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1、二项式定理典型例题一典型例题一例1在二项式的旋开式中,曲三项的系数成等差数列.求旋开式中全部有理项.分析，本遨是典型的特定项问题,涉及到前：攻的系数及有理项,可以通过抓通项公式解决.M.二项式的淀升式的通项公式为：WeSH志J=吗声前三项的，=0,1,2.得系数为：1.=1.r,=C-=-*.r,=C-=-(n-1.).2248由己知：2%=r+r=1.+-j(j-1.),8*.=8通项公式为.16T/工Z=G,O=0J28.加为有理项,故16-3,是4的倍数，Ar=0.4.8.依次得到有理项为7；=,7;=C：1.X=EX%=Ca2=工/.说明，本题通过抓特定项清懑的条件，利用通项公式求出了
2、的取值，得到了行理项.类似地，(i+5)“的绽开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中，的取值，得到共有17J1.系数和为3.典型例题四例4求(17汽1+X产艇开武中X5的系式：求艇开式中的常数项.分析：本时的两小时都不是二项式绽开，但可以转化为二项式绽开的何超.(1)可以觇为两个二项接开式相乘：(2)可以经过代数式变形转化为：顶式.M(1-4(1+x)2绽开式中的XS可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项:用(I-X),绽开式中的常数顶乘以(1.+r)绽开式中的XSJii,可以得刎C；。/：用(I-X)3雄开式中的一次项乘以(1.+.r),捉开式中的X4项可得到(-3x)()=-3C,：f
3、f1.(17)中的/乘以(1.+x)n)雄开式中的小可得到3xC?=3C：Oe用(1一4中的X1攻乘以(I+),绽开式中的一项可褥到-3/CM=-C：M，合并同类项得X项为：(C-C+3C,-C)=-63x,.(2),v+-+2=(.t+-+2)5X由雄开式的通项公式Ts=c;式、反尸-卜今)=c；/j，可得淀升式的常数项为C,=924.说明：问虺(2)小将非二项式通过因式分解转化为二项式解决.这时我们还可以通过合并项转化为：项式绽开的何时来解决.典型例题五例S求(1.+-2)6St开式中丁的系数分析t(I+x-2)6不是：顶式，我们可以通过+x-x?=(1.+x)-/或1.+-)把它看成二项
4、式艇开解，方法一：(1+XTy=卜+刈7寸=(1.+x6)-6(1.+x)5.V+15(1.+x)4.r4其中含XS的项为Cv5-6Cy+I5C5=6x5.含一项的系数为6.方法二：(1+X-.d)6=1.+(X-xt)J=1+6(x-2)+15(x-x2)2+2O(x-x2)+15(x-3)4+6(x-2)s+(x-x1.)6其中含XS的项为20(-3*+15(-4)+6=6x5.s项的系数为6.方法3：本区还可通过把(I+*-/)“疔成6个1.+x-丁和乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，V项可由下列几种可能得到,，个因式中取X,一个取1得到C：x.3个因式中取x.一个取-X，两个取
5、I知到C：CxJ（一/）.I个因式中取X,两个取一/，三个取I得到C：CX（-2）2.合并同类项为（C：-CG+CC）X=6/,各项的系数为6.典型例题六例6求证；(I)Cj,+2C+MCn2-1;分析，用式系数的性质事实上是组合数的性侦，我们UJ以用二项式系数的性质来让明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值.解决这两个小跑的关犍是遹过组合数公式格等式左边各项改变的等数固定下来，从而运用二项式系数性质5-1)!U+U+C+H=2.k,.(n-k)(-)!(-A)!(k-)(n+k).左边=11C3+“U+”C：；=(C+Ct+C7；)=2-=右边.(2)_1.C，=.皿=！ITT?+Tk(
6、n-ky.(k-)(n-k)I(n+1.)!1c(m+T(Jt+1.)!(-)!n+Th=-1.Cu+C：“+&：）=白（2“-D=右边.11+1.11+1.说明：本阳的两个小题都是通过变换技化成二攻式系数之和,再用二项式系数的性质求解.此外，有些殂合数的式子可以干脆作为某个：项式的绽开式，但这须要逆用：项式定理才能完成，所以需细致视察，我们可以看下面的例子：求29CjJ+2C,+2,C?,+-+2Cjiu+IO的结果.细致视察可以发觉该组合数的式及（1+2）K）的援开式接近,但要留意：(1.+2),=C：+C2+C：2?+C；2。+C：2,=1+2XIO+2。+2。+2y：=1.+2(IO+
