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1、传送系统的效率问题摘要工人生产进入稳态后，衡量传送系统效率这一问题，对于提高工厂机械化生产效率具有重要意义，此问题特点为变量多，针对这一特点我们应用了限制变量的数学方法解决（通过合理假设）。对于此问题，我们首先建立和概率模型，对模型进行r合理的理论证明和推导，所给出的理论证明结果大约为E=/,并随机选取数据对理论结果进行脸证，理论结果与模拟结果基本吻合。随后我们提出改进方案，即将每个钩子变为双钩组，对此方案我们建立了概率模型并进行了合理的理论证明和推导，所给出的理论证明结果大约为=91,并随机选取数据对理论结果进行验证，理论结果与模拟结果基2m-本吻合。关键词：概率模型，限制变量法，二项式定理
2、，方案改进。书目第一部分问题重述（3）其次部分模型假设（4）第三部分分析与建立模型（5）第四部分模型求解(6)第五部分模型检验(8)第六部分模型推广(9)第七部分参考文献（三）第八部分附录(12)一.问题重述在机械化生产车间里，排列整齐的工作台旁，工人们惊慌的生产同种产品，工作台上放一条传送带在运转，带上设置若F钩子，工人将产品挂在经过他上方的钩子上带走。当生产进入稳定状态后，每个工人生产件产品所需时间是不变的，而他挂产品的时刻是随机的。衡砧这种传送系统的效率可以看它能否与时地把工人们生产的产拈带走，即肯定时间内带走产品数的多少。要求构造衡城传送系统效率的指标。二.模型假设1 .有n个工人，其
3、生产是相互独立的，生产周期是常数（即生产一件产品所用时间为定值），n个工作台匀称排列。2 .生产已进入稳态，即每个工人生产出一件产品的时刻在一个周期内是等可能性的C且在一个周期内n个工人生产的产品总数为n件3 .在一周期内有m个钩子通过每一工作台上方，钩子匀称排列，到达第一个工作台上方的钩子都是空的C4 .每个工人在任何时刻都能触到一只钩子，且只能触到一只钩f。在他生产出一件产品时,假如他能触到的钩子是空的，则可以将产品挂上带走；假如触到的钩子非空，则他只能将产品放下，此产品就退出这个传送系统。三.分析与建立模型（一）模型分析：工人们的生产周期虽然相同，但是由于各种随机因素的干扰，经过相当长时
4、间后，他们生产完一件产品的时刻就不会始终，可以认为是随机的，井且在一个生产冏期内任一时刻的可能性是一样的。由上分析，传送系统长期运转的效率等价于一周期的效率，而一冏期的效率可以用它在一周期内能带走的产品数与一周期内生产的全部产品数之比来描述。（二）模型建立：将传送系统效率定义为一周期内带走的产拈数与生产的全部产品数之比，记作D.设带走的产品数为s,生产的全部产品数明显为11,于是。=.只须要求出n即可。假如从工人的角度考虑，分析每个工人能将自己的产拈挂上钩子的概率，那么这个概率明显与工人所在的位置有关（如第一个工人肯定可以挂上），这样就使问题困难化。我们从钩子的角度考虑，在稳态下钩子没有次序，
5、处于同等的地位。若能对一个周期内的m只钩子求出每只钩f非空（即挂上产品）的概率P,则s=mp.四.模型求解得到P的步骤如下：（均对周期内而N）任一只钩子被某一名工人触到的概率为-任一只钩子不被某一名工人触到的概率为1-m由于每一只钩F间相互独立，故:任一只钩子不被全部工人触到的概率为即为空钩的概率所以任一只钩子非空的概率为：P=1.-（-j1我们依据二项式定理得m)m2n2m)（吁1）n22m-1.,则E=D=I-E令2m,则E越低，D越高。页码:7五.模型检验为检验以上模型的合理优化后是否精确，我们取一组比较贴近实际状况的m与n,来对比（1）式与（2）式JRn=IO,m=40时，（2）式中，
6、D=87.5%（1）式中，D=89.4%对比得知道（2）式特别精准且简易计克我们最终的结论为提高传送系统效率，即增大D减小E,在工人数n肯定的状况下，E与钩子一数m成反比，即m增大一倍，E降低一倍六.模型推广我们考虑一种提高传送系统效率的改进方案：在原有的每一个钩子的位置，放置两个钩子构成双钩组，即有2m个钩子,那么传送系统的效率如何呢？与只是增加钩F数目至2m相比，哪个效率更高呢？易知，在双钩组的状况下，每组钩组在传送系统结束后有三种状况：1.空钩组2 .满钩组3 .不满钩组任一组钩子被某一名工人触到的概率为-m任一组钩子不被某一名工人触到的概率为I-m由于每一只钩子间相互独立，故:任一组钩子不被全部工人触到的概率为即为空钩组的概率任一组钩子只被名工人触到的概率为C-f-!-YwI,即为不满钩蛆的概率我们依据二项式定理得（=q+（”2）+,i）m2m页码：9在此我们同样只取前三项，则则”=1一当n=10,m=4O时，D=96.8751%而假如只是增加钩子数目至2m,MJD=93.75%所以这种双钩组改进方案更加优越页码：1。七.参考文献姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第四版），北京：高等教化出版社,2011页码：11八.附录页码:12
