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1、第三章函数的概念与性质夯实基础篇-10函数解析式的求法一、问题导入1.函数的表示法？2如何求解函数的解析式？有哪些常见的求解析式的方式？二、知识构建知火点：函数解析式的求法1.换元法：令E=g(),再求出/”)的解析式，然后用X代替r(g()解析式中所有的I即可.2待定系数法；已知Fa)的函数类里，要求FJ)的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可.例如，一次函数可以设为八公=h+双AW0)：二次函数可以设为fJ)=aV+8+c(a0)等.3 .配凌法：已知r(g(x)的解析式,要求NX)时,可从Ng(r)的解析式中拼凑出“虱力”，即用式力来表示,再将解析式两边的用X代替即可.4 .方
2、程蛆法：已知程力与HgCO)满足的关系式,要求人力时，可用g(x)代普两边的所有的X，得到关于F(X)及，以X)的方程组.解之即可得出(x):三、类型应用类型换元法求函数解析式【例I】已知函数/*-3)=-4.r+6,求X)的解析式.【答案】/(x)=r+2x+3:【分析】(1)令f=x-3,则x=r+3,求出/即得解：【解析】令r=x-3,则X=r+3.因为/(-3)=f-4x+6,所以”)=U+3)2-4(1+3)+6=/+2/+3故)=2+2x+3【跟踪训练it】已知数f5+i)=)2,则*)的解析式为()A./(x)=B./(x)=(x-2C./(X)=X2-ID./(x)=(.v+1
3、.)1【答案】B【分析】首先换元，设x+1.=r=x=-1.,再代入求函数的解析式.【解析】设x+1.=r,则x=r-1.,则f()=(-*1.)2=(-2)2,即/()=(-2)Z.故选：B【跟踪训练卜2】已知/(2r+1.)=-2t,则3)=；/(.r)=【答案】-I72-+7424【分析】利用换元法求得外力的解析式,从而求得利3),由此得解.【详解】因为/(2+1)=-2,令r=2t+1.,则所以/(NT-9+14Z4则/(3)=$3,-53+j=-1.故答案为：T:IX1.=X+1424【跟踪训练3】已知/(x+2)=2-2,且/（八）=4,则“=()A.10B.6C.5D.3【答案】
4、C【分析】根据已知条件建立方程组，可求得实数。的值【解析】.(x+2)=2v-2,且/(O)=4,所以，解得二.2x-2=4=5故选：C.类型二待定系数法求函数解析式【例2】已知劝是二次函数,I1.满足/(0)=2J(X+2)-f(X)=2x+4,求人外的解析式.恪案】/(x)=x2+v+2.【分析】设所求的二次函数为/(.0=+尿+dw),根据已知求出”,Ac即得解.【解析】设所求的二次函数为f(x)=a+bx+Ga0).:/(0)=2.c=2.Jftijf()=ax2+fev+2.又.(x+2)-f)=2x+4,.,.(X+2)2+/HX+2)+2-(v2+hx+2)=2.r+4,即4+4
5、u+2=2,r+4,由恒等式性质得4=2.4+2=4.=-,2b=.所求二次函数为/(x)=gw+X+2.【跟踪训练27】已知二次函数/(x=+板+c(0)满足/(0)=3(3)=(-)=0.求/的解析式;(2)求的对称轴方程和图象上最高点的坐标.【答案】=2x+3(2)对称轴为X=I,最高点的坐标为(.4)【分析】(1)利用待定系数法直接求解析式：(2)结合二次函数的性质求解即可.【详解】1依题意设KX)=ax1.+bx+c(aW0).因为/(0)=3J(3)=/(T)=0,所以c=3J(3)=9o+动+3=OJ(-1)=-b+3=O,解得rt=-1.ft=2,c=3,则/(x)-x+2x+
6、3.(2)由1)知“0=-/+2x+3所以)-x+2x+3-*-a+4,所以八X)的图象关于直线X=I对称抽，图象上最高点的坐标为(1.G.【跟踪训练2-2】已知一次函数的图象过点次,0)和(0,1),则此一次函数的解析式为()A.F(X)=-XB.f(x)=-C.FCr)=X+1D.F(X)=-XH【答案】D【分析】利用待定系数法可求出结果.【解析】a+b=0,设f(x)=axZ(a0),则有/?=1,所以a=-1.,2c1.,所以tx)=-+1.故选：D【点睹】本题主要考杳函数的解析式的求法，意在考隹学生对这些知识的理解掌握水平.【观踪训练2-3】已知一次函数f(x)满足AF(x)Xr1.
