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1、1章答案1.1设质量为m的粒子在势场V（r）中运动。（a）证明粒子的能量平均值为ElWd%式中W7W7/q（能量密度）（b）证明能量守恒公式awt（能流密度）证明：（a）粒子能量平均值为（设已归一化）E=（-2+v）d5r=T+VVvVd5r（势能平均值）厂卜.（_）的（动能平均值）L-(V)-(V)(V)(Pr其中第一项可化为面积分，对于归一化的波函数，可以证明此面积分为零（见量子力学教程，18页脚注），所以（b）按能量密度W和能流密度S的定义ffWTi5/=2(”+3yp)+VW+“VW2(v(0N+7*)*V+Wy)+3.V少+W.Vj=V2+Vr)s+j(-V2+V)玖-Vs+ili*
2、-iti*=-.$因此1.1 考虑单粒子的SChrOdinger方程1 方13(r.f)：v2(ru)v(r)+iV2()()dtLmVl与V2为实函数.(a)证明粒子的概率(粒子数)不守恒；(b)证明粒子在空间体积内的概率随时间的变化为jPd3r=-(v-W)ds+JJV2(r)d3r证明：由SChrodinger方程=-2v2+v1+iV2(1)dtLm取复共甄-i方*=-VVj-iVz,(2)dt2m(l)-(2)i方？=一(V2.72)+2iV2VOt2M方2=-V(JVtfrdt*)+2iVj0*2m积分，利用StokeS定理cPr=-言IlJdS(*V-V9)+LrV2*fS对于可
3、归一化波函数，当r-8,上式第一项(面积分)为0,而v2o,所以；：卜WP不为0,即粒子数不守恒.r1.2对于一维自由粒子(a)设波函数为O(Z)=J(加不，试用HamiltOrI算符H=/-：、对J2r方2m2，(Il)运算，验证h%(x)=6%j);说明动量本征态%(/)是Hamilton量Lm(能量)本征态，能量本征值为上一2W(b)设粒子在初始(t=0)时刻,W(1.0)：%(N)求(xu)(c)设波函数为,)=为3长=卜川力，可以看成无穷多个平面波小，的叠加，即无穷多个动量本征dG的叠加，试问(x)6(N)是否是能量本征态？(d)设粒子在t=0时刻口Q,0)次/),求r(xu)解：(
4、a)容易计算出Hp=-尤Tzre8AI二卢为t2md/I/2”方J2w所以动量本征态(/)是HanHm量(能量)的本征态，能量本征值为E=P12m(b)0(.r,0)=产建其FoUrier变换为(p)-rf”产%3ZRdjr=f(-Po)2j-*由于(x,0)是能量本征态，按量子力学教程L2节，(37)式，(x)-X2ezs(p-p0)dp.e:y。小&G2j-(c)对于自由粒子，动量本征态，亦即能量本征态，由于3J)是无穷多个动量本征态cK的叠加，所以必)=3(z)不是能量本征态.(d)因为MnO)=M按量子力学教程L2节,(5)式Ir+8I(p)=-(x)eiz*dx=(2)-22Tj-o
5、所以(,o=3IJieK*d=TyZ公卜加=Ge若2nJ-2,-、2z计算中利用了积分公式8COUdf*sne2df=,或8/dW=eixz4?所以J-COJ-COJ_QOI(xf)I2=1.3设一维自由粒子的初态为一个GaUSS波包-31k（1）证明初始时刻，LOO（2）计算小寸刻的波函数解：（1）初始时刻按量子力学教程1.2节，（18）式之逆变换()=71f(,O)cxdx2j-00=-二-eo-rzw!c-2j2j-(2)z4=Q2k)9er%-%谭IMb)I2=Q2jre。%-0尸病所以/8P1(p)2d=PoJ-88P2I()2d=po-OO方Y20（2）按量子力学教程式）可知，在t
6、0时的波函数1.2节的讨论（见1.2节，（5）式，（18）WCJ）=焉卜exP圉Ar-芸）卜。园+刖”!*PoPqI(x-Pottn)2CXPl行卜一募获FZ行。I(.r.z)I42)(x-potm)2不,exp-q2+方2产m%2jr()=T72mlz2械,=7：(，-*8/2mAr(Z)z(=0)-=10,5m42h300036524606020.0012IO154.98102m可见随时间的增加，波包逐渐扩散，振幅逐渐减小，而其宽度Ax逐渐增大.1.4设一维自由粒子的初态为M.0）,证明在足够长时间后,(r/)=(；cxp-i4exp式中(k)=-f(x.O)cdx2jo是(x,0)的Fo
