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1、7.7空间向量的概念及运算课标要求和细考点索养达成1 .了解空间向量的概念、空间向贵第本定理及共意义,掌握空间向昆的正交分解及其生标衣示2 .掌握空间向盘的我性运。及其坐标表示3 .掌握空间向Irt的数次帜及其坐标衣示,能运用向量的数联枳判断向此的共线与垂H空间向Ia基本定理,坐标我示及空间向量的设性运算诩过空间向盘基本定理与坐标表示及空间向及的线性运算.培养学生的直观想象、数学运好素养共线、共面向st定理及应用通过共线、共面向枇定理的应用,培养学生的力观想象.数学运算素养空间向量的数依枳及其应用通过空间数收枳及其应用,培养直观想象、数学运优素养而g三瓦构极璟敷9积Mfr俄标&示oos三-=1
2、1=0(词词/优卷论在丝0中X.空M次向的允要条件.oMffA点几个定9空网向的概念及运算*=.6T4u=夯实1.（椽念即析）（多选）下列说法正确的有（）.A.SABZCD,f1.JB/CDB,若AB与CD界面,则而与而异面c.若A,B,c,D是空间任意四点.则有Aag（SE+bK=O1 ）.A1B1C三点不共亲对空间任戢一点。,若丽=!而拈旃+：灰刖P1A1B1C四点共面答案CD解析对于A,若丽诙共线则ABCI或IBct）四点共线,所以A不正确；对于H.由空间任意两个向都共面.所以B不正确；对于C,向加法法则可得.故C正确；对于U,因为A1B1C三点不共城,对空间任意一点0,而醇&丽W配,又
3、部,所以P.A,B,C四点共面,故DQOO，UU正确.2 .（对接教材）如图,在梭长为1的正方体BCTAMCD中N为梭CC上任意一点.向XM在平面ABC上的投影向为.AMBC；（2）向浦在直姣BC上的投影向为,AMBC=.D1CB答案前1前1解析在正方体ABCDABCR中.式平面ABG因此响谪在平面ABc上的投影向为前.AMBC=ACBC=51cos45,=1.（2）在正方体ABCDABCD中,AR1.BC,CCJRC,因纥向而在直姣BC上的投影向为前.MBCB?BCBCI.3 .（对接教材）若a,b,c为空间向量的一个基底,则下列各项中,能构成空间向的星底的一组向是（）.A.（a1.ab.a
4、bB.b1.a+brab）C.c1.a*b.abD.（a*b,ab.a*2b答案C解析对于A,因为(a。，1)二%所以11,ab.ab共面,不能构成基底,排除A;对于凡因为GrH)(b2札所以b.a*b.ab共面,不能构成基底,排除B;对于D+2bI(Mb)I(ab),所以ab,nb.i2b共SJ.不能构成瓦底,排除)；对于(.若Ctaaab共面,则=(a+b)+v(ab11+(H)b,M；，hc共面,与Mb,。为空间向量的一个基底相矛盾做c,ab,ab可以构成空间向的一个刘底.4 .(易错自纠)(多选)下列各组向量中,是平行向量的是().A.a(1,2,2),b=(2,4.1)B.c=(1.
5、0.0),d=(3,0.0)C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)D.g=(2,3,5),h=(16,24,40)答案AI1.C解析对于A,因为b=2a所以“与1.是平行向；对于区因为生3C,所以与d是平行向量：对于CJ是零向量,与e是平行向:对于I).因为不存在GR.使得g=h,所以与h不是平行向量.5 .(真JS演嫉)(2023新高考1卷改口汜划向a=U,1.,1.),b=0,1.,2)(a+Xb)1.Bacb.(2)因为N是BC的中点.所以审=审-福丽=a+b*前=a+b*而=Mb*.(3)因为M是K的中点，所以证=M6-T再KAQ=a+a+cWb=a*b+c,又西而西B?A;B7c
6、*a,3rWMPNq=i4bc+ac=-tb+c.1 .姣性运算要熟练学春运算法则和运算律.2 .用基向量表示指定向量的方法(1)结合图定找出已知向量和所求向量的联系：(2)利用三角形法则、平行四边形法则和多边形法则；(3)先把所求向,用已知星向表示出来,再用待定系数法求出姣性表达式.调练1侈闻如图所示N是四面体ORBC的接BC的中点,点、在线段UM上,点P在线段上,且RP3PX,丽0M,设鼐=而=b,S=c,则下列等式成立的是().A.OMB.N+caC.AP蜂D.OPZ答案BD解析对于A,利用向量的平行四边形法则,得而?=|丽+3玩WbweIA错误:对于民利用向量的平行四边形法则和三角形法
