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1、教与考衔接3二次求导法在解决问题中的常见类型例密展示【例】(1)证明：当OVXV1.时，-2VSinXx：2)已知函数f()=e-ax和g(x)=axInx有M1.同的蚣小假，求a.解：(”汪明：要证X-X?VSinXVX.则构道g(x)=x-sinX,h(x)=SinXx+x，-易得g(x)=1._cosx,则当XW时.g(x)=1cosx0,所以g(X)在(0,I)上单调递增.所以g(xg=0.所以SinXVX.由h(x)=sinX-x+x:,得N(x)=cos-1.+2x.令m(x)=CosX-1+2x,J1.1Jm(x)=sinx20.所以h()在(0.”上单调递活.所以h(Xh=0.
2、所以h(X)在()，1)上单调通结，所以h(xh(0=O.所以x-2VSinX.综上所述,Xx2sinxf(X)=ex-a.g(x=a-i若a0在R上恒成立.f(X)在R上单,送中，BPf无最小值：若a0.当x(-.Ina)时.f()0,fx)单调选辎.当x1.na.+)时,f0.f(x单型堂增.fx)在x=1.na处取得最小值f=a-a1.na.当xG(o.J时,gx)0,g(X)单调球增.g(X)在X=：处取得最小值(：)=1+如a又f(X)与g有相同的最小值，a-a1.na=1.*1.na.a0.设h（八）=a1.na+1.naa+1,a0,则h（八）=+1.na,令中（八）=h,（八）
3、R1J,（八）=-g+g=Ma0.当a(O,1时，O（八）0,h,a)单调递减.当a(1.+O时,0.h（八）单调通招.h,(a在a=1.处取得最小值汗(1=10,则当a0时,h*0恒成立h（八）单湖逐增.又h（1）=0,a=1.解法探究求解此类问题时，一次求导后往往不易或不能H接判断原函数的单调性，从而不能进一步判断困数的极值、Jiiffi等性质,偌要二次求导才能找到原函数的单调性,进而解决问题.下面介绍二次求导解决问题的步骤：（1）求函数f（X）的定义域：（2）求函数f（X）的导数r（X）,无法判断导函数正负；（3）再构造函数g（X）=f（X）（f（x）中不能标定正负的式子）二次求导.即求
4、g（X）：（4）列出X,g,g（X）的变化关系表：（5）根据列表解答问题.二次求导法解决问题的常见类型类型1利用二次求导求参数的值（范围）【例I】已知关于X的不等式21.nx+2（1.-m）x+2WmX1.在=1.1.1.,gIX)在(0.+8)上是墙的数.设存在xoG(0,+),使得x0+2InXO=0,Vg口=+1.nJ0.(.I).则在x时.g(x)0.f(x)单调逆增.在XW(x1.,+8)时,g(X)0,即f(X)%x242xIn的最小值为2.类型2利用二次求号确定函数的单调性【例2】已知函数f(x)=-e当x20时，fG)W康若aV0,则当x一：时.ax+1.0fS三Y不值成立；a
5、0则ax+1.O.f(x)-ax+1.)(Ic*)-x0.ax+1.令S(X)=(ax+1.)(1.-e)-,则g(0)=0,g,(x)=cx内单同遑减，g(X)WS(O)=0.因原不等式成立.当ag时，2a-1.0,令h(x)=O得从而当OVXV42后，h(x0,此时g,(x在(O.内单调盘增.ggg(O)=0,f(X)W岛不恒成立.练上可知.a的取值范围为0.勺.类型3利用二次求导证明不等式【例3】已知函数f(X)=(x+1.)1.n-+1.证明：(-1.)f(x)0.证明：令F(X)=0,只需证F(X)mn0.因F=fx)+(X-I)f(X)=1.n-+1.-)=2NmX-(+i)+2,
6、XX显然当X=I时,Fx)=0.当Ox2,Inx0.F(x)1.时.x+2,1.11xO,F的符号仍不能判七求二阶导数珞F(x)=2Inx+1.*(),从而F1.时单调递增.FF=0.F(x)x(I.+上单调逸增.所以当x=1.时，F(X)11m=F(1)=0,故F0成立.故原不等式成立.高考的其他考法已知的数f(X)=In(-1.)-a,1Ina.a1.(1)若函数f(X)在x=2处的切线的斜率为1.-e,求实数a的值(e是白然对数的底数)：(2)若函数f(X)有且仅有两个零点，求实数a的取值范用.解：(1)因为f(X)=In(X-I)-a1.na,定义域为(I,+),故r(x)1.na)2
7、,R1Jf(2)=1a(Ina)2=1.-e.即a(In能)*=e,所以1.na(Ina)口=Inc.即Ina+21.nIna)=I.令m=1.na,JHm+21.nm=1.又因为y=m+21.nm在0.4*8)上是不函数,且当In=I时，yx-m+21.nm=1.,所以m=1BPIna=I.所以a=c.(2)因为函静(X)有且仅有两个零点.-aInxI)-aFna=O有且仅.有而个大于I的实数粮，又a*1.Ina=In(-).则-1.)ax,ha三In.即(X-I)In(x-1.)=at1.1.na*,令F(X=KInX.SIF=Inx+1.三F=0：的，F0,当OVXV;时，F(X)0.所以F(0,上单调爱减且F(X)上单调透活且XW时F0.e又F=F(-1.a1.-1.1.,则F(at,)F(1)=0,则F(-1.0.-1.1.所以a=-1.即Ina=TF-令Q(X)=当1.,则Q1当xc时.Q,(x)0.当1.xe时.Q,0.所以函ISQ(X)在(1.e)上单调逐增.在(e.+-)上单调递送.Q=；.yO1eX当+o0时.Q0,且无限於近于0所以OV1.na%所以1a,歌a的玳值范图为（I,左）
