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1、人教版九年级数学二次函数在中考中学问点总结一、相关概念及定义1二次函数的概念：一般地，形如WJ（日是常数，回）的函数，叫做二次函数。这里须要强调：和一元二次方程类似，二次项系数口，而回可以为零.二次函数的定义域是全体实数.21教化名师原创作品2二次函数r三的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量n的二次式，S的最高次数是2.（2）山是常数，f是二次项系数，1是一次项系数，是常数项.二、二次函数各种形式之间的变换1二次函数1.二J用配方法可化成：F1.的形式，其中IXI2二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：山；：三1.;11；IXI.三、二次函数解析式的表示方法1一般式：IXJ（
2、333为常数，0）；2顶点式：三（a,m,日为常数，日）；3两根式：（皿，m,是抛物线及，轴两交点的横坐标）.4留意：任何二次函数的解析式都可以化成一股式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线及二轴有交点，即匚口时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.四、二次函数WJ图象的画法1五点绘图法：利用配方法将二次函数E三化为顶点式1T，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、及U釉的交点、以及关于对称轴对称的点、及二轴的交点IZJ，口（若及n轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.【版
3、权全部：21教化】2画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，及J轴的交点，及3轴的交点.五、二次函数口的性质3的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上并1W时，4随4的增大而增大：1.iJ时，3随二的增大而减小；回时，3有域小值日.a向下3轴回时，随川的增大而减小：口时，3随E的增大而增大；乂时，?有最大值九六、二次函数口的性质m的符号开口方向顶点坐标对称轴性质Od向上：）轴二J时，目随J的增大而增大；1.=J时，W随工的熠大而减小：口时，jj有最小值4.1.*向下回轴回时，,随J的增大而减小；口时，.随3的增大而增大：回时，m有最大值4.七、二次函数gj的性质:二的符号开口方向顶点坐标对
4、称轴性质叵1向上SX=h口时，随S的增大而增大；时，1：J随J的增大而减小；臼时，M有最小值士.回向下X=h口时，3随2的增大而减小：口时，1：J随d的增大而增大；H时，S有最大值，.八、二次函数r的性质二的符号开口方向顶点坐标对称轴性质回向上X=h回时，3随二的增大而增大；口时，日随的增大而减小：也！时，M有最小值8.回向下X=h三时，d随二的增大而减小：口时，n随a的增大而增大：乂时，1：J有最大值8.九、抛物线【XI的三要素：开口方向、对称轴、顶点.1d的符号确定抛物线的开口方向：当EJ时，开口向上；当IrJ时，开口向下；回相等，抛物线的开口大小、形态相同.2对称轴：平行于目轴（或垂合）
5、的直线记作叵.特殊地，m轴记作直线回.3顶点坐标：IXI4顶点确定抛物线的位置.几个不同的二次函数，假如二次项系数3相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.十、抛物线I不，中，1.rJ及函数图像的关系1二次项系数.二次函数WJ中，,作为二次项系数，明显日.当乂时，抛物线升1.J向上，越大，开IJ越小，反之二的值越小，开口越大；当乂时，地物线开1.J向下，,越小，开1.I越小，反之二的值越大，开口越大.总结起来，二确定r帼物线开口的大小和方向，4的正负确定开口方向,a的大小确定开1.J的大小.2一次项系数？在二次项系数J确定的前提下，;确定r抛物线的对称轴.在的前提卜.
6、，当口时，区I,即抛物线的对称轴在n轴左侧：当1.:J时，叵,即抛物线的对称轴就是J轴：当时，区I,即抛物线对称轴在a轴的右侧.在IrJ的前提下，结论刚好及上述相反，即当1.=J时，H，即抛物线的对称轴在J轴右侧；当皿时，a，即抛物线的对称轴就是J轴；当日时，叵,即抛物线对称轴在J轴的左侧.总结起来，在工确定的前提卜.，4确定了抛物线对称轴的位置.总结：3常数项3当1.=J时，抛物线及日轴的交点在二轴上方，即抛物线及n轴交点的纵坐标为正；当皿时，抛物线及J轴的交点为坐标原点，即抛物线及目轴交点的纵坐标为二；当日时，抛物线及H轴的交点在二岫下方，即抛物线及n轴交点的纵坐标为负.总结起来，士确定了
7、抛物线及3轴交点的位置.总之，只要山部确定，那么这条抛物线就是唯确定的.十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法1公式法：AU,顶点是EJ，对称轴是直线H.2配方法：运用配方的方法，将他物线的解析式化为WJ的形式,得到顶点为(,”，对称轴是直线臼.3运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴及抛物线的交点是顶点,用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无-失.十二、用待5系数法求二次函数的解析式1一般式：IXI.已知图像上三点或三对9、时的值，通常选择一般式.2顶点式：!-1.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式