7、Urier变换提不：利用犯、W%二3(1)证明：根据自由粒子的动量(能量)本征态随时间变化的规律*/&山，式中e/7F旅2/2加所以时刻t的波函数为(x.t)=UZaWtr一根MdA2j-*当时间足够长后(t),利用积分公式I必C=(x)上式被积函数中指数函数具有3函数的性质，即y4点庠e1山=舟3g八喻1.1按照粒子密度分布P和粒子流密度分布j的表示式(1.2节式(13),(14)(ra)=*(r)(r)y(ru)=-(r.r)V(ru)(r,t)V(r.z)定义粒子的速度分布Vj/1V*(r,t)1vp2wL(r,t)(，/)证明WXtO设想V描述一个速度场，则V为一个无旋场.证明：按照上
8、述V的定义，可知HV(r,z)v(r)lV=FI(ru)(rt)=-Vln(r)-Vln(r4/)=TVln2?欧(，2)VV=VV()Q2n9(r,t)1.5处于势场V(r)中的粒子，在坐标表象中的能量本征方程表示成方22m+V(r)(r)=E(r)试在动量表象中写出相应的能量本征方程.解：W利用的FoUrier变换4M;康拉3f可知-v2%)=+v(i呜)卜(即所以在动量表象中相应的能量本征方程为(小v(i*)卜(P)=2章答案2.1设粒子限制在矩形匣子中运动，即z、jO0x,05r6,02,n,=1,2,3,粒子的能量本征值为而归一化的能量本征函数为,i.22.ni%.”、”、y,N)一
9、;-sin-Tsinvsin;,23JfIhCabc对于方匣子a=b=c，二o一+,l2+信)能级的简并度为满足小中后二2y卜条件的正整数(廨的个方Zkf数。【参阅：量子力学，卷,PP.420-421,练习2】2.1 设粒子处于一维无限深方势阱中，m、0,0xV(x)=.Xa证明处于能量本征态上(/)的粒子，讨论的情况，并与经典力学计算结果比较.证明：设粒子处于第n个本征态，其本征f,尸21.oHK.r=XInIdx=-Ifl2.处于基态(n=l,见2.2节式(12),求粒子的动量分布.解：基态波函数1/2s(p2方)+2cqs(pa21i)z2+。/方-户/方/12(g)oos(pa2h)J
10、0北方()2-(0/方)2测量粒子的动量的概率分布为()2O【参阅：量子力学，卷I,PP.87-88,练习4和练习5】2.1设粒子处于无限深方势阱V(Z)=%中，粒子波函.Xa数为3Q)l为由力化常数，(a)求A；(b)求测得粒子处于能量本征态由(N)=Jl而管的概率R特别是B；(C)作图，比较人力与弧(Z)曲线.从来说明两条曲线非常相似，即心G)几乎与基态必Cr)完全相同，解：(a)根据归一化条件8I (x) l2d.可得A=B，所以Ij=fAx(a - x)2d. JO(b)”(才)用心(.r)展开，e()=c(),Ch=Jr(x)(x)dLr=f0-ys*n-N)*=(1-cosn)Ph
11、=ICwI2=l-(-l)2只当n=l,3,5,时，叫才不为0,特别是P产:Uo.999,非常接近于1.考虑到归一化条件，c,i2=pr=i,可知G概率几乎为0,即心:与机(J)概率几乎完全Ml.(C)M(I)-J2/aNn(三，)(实线)-眄(虚线)m)2.1同上题，设粒子处于基态(n=l),El=rn22ma2,设t=0时刻阱宽突然变为2a,粒子波函数来不及改变，即玖(jr,0)=l(x)试问：对于加宽了的无限深方势阱0,0X28.r2a”工是否还是能量本征态?求测得粒子处于能量本征值E的概率.解：对于加宽了的无限深方势阱，能量本征值和能量本征态岛R2炉淅空，0X如R%=2。.X2a分别为可见以r.0)不再是它的能量本征态，,由于势阱突然变宽，粒子波函数和能量来不及改变，粒子能量仍保持为匕E力：中而玖(ZQ可以按2/WZJ-GG)展开，W(HO)=Cfrl,(x)(x)(x,0)clr=J*(x)(.r,0)d.rJ*(x)(x,0)dj=jnH(x)(
