线性代数公式大全.docx

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1、1、行列式1 .”行列式共有M个元素,展开后有”!项可分解为2行列式:2 .代数余子式的性质:、%和的大小无关;、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0:、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为M|:3 .代数余子式和余子式的关系;”(J(-1.)AiAI=V4 .设”行列式。:构D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为。,.那么Q,=(-1)*Fq:将勃醺时针或逆时针旋转90,所汨行列式为,那么=(T)21F0;拘。主对角线朋转后(转盥J,所存行列式为。、,那么R=O;将。主副角线阴转后,所得行列式为Q,那么5 .行列式的重要公式:、主对角行列式:主对角元素的乘枳:、副对

2、角行列式:制时角元素的乘积(-1.)k;、上、下三角行列式(=):主对珀元素的乘枳;M-I、|,|和|/|:副对角元素的乘枳X(T)Fi:、拉普拉斯展开式,C.:卜同网,(B优翡S1.IMe1.、范的求行列式:大指标减小指标的连乘积:、特征值:6 .对于”阶行列式|小,恒有:WE-AI=+t(T)*SJI,其中S,为阶主子式:7 .证明IA1.=O的方法:、IAI=-IAI:、反证法;、构造齐次方程组Ar0,证明其有非零解;、利用秩,证明r(G:、证明。是其特征值:2、矩阵1. A是w阶可逆矩阵:=IAFO(是非奇异矩阵):Or(八)=(是满秩矩阵)oA的行(列)向fit组线性无关:Q齐次方程

3、组Ar=O有非零解:VfteR,.Ar=b总有唯解:OA与B等价:。A可表示成假设干个初等矩阵的乘枳:oA的特征伯全不为0:AA是正定矩阵:=A的行(列)向量组是K的一组基:oA是R中某两组基的过渡矩阵:2 .对于“阶矩阵A:4=A=AE无条件恒成立;3 .1.),=(A,),(,)r=(A,F,(A,)r=(r)(AB),=B,At(AB)BA(AB1.,=1.A,4 .矩阵是我格,推导符号为波浪号或箭头:行列式是数值,可求代数和:5,关于分块矩阵的Hi要结论,其中均A、B可逆:A假设4=4.那么:A,1IAITA1.IA1.-IAhfA-n、AT=&;JoWo图-主对角分块),IWT)一副

4、对角分块),o(拉普拉斯),1:)./“,蜀一批普拉斯)3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个八”矩阵A,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是睢一确定的:Fe:;C/U,等价类:所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类:标准形为其形状晟荷单的矩阵:对于同型矩阵A、B.假设CG=r(砌。AB:2 .行最筒形矩阵:、只能通过初等行变换城也:、每行首个非0元素必须为1:、每行首个非0元素所在列的其他元本必须为0:3 .初等行变换的应用;(初等列变换类似,或转商后采用初等行变换)、假设(4.E)(E.X),那么4可逆,I1.X-A;、对矩阵(人少做初等行变化,当4变为E时,8就变成A,B|:

5、(A.B)E.B)i、求解线形方程组:对于n个未知数个方程Ax=b.如果(A=(Ex).那么A可逆,且X=A%:4 .初等矩阵和对角矩阵的概念:、初等矩阵是行变换还是列变换.由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵:A、A=4.左乘矩阵A,4乘A的各行元素:右乘,4乘4的各列元素;、对调两行或两列,符号E(i.j),且E(i.j)=E(jJ),例如:I=I:?WZ1v、倍乘某行或某列,符号E(i(八)),HE(Uk)Y1-E(=(-AD,如:I=I(AhO):矩阵秩的根本性质:、0Mr(4.;)Smin:、r(A)=r():收设AB.那么r(八)=r(8):、假设P、QUJ逆,那么丹川

6、-(以”(A。)=nPAQ):I可逆矩阵不影矩阵的秩、max(r(4,rB)11A.B)r(八)+r(B):()、r(A+)r(4)+rt);(X)、r(t)min(r(),r行矩阵(向)的形式,可采用结合律:1ac,、型如;01b的矩阵:利用二项展开式:bQJ二展开式:(+M=Ca+Cf&+U+Cg=力Uaev”:,11注:1、(.6广展开后有/1+1项:I1.C=爪-DM-E+I)=#u,=C=123mm(n-m)n*111、组合的性侦:OC-C1=C+C,NC=2匕=水;:H利用特征值和相似对角化:伴随矩阵:r()=w、伴随矩阵的秩:MA)=r(八)=-!:r(4)11-1.、伴随矩阵的

7、特征(ft:CI(AX=2XM=同A,nA=g:、A三-41=关于人如阵秋的描述:、r()=n,A中有”阶子式不为0,”+1阶子式全部为0:(两句话)、r(八)M.4中有“阶子式全部为0:、r(八)2,4中有阶子式不为0:规性方程组:Ax入其中A为mx”矩阵,那么:、,”与方程的个数相同,即方程组Arbm个方理;、”与方程趾得未知数个数相同,方程组/5=6为N元方程:10.线性方程组Ar=。的求解:、对增广矩阵5进行初等行变换(只能使用初行交换:、齐次解为对应齐次方程组的解:、特解:自由变量赋初值后求得:由“个未知数E个方程的方程如构成“元战性方程:1.1.x1+1.,x,+1.nx,三fr,