8、.3交点式：己知图像及4轴的交点坐标可、回，通常选用交点式：十三、直线及抛物线的交点Ig轴及抛物线I-I得交点为(O,o).2及轴平行的直线口及抛物线有且只有个交点(3,ijg-).3疝物线及d轴的交点:二次函数I1.J的图像及d轴的两个交点的横坐标可、回，是对应一元二次方程匚三3的两个实数根.抛物线及d轴的交点状况可以由对应的元二次方程的根的判别式判定：21教化网有两个交点曰1.=J曰抛物线及4轴相交；有一个交点(顶点在J轴上)id皿凹抛物线及，轴相切：没有交点凹回曰呦物线及，轴相离.4平行于d轴的直线及抛物线的交点可能有O个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵
9、坐标为3则横坐标是三的两个实数根.5一次函数的图像m及二次函数1一的图像3的交点，由方程组1.的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时I=J3及回有两个交点；方程组只有一组解时1.=J3及目只有一个交点：方程组无解时1.JS及回没有交点21Cnjy6抛物线及，轴两交点之间的距离：若抛物线1.XJ及J轴两交点为J,由于目、回是方程三的两个根，故十四、二次函数图象的对称:二次函数图象的对称般有五种状况，可以用一般式或顶点式表达1关于a轴对称WJ关于二轴对称后，得到的解析式是二1:1.三J关于二轴对称后，得到的解析式是1：2关于g轴对称N1.关于,轴对称后，得到的解析式是M1.：I-I关于3轴对称后
10、，得到的解析式是IXI；3关于原点对称WJ关于原点对称后，得到的解析式是11：CzO关于原点对称后，得到的解析式是1.：4关于顶点对称c三关于顶点对称后，得到的解析式是1f；关于顶点对称后，得到的解析式是5关于点三对称C三J关于点三对称后，得到的解析式是I一总结：依据对称的性质，明故无论作何种对称变换，抛物线的形态肯定不会发生改变，因此目恒久不变.求他物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或便利运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称帼物线的表达式.21cnjycom十五、二次函数
11、图象的平移1.平移步骤：将抛物线解析式转化成顶点式WJ，确定其顶点坐标:保持他物线三的形态不变，将其顶点平移到口处，详细平移方法如方2平移规律在原有函数的基础上“二值IE右移，负左移；W值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减”.十六、依据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。1.三点式。(1)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(四，0),B(回，0),C(0,-3)三点，求抛物线的解析式。(2)已知抛物线y=a(-1.)2+4,经过点A(2,3),求抛物线的解析式。2 .顶点式。(1)已知抛物线y=x2-2ax+a2+b顶点为A(2,1),求抛物线的解析式。(1)己知他物线y=
12、4(x+a)2-2a的顶点为(3,1),求抛物线的解析式。3 .交点式。(1)己知抛物线及X轴两个交点分别为(3,0),(5,0),求抛物线y=(x-a)(-b)的解析式。21cnjy(2)已知抛物线线及X轴两个交点(4,0),(1,0)求抛物线y=a(-2a)(-b)的解析式。【来源：21世纪教化网】4 .定点式。(1)在直角坐标系中，不论a取何值，抛物线XI经过X轴上肯定点Q,宜线Ii经过点Q,求抛物线的解析式。(2)抛物线y=x2+(2m-i)-2m及X轴的肯定交点经过直线y=mx+m+4,求抛物线的解析式。21世纪*教化网(3)抛物线y=ax2+ax-2过直.线y=m-2m+2上的定点
13、,求他物线的解析式。5 .平移式。(1)把抛物线y=-2x2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度,得到抛物线y=a(x-h)2+k,求此抛物线解析式。(2)抛物线向上平移,使抛物线经过点CS,2),求抛物线的解析式.6 .距离式。(1)抛物线y=ax2+4ax+1.(a0)及X轴的两个交点间的距离为2,求抛物线的解析式。(2)已知抛物线y=mx2+3m-4m(m0)及X轴交于A、B两点,及轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。2-1-c-n-j-y7 .对称轴式。(1)抛物线y=x2-2x+(m2-4m-4)及X轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求他物
14、线的解析式。21*cnjy*co1n(2)已知抛物线y=-2+ax+4,交X轴于A,B(点A在点B左边)两点，交y轴于点C,且OB-OA=心心求此抛物线的解析式式来源：？!*)、,。*!】8.对称式。(1)平行四边形ABCD对角线AC在X轴上，且A(TO,O),C=16,D(2,6)AD交y轴于E,将三角形ABC沿X轴折梯，点B到B1.的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。(出处：21教化名师】(2)求及抛物线y=x2+4x+3关于y轴(或X轴)对称的抛物线的解析式。9.切点式。(1)已知直线y=a-a2(a*0)及抛物线y=mx2有唯一公共点，求抛物线的解析式.(2)直线y=x+a及弛物线y=ax2+k的唯一公共点A(2,1),求抛物线的解析式。10.判别式式。(1)已知关于X的一元二次方程(m+1.)x2+2(m+Dx+2而有两个相等的实数根，求抛物线y=-2+(m+1.)x+3解析式。21世纪教化网版权全部(2)已知抛物线y-(a+2)x2-(a1.)x2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。