7、,求fj)；【答案】/(x)=2x-)=a(aA)+b=a:xabb.,.,r)=4A-1,=4ub+b=-a=2(、.=-2解得八I或/.，h-j1.z,=1.1.f(x)=2-jf(.x)=-2a-+1.类型三一配凑法求函数解析式【例3】己知/卜一口3+，求/V)：【答案】)=r+2;【分析】利用配凑法可求函数的解析式.【解析】(1)(配凑法):/卜-1=/+*=卜一1)+2,./(x)=2+2.【跟踪训练3】已知函数X5+1.)=x+21.则的解析式为【答案】x)=Z-1(1)【解析】法一(换元法)：设w=5+,则*=1/，z,代入原式有/(rt=(i-1.)2+2(f-1.)=i8-2
8、t+1.+2f-2=rj-1.故f(*)=*-1,x1.法二(配凑法)：因为*+25=(I)j+2+1-1=(+1.)z-1.所以f(+D=(W+D：1,5+121,即武力=*一I,x1.答案：)=-1(x1)类型四一方程组法求函数解析式【例4)已知/(X)+2jj=.V(H0),求/(X).【答案】/(x)=-(x0).33【解析】.f(x)+2(*x,，)+2,(x)=1.XX-X2得：-3f(X)=X：./（八）=-4(0)3x3【跟踪训练4已知函数W为【答案】/(x)=-.v-(0)X【解析】函数y=/(M满足./Xr)=2/(X,可得卜2x)=jf(x)=-x-(x0).X2X=/(
9、X)满足/(X)=2,4-)+3r，那么/(X)的解析式J+3x,即“)-2(J=3x,用T代替上式中的/(x)-211=3x1,由/、IJ，消去，得fj-2(x)=21【分析】在等式的两边同时以1.代X,构造一个新的等式，然后，求解/(x)X即可：四、数学情境【例5】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：$公里以内(含5公里)，票价2元；5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里，(1)请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式；(2)画出该函数的图像.2.Ox5【答案】(i)=3.5xIO4,IOx1.55.!5.r20(2)
10、作图见解析.【分析】(1)根据给定条件，分段求出函数关系式作答.(2)由(1)中函数式，作出函数图象即可作答.【详解】(1)依题意，令X为里程数(单位：公里)，/为行驶X公里的票价(单位：元)，当0x5时，-2,当5x410时，/(.v)=3,当IOvx415时，/(x)=4,当5v*420时，/(x)=5,I2,Ox5IM*I*5,15x2O由得函数/的图象,如下：【跟踪训练5】如图，把截面半径为25Cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的边长为XCm,面积为.vein?,把)，表示成X的函数，并指出自变量的范闱.【答案】y=x25OO-.t*0x50【解析】根据圆的半径可知直径，然后在直角三
11、角形中根据勾股定理表示出矩形的另外一边，即可表示出矩形的面积，由于矩形内接于圆，所以可知矩形的边长大丁零小于圆的直径.【详解】因为半径为25cm,矩形的一边长为XC叫则矩形另一边为病F,所以矩形面积F=X标二了.由于矩形内接于网,所以其边长的范用是：OVK50,把y表示成K的函数为:y=xj2500-x，OVK50.【点睹】本题号查了的函数的应用，其中主要是将实际问题转化为数学问题也即数学建模，属于基本题型，解题的关键是根据矩形内接于圆这个条件得到自变量的范围.五、随堂检测题蛆一1 .下列各图中，不可能是函数/(x)图象的是()【答案】C【分析】根据函数的定义，可得答案.【详解】对于C当KG(
12、O.E)时，任意X对应两个y,罐然C错误.故选：C.2 .下图的四个图象中，与下述三件事均不吻合的是（）（1）我骑着车探开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间：（2）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到/作业本再上学：（3我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.【答案】D【分析】根据题海，结合条件对图像逐一分析，即可得到结果.【详解】（1）我骑着车离开家后-路匀速行驶，此时对应的图像为直线递增图像，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，此时离家距离为常数，然后为递增图像，对应图像A；（2）我离开家不久，此时离家距离为递增图像，发现自己把作业
13、本忘在家里/,r是返回家里找到r作业本再上学，此时离开家的距离递减到o.然后再递增,对应图像C：（3）我从家出发后，心情轻松,路缓与加速行进,此时图像为递增图像，对应图像B；故选：D)B./(x)=,g(x)=VD./(.v)=.t+1.,g()=-；3 .下列各组函数表示I可一函数的是（.f（x）=J7,s（-r）-（7）cyw4Xto则=M【答案】C【分析】根据同一函数的判定方法，结合函数的定义域和对应关系，逐项判定，即可求解.【详解】A中，函数/(K)=G的定义域为R,函数X(X)=(的定义域为(0.+(),则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以A不正确：B中，函数/(=I的定义域为R，函数gU)=d的定义域为(-,0)J(0,o),则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以B不正确;C中，函数Xn刎=M=C:则两函数的定义域相同且对应关系也相同，所以两个函数不是同一函数，所以C正确：D中，函数/()=+的定义域为R,函数H(X)=1.二的定义域为(f)51.F),X-I则两函数的定义域不同，所