7、2C1.,+-+28C29C;)从而可以得到：IO+2C；。+2i,+=1(3,-I).典型例题七例7利用二项式定理证明：3?1.2-8-9是Z的倍数.分析是8的平方.，问SS相当于证明322-8一9是8?的倍数，为了Hf问题向：项式定理贴近，变形T*三=9=(8+1)”.将其绽开后各项含有8，及W的倍数联系起来.*.3M-8”-9=9,-8m-9=(8+I),-811-9=8*+C38+CX82+C；.,81-Sh-9=8,+Ct,1.8+-+C.：8?+8(+1)+1-8-9=8+U“W+.+C：；啰=(8“+C1,8-2+C：；：64是64的倍数.说明：利用木胭的方法和技巧不仅可以用来证
8、明条除向SS，而且可以用此方程求些困难的指数式除以一个数的余数.典型例题八例8绽开.分析h用二项式定理捉开式.解法h=CW卜W)+cg+)+C卜盟+cM)+c2x()+c()”S1-28135405243=32x-120.V+rrrXX48.v732ajo分析2：对较繁杂的式子，先化简再用：顶式定理绽开.解法2K3Y(4j-3)51.2-IJ=-i,rfC(4)5+C;(4)4(-3)+C(4x,)(-3)2+C(4x,)2(-3)i+C(4),(-3)4+CX-3力=r(IO24A,5-384(k,2+5760.t9-4320.,+1.620.r,-2437)32xu=32xJ2。八国，35
9、424332x1说明I记准、记熟二项式m+与的绽开式.是解答好及二项式定理有关问遮的前提条件.对较困难的二项式,有时光化筒再绽开会更简便.典型例题九例9若将(x+y+z)2绽开为多项式，羟过合并同类项后它的项数为(.I1.B.33C.55D.66分析：5+)，+z尸看作二项式(x+y)+z产筵开.解：我们把x+)TZ看成(x+y)+z,按:项式绽开，共有I1.“顶”，即K1.(X+y+Z严=(x+-)+ZF=C,(+y),ot?.这时,由于“和”中各项Z的指数各不相同.因此再将各个二项式+y)i城开.不同的乘枳C(+)，严“z(JI=O.1.10)绽开后，都不会出现同类项.下面，再分别考虑每一
10、个乘枳CMX+,)z，(A=0，10).其中每一个乘积绽开后的项数由(X+),严-A确定，而且各项中X和y的指数都不相同，也不会出现同类项.故原式绽开后的总项数为11+10+9+1.=66.应选D.例IO若的绽开式的常数项为-2（）.求.分析，即中XHO当x0时,把三项式找化为|+/-2）：当0时(+2)=/其通则乙=q（4产）Ga产，令2n-2r=0,得n=r.绽开式的常数项为（-1）G,：当x0：即C)0.!r27的绽开式中有连续三项的系数之比为1：2：3,这三项是第几夜？若捉开式的例数其次项为112,求K的做.A*1.设连续三项是第k、+1、衣+2项(kwN,ak,则有C：C：C=1：2
11、：3.即”!！川-23(*-iX11-+1.)!(11-)!(+1X11-I)!：,!；:I=1：2：3.(11-X-1)k(11-)(+1)k(n-k)Ik_I(-)(m-+1)2n-k+1.2(+)2=(+)2=一kn-k)35幻=3=/=14,火=5所求连续二项为第5.6、7三项.又由已知，(?；*=112.即x1.ox=8.两边取以2为底的对数.(1.og?*)=3og,.v=3.x=27t,或x=25.说明：当超目中已知二项绽开式的某些咛或某几项之间的关系收，常利用二项式通项,依据已知条件列出某些等式或不等式进行求解.典型例题十三例13(1.+2x)”的绽开式中第6项及第7项的系数相
12、等.求绽开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.分析：依据已知条件可求出“，再依据”的奇隅性：确定二项式系数最大的项.解，q=C(2x),7C(2x)6,依遨意有C；2s=C：2n=8.A(1+2x)s的淀开式中，：攻式系数最大的项为7；=C：(2x)4=1120.t4.设第r+1项系数最大，则有q2zC,2r,C2CW=5r6.r=5或r=6(Vre(0.1.2.8).系娄最大的项为：=17925,r=1792/.说明，(1)求二项式系数最大的项.依据二项式系数的性质,”为奇数时中间两项的二项式系数及大，”为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)求婉开式中系数最大项及求二项式系数以大项是不
13、I可的，制依据各项系数的正、负改变状况，一般来纳列不等式，解不等式的方法求得.典型例题十四例14设/(x)=(1.+x)A+(1+x)(.gN.),若其绽开式中关于X的一次J的系数和为II，问/M.为何伯时，含一项的系数取以小假？并求这个破小值.分析，依据已知条件得到小的系数关于”的二次表达式,然后利用二次函数性质探讨最小值问JE.解，U+C：=”+，”=I1.CC=1.(,n2-“/+/-I1.2110-2，,.iigN4,.,t=5或6.m=6或5时,/项系数最小.最小(ft为25.说明：二次函数的对称轴方程为，即x=5.5,由于5、6距5.5等正离.且对gN.5、6的5.5最近，所以的坡小位在”=5或“=6处取窗
