级数Z4收敛.2.当04+8且0Pl,J由夕级数判别法2知，级数Z2+ 1n + T?2 + 1收敛.十2/7+1法2y为一正项级数,Jn+/?+
10、12/7+12n+2n400,。=62一Z?且存在某自然数nnnn_/;+10及常数4,L当“时，有9Nk0,级数为收敛./?=1、1.2.当M时，有CO,且Iin=+8，则级数a发散.0n7ocJAJAyDk-1在Kummer判别法1的基础上可得到Kummer判别法2.8Kummer判别法2设Z4为正项级数，且存在某自然数A及正数4,/7=11.当4时,成立不等式1、a+1a)nZn6,则级数a发散.n+12.当M时，Z成立不等式/71al+1a)(1+)S则级数a收敛.n+1+k念在Kummor判别法2的基础上可得到下面著名的拉贝(Raabe)判别法.8拉贝（Raabe）判别法设/2=1Z为正项级数，且存在某自然数及常数,1.当凡时，成立不等式、a1+1ajn/0NO时，成立不等式a+1a,n/0L则级数Z2,收敛/?=1其中，KUmmOr判别法1虽是比RaabC判别法和比式判别法更广泛更一般的判别法，但是由于它的过程是无限的，因而具有一定的局限性.8例4用Kummer判别法判断级数n=l(2)在S=1,3时的敛散性.a解：若用比式判别法，则对于S=1,3,都有lim3=L所以无法用比式判别法-+82n来判别原级数的敛散性.下用Raabe判别法.2 4（2+2）13（2+1）1,3（21）2,4（2，）a则3an2/7+12/7+2/771-、aan/771-所
