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1、传输矩阵法传输矩阵法概述1.传输矩阵在介绍传输矩阵的模型之前，首先引入一个简洁的电路模型。如图1（八）所示,在（八）中若已知A点电压及电路电流，则我们只须要知道电阻R,便可求出B点电压。传输矩阵具有和电阻相同的模型特性。(b)图1传输矩阵模型及电路模拟模型如图Mb)所示,有这样的关系式存在:E0=M（三）EieM（三）即为传输矩阵，它将介质前后空间的电磁场联系起来，这和电阻将A、B两点的电势联系起来的实质是相像的。图2多层周期性交替排列介质传输矩阵法多应用于多层周期性交替排列介质(如图2所示)，M（三）反映的介质前后空间电磁场之间的关系，而其实质是每层薄膜特，则有:征矩阵的乘枳，若用吃表示第属
2、的漳仙舞忤MZ)=F1.监=1；(1)其中，(2),为可和MNM用bs8,厚度，有(3)如公式(2)所示，W,的表示为一个2X2的矩阵形式，其中每个矩阵元都没有任何实际物理意义，它只是一个计算结果，其推导过程将在其次部分给出。2.传输矩阵法在了解了传输矩阵的基础上，卜面将介绍传输矩阵法的定义：传输矩阵法是将磁场在实空间的格点位置绽开，将麦克斯韦方程组化成传输矩阵形式，变成本征值求解问题。从其定义可以看出，传输矩阵法的实质就是将麦克斯韦方程转化为传输矩阵，也就是传输矩阵法的建模过程，具体如下：利用麦克斯韦方程组求解两个紧邻层面上的电场和磁场，从而可以得到传输矩阵，然后将单层结论推广到整个介质空间
3、，由此即可计算出整个多层介质的透射系数和反射系数。传输矩阵法的特点：矩阵元少（4个），运算量小，速度快：关键：求解矩阵元；适用介质：多层周期性交替排列介质。二、传输矩阵的基础理论一薄膜光学理论1.麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组由四个场量：D、E、B、H,两个源量：J、P以及反映它们之间关系的方程组成。而且由媒质方程中的参数、反映介质对电磁场的影响。方程组的实质是描述电磁场的传播，即：一个改变的磁场引起邻近区域的电场改变，而此电场的改变乂引起邻近磁场的改变，如此进行下去，便可抽象出电磁场的传播。如图3所示OHEHEHEHE图3电磁场传播的模拟图将媒质方程带入麦克斯韦方程组，并对方程组求解可得以卜.
4、两个重要结论：1)(4)式(4)中，N即为介质的光学导纳，单位为西门子特殊说明：光波段时，约等于1,N数值上等于懈分装背由空间导纳。2) (5)C(6) y式(5)为电场的波动方程，及经典波导方程(6)相比可得，通常把光速C和电磁波在介质中速度之比定义为折射率，即得折射率公式：n=4(7)2.边界条件及反射折射电磁波在介质交界处满意切向重量连续的边界条件。垂直入射时，电场和磁场均及入射面垂直，则它们的切向重量既是本身。依据边界条件可得:(8)式(8)中，义式(4)可得:上标为+的代表入射波，-表示反射波。又由导纳定K=No(AX琢)H-=N.(-kE(9)(10)将式(9)、(10)代入(8)
5、中，整理可得反射系数定义式：(11)r为反射系数，R为反射率。透射系数原理相同，在此不再推导。上面探讨的是垂直入射的状况，斜入射时状况类似，只是用修正导纳%、/代替(11)中的N。、Nio其实，无论电磁波入射状况如何，电磁波只有两种状况：一种是电场EF行入射面即TM波(P重量)，此时电场的切向重量=KcosO(。为入射角)，而磁场的切向重量是其本身，因此由(4)式可得:NH=H1.=N(AXEW)=N(AECoSe)=(kE)(12)将(12)式及(4)式对比可得到P重量的修正导纳，同理可得TE波(S重量)的修正导纳:(13)可得一般状况下的反射、透射系数表达式：(14)介质的传光特性可以由反