7、则.得AN=ONOA=IOMOAQOB+ic)训=|丽玩砺b*a,B正确；对于C.因为点1在畿医A上.且RP31，所以而对于D,OP=OAAP=ab+ca=ft+bctD正确.考点共城、共面向量定理的应用典例2若A(1.,2,3),B(2,1.4),C(m,n,1.)三点共姣,则JHn=.答案3解析AB(3.1.1).AC(n1.,n2,2).因为A.B.C三点共城,所以存在实数,使得A岸AB.P(m+1.,n212)=(3,1,1)=(3,),m+1=30=-2,所以n2=尢解得m=-7.2=,(n三4.所以wn=3.(2)如B,在IQ犊柱ABCDA1B1C1D1中,57g=k帝,*=k#,
8、57S=k57E5711=k575.(1)当(q时,试用而,而,鬲表示而；(2)证明:EEG,H四点共面.解析(I)AF=AE+萍WAi5d12E阿弓布河1而？福师中叫福(2)AC=AB-AD(,MT0).EGD1GD1EkDjCkiMkAC=k(ABAD)=kAB-kADk(D1BD1A)k(D1DD1)=(Dt1.)1.E)(DtHD1.E)=EF+JIEH.则解,彘,由共面且有公共点E.f1.JEEGJ1.四点共面证明空间四点P,MAB共面的方法(I)MPxMAyMB(x,yR);(2)对空间任一点0.6P=x。而+y6K+z(x+y+z=1.)(x,yaER)：(3)雨/B(三EPAM
9、BRBAM).调练2如图所示.已知斜三楼柱ABCAMe.点VR分别在Ae和BC上,且满足加k扃.而kBC(0k1.).向mN是否与向J1.A至Aa；共面？(2)i心是否与平面IBBA平行？解析(1)因为而=kXU7,丽=k前.所以而=m，而-丽=k京+通+k前k(CiBC)B=k(CtAC1B1,)+AB=kB1A-AB=ABkAB?=ABk(AA;*AB)=(Ik)ABkAA?.所以由共面向定理知向而与向崩.福共面.当k=0时,点MA重合.点N.B重合,MX在平S1.ABBA内.当0k1.时期不在平IaABB1.A,内.又由知而与而,前共面,所以My平面ABB1A1.考点你上可知.当k0时M
10、NU平面ABB1A.IPMN与平面ABBA不平行:当0k1.时M平面ABB1A1.空间向量的数量枳及其应用典例3如图,正四面体ARa)的核长等于IEF分别是AH1AD1CD的中点,计算:(I)EGBD；(2)EG的长；向氏与前的夹角解析SAB=a,AC=b,AD=,WJaI=:bI=ci=1,=60-.(I)EGBD(EAAG)(ADAB)=(AB+AC+|aD)(ADAB)=(-a+b+c)（八）=IX(Ix1.+1+*nip2,(2)因为由=IHTb*,所以EG呼号*$b$bcjc-.则EG=y.H)EG的长为苧.(3)因为彘=*比+而画=如2),所以前AB=i(ab+acas)=(1.X
11、1+111.)=0.所以向前与丽的夹角为901.(1)空间向量数量积的计算方法定义法:设向/,的夹角为。,则agab1.cosk坐标法:设a=(x,y1.,z1),b=(x2,y.,zJ,ff1.ab=xx1+yy2+zz-投影法:向a,b的数积就是向H在向量b上的投影向与向b的数税,还等于向“在向量b所在平面上的投影向量与向b的数量税.(2)致枳的应用解决垂直问题:利用a1.1.oab=Wa(MO),可将垂直问题转化为向数枳的计算问欧求两向的夹角:利用空间向数量积求夹角.设向a,h所成的角为。,则cos。瑞,送而可求两异面通然所成的角.求线段长度(距富)：运用公式a=Ha,可使城段长度的计算
12、问题转化为向,数枳的计算问题.调缘3(1)如图,在四棱柱ABQ)D中,底面为平行四边形,以顶点A为解点的三条校长都为】,且两两夹角为60,.求AC的长.求证:ACBD.求助.与AC夹角的余弦值.解析记通a.ADb.AAjc.则a=bc=1,=6O4.所以ab=bc=ca=.因为ACi=(a+b+c);=ab+c2(ab+bc+ca)=1.+1.+1.+2x(g+g+舒=6,所以应；=遥.即AC的长为痣因为宿=a+b+c,丽=ba,所以色BD=(ab*c)(ba)=(b+a)(ba)*c(ba)=0.所以科_1_而,所以AC1IBD.因为8D；=b+ca,前=a+b.所以瓯=2,AC=3,BD1AC=(bcn)(ab)=bai+ac+bc=1.所以皿=所以BD与AC夹角的余弦值力告.(2)已知空间三点(O,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5).求向AW在向A(f上的投影向的坐标；求以丽.前为邻边的平行四边形的面积.解析由题意可得疝=(2.1.3),配=(1,3,2),设瓶在AC上的投影向为AC.3.2).由投影向量的定义可知而前XACC.pcrt.码入6.2+3+。_?_1w,而FH-1F2,所以配&,)