8、%向+a:;x:+2,x=b.1x,+-,xj+.-x,三m(b,数)A;f1.J=B(全部按列分块,其中广OAr=A(向fit方程.A为,乂”矩降.卅个方程州个未知1.x1.+2x.+,x,=f1.线性表出)有解的充要条件:11)=r(A.tn(M为未知数的个数或维数)4、向量组的线性相关性1 .m个维列向量:所组成的向量组a:q.a、.、a“构成X,”矩阵A=(.a):m个”维行向量所组成的向量组8:稗./:构成mx”电阵B=fi,:,含有有限个向属的有序向班组与矩阵一一对应:2 .、向fit组的线性相关、无关OAr=O有、无非零解:(齐次线性方程组)、向属的税性表出OAr=b是否有解:(

9、线性方程组)、向组的相互战性求示OAX是否有解:(矩阵方程)3 .矩阵A与叫.行向量级等价的充分必要条件是:齐次方程组心=0和Z=0同解:(,,“例14)4 .(AA)=A):(Ro1.例5 .”维向量线性相关的几何意义:、畿性相关Oa0s、.A跷性相关OaA坐标成比例或共规(平行):,畿性相关Oa共面:6 .雄性相关与无关的两费定理:假设a。:,,线性相关那么,6.6.,.,必线性相关:般设o,。:.。,线性无关,那么4.0j.Ot-必线性无关:(向量的个数加加减减二者为对偶)快设,维向埴姐A的斑个向量上添上”-,个分量,构成“维向量组力:假设八跳性无关,那么也雄性无关:反之假设8线性相关,

10、足么A也线性相关;(向加祖的维数加加减减)简有之:无关组延长后仍无关.反之.不确定:7 .向麻殂A(个数为,)能由向Jft组(个数为S)线性表示,且A线性无关,那么rfs(二版定理7);向麻组A能由向后组B线性去示,那么A)(8):(4定理3)向燧组人能由向Ift组设性表示OAX=/j解:r(八)r(A.)(心定理2)向麻组A能由向m组8等价Or(八)=K8)=八1.4定理2推论I8 .方阵A可逆o存在有限个初等矩阵匕.,,使A=4;、矩阵行等价:A-BPA=B(左乘.尸可逆)OAr0与0同解、矩阵列等价:-B“8,“=C_.那么:、C的列向麻组能由A的列向麻组规性发示,8为系数矩阵:、C的行

11、向fit组能由B的行向fit组线性表示.A为系数矩阵:(转?D11 .齐次方程组以r=0的解一定是AHr=O的解,考试中可以亶接作为定Ji使用,而无明:、48r=O只有零解=Kr=O只有等好:、r-0有非零解nAr0一定存在非零解:12 .设向量组%,:也也,也可由向泉组AI以线性表示为:(A“19结论(fr1.,)=(a1.;.at)KC=K)其中K为sr,H.A戏性无关,那么4组线性无关Or(K)/:(8与A的列向1.fi具有相同线性相关性)(必要性:r=r(R)=r(AK)r(K).nK)r.r(K)=r:it:反证法;注:当r=s时.为方阵,可当作定理使用:13 .、对矩阵儿一存在。,

12、AQ=ErOr(八)=析、0的列向量线性无关;(心)、对矩阵儿.存在4PA=E.Or(八)=”、P的行向筮线性无关:14 .a.a:.a,线性相关。存在一殂不全为O的数口&.使得A,q+Aa+*4=O成立:(定义)(1.,.,&=0有等零解.即Ar=O有非零解:Org.a,)s,系数成阵的秩小于未知数的个数;15 .设mx”的矩阵A的秩为,就么“元齐次找性方程组Ar-O的解集S的秩为:r(三)=11-r;16 .假设炉为心=的一个解,都品Cy为Ar=O的一个根底解系,那么品“线性无关:(4“题33结论5、相似矩阵和二次型1 .正交矩阵OArA-或AT(定义),性质:、A的列向用都是单位向好,且两两正交,即:=;=/;、假设A为正交矩阵,那么A-*也为正交阵,且=:、黄设A、4正交阵,那么4也是正交阵:注意:求解正交阵,千万不要忘C密特正交化H单位化:2 .施密特正交化:(&.,a,)-3仇-.IbrbJbr=ar-bt;IfrpAI(,Ibf-M3 .对于件通方阵,不同特征值时应的特征向量线性无关;对于实对称阵.不同特征值时应的特征向显正交:4 .、A与B等价OA经过初等变换褥到8:PAQ=H,P、Q可逆;c=rtA)=r(.4、“同型:、A

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