6、射、透射系数所表征，而由以上探讨可知，这两个参数及导纳紧紧联系。因此，求解介质的传光特性就可以转换为求解导纳问题，这也是传输矩阵法所解决的核心问题之一。其实，传输矩阵法就是通过求得介质的导纳，从而得到介质的反射透射系数。3.传输矩阵这一部分将应用薄膜光学理论具体推导介质的传输矩阵，以及如何求得介质导纳，依据第一部分传输矩阵的介绍可以知道，它其实是每层特征矩阵的乘积，所以，这一部分的推导就从单层薄膜的特殊矩阵入手，进而推广到整个介质空间推导出介质的传输矩阵。下面就具体介绍单层薄膜的特殊矩阵。电磁波通过厚度为由的单层薄膜过程如图4所示。图4电磁波通过单层薄膜图5单层薄膜等效为介质面的示意图薄膜是存
7、在肯定厚度的，电磁波从心透过薄膜变为G的过程，及简洁的穿过介质面相比多了个E1的中间变换，假如可以将E0和E1通过导纳干脆联系起来，那么薄膜就可以等效为一个介质面(如图5所示)，前面所介绍的反射透射公式便可用。因此，我们第一步完成从薄膜到介质面的等效推导。令薄膜导纳(介质面1和介质面2的组合导纳)为Y,则可得到薄膜的透射反射系数：(15)由式(15)可知，求得丫便可求得r、to由导纳定义并对薄膜的第一介质而应用边界连续条件可得：(16)(17)图4中的与、均表示刚刚穿过介质面一的瞬时状态。Ek外表示即将穿过介质面二的瞬时状态。这两个瞬时状态的唯一不同只是因为薄膜厚度引入的相位因子，即有：(18
8、)将式(18)代入式(17)中可得式(19),并将其转为矩阵形式(20)：同理，薄膜的其次介质面有如下关系式:1-21-2_1物式(20).(23)分别表示介质面一、二网侧空间电磁场之间的联系，若将式(23)代入式(20)中相乘，则所得到的结果就表示整个薄膜两侧空间电磁场之间的联系，即：(24)从式(24)中得到了第一层的特征矩阵：(25)(26)考虑到导纳定义有如式(26)的关系，则可对式(24)进一步化简：为为膜系的特征方程，则有关系式:(28对比式(24)等号左边的形式，由导纳定义可得整个单层薄膜的组合导纳：Y=-B(29)从而由式(15)可求得单层薄膜的反射、透射系数。至此完成了第一步
9、，即从薄膜到介质面的等效推导。将将单层得到的结论推广到整个介质空间可得：(30)(31)(32)(33)(34(35式（30）为介质第j层的特征矩阵，须要留意的是特征矩阵的行列式值为1。由式（32）即可得到整个介质的传输矩阵。至此，完成了多层介质传输矩阵的建模过程。值得一提的是，在探讨单层薄膜时.，得到单层薄膜的反射率后，若对薄膜的光学厚度H（H=nd,n为薄膜折射率，d为薄膜实际厚度）求导，可得如图6的结果。从结果中我们可以看出，在厚度为2时，4反射率依据折射率的不同可达到最大或最小值。图6反射率及光学厚度的关系三、传输矩阵法的应用举例传输矩阵法的典型应用是对多层周期性交替排列介质的分析，具
10、有这样结构的器件实例有：光子晶体、光栅、量子阱结构、DBR结构器件等。具体应用过程请参见文献传输矩阵法分析一维光子晶体的传光特性。四、小结（1）传输矩阵法概念：将麦克斯韦方程组转换为传输矩阵的形式，应用传输矩阵分析的计算方法。（2）传输矩阵：形式为每层特征矩阵的乘积。（3）典型应用：多层周期性交替排列介质。（4）解决问题：传光特性（R、T）、场强度（E、H）。留意：（3）、（4）共同确定传输矩阵法对所探讨问题的适用性。（5）重要结论：导纳N、折射率定更，光波段下，导纳无意义，它就是折射率。（6）传输矩阵的推导（薄膜光学理论）是繁琐的，但实际应用中可忽视推导，干脆应用结论式（30）-（35）0（7）用传输矩阵法求解问题过程：1）应用已有结论式（30）-（35）建立介质模型并求解：2）建立实际问题的模型。3）模型整合。（8）额外的结论：薄膜厚度选为人的缘由。4参考文献1唐普发，郑权.应用薄膜光学.上海科学技术出版社.1984:1-51.2贾习坤.基于传偷矩阵法对垂直腔半导体光放大器小信号增益特性的探讨.西南交通高校.2019:6-133匡萃方,张志峰.传输矩阵法分析一维光子晶体的传光特性.激光杂志.2019,(24)4:38-39.
