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1、远辉教化奥数班第一讲一一质数、合数和分解质因数主讲人：杨老师学生：五年级电话：62379828一、基本概念和学问：1 .质数及合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特殊记住：1不是质数，也不是合数。2 .质因数及分解质因数假如一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例：把30分解质因数。30=235o其中2、3、5叫做30的质因数。乂如12=2X2X3=22X3,2、3都叫做12的质因数。二、典例剖析，例1三个连续自然数的乘积是210,
2、求这三个数.解：V210=2357可知这三个数是5、6和7。例2两个质数的和是40,求这两个质数的乘积的最大值是多少？解.：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：40=17+23=11.+29=3+37oV17X23=3911129=319337=11U.所求的最大值是391.答：这两个质数的最大乘积是391。例3自然数123456789是质数，还是合数？为什么？解：123456789是合数。因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3,所以它是一个合数。例4连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？解：假如这连续的九个F1.然数在1及20之间，那么明显其中最多有4个质数(如：19中有4个质数
3、2、3、5、7)O假如这连续的九个自然中最小的不小于3,那么其中的偶数明显为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5,因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。例5把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。解：V5=5,7=7,6=2X3,14=2X7,15=3X5,这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14(=2X7)放在第一组，那么7和6(=2X3)只能放在其次组，继而15(=3X5)只能放在第一组，则5必需放在其次组。这样1415=210=567o这五个数可
4、以分为M和15,5、6和7两组。例6有三个自然数，最大的比最小的大6,另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个F1.然数。分析先也许估计一下,303030=27000,远小于42560.40X40X40=64000,远大于42560.因此，要求的三个臼然数在3040之间。解：42560=2657X19=32X35X38(合题意)要求的三个自然数分别是32、35和38。例7有3个自然数a、b、c.已知aXb=6,bc=15,aXc=10求aXbXc是多少？解.：V6=2X3,15=3X5,10=2X5。(ab)X(bc)X(ac)=(2X3)(35)X(2X5)ajbc2=223
5、-5/.(abc)2=(2X3X5)2abc=235=30在例7中有a2=*b2=32,c2=52,其中2z=4,32=9,52=25,像4、9、25这样的数，推及一般状况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。如,It=1.22=4,3-=9,42=16,，112=121,12t=144,其中1,4,9,16,，121,144,都叫做完全平方数.下面让我们视察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数有什么特征。例如：把下列各完全平方数分解质因数：9,36,144,1600,275625。解：9=336=213-144=3i2,1600=2652275625=32
6、5,72可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。反之，假如把一个自然数分解质因数之后，各个质因数的指数都是偶数，那么这个H然数肯定是完全平方数。如上例中，36=6，144=12%1600=40、275625=525例8一个整数a及1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值及这个平方数。分析Va及1080的乘积是一个完全平方数，.乘积分解质因数后，各质因数的指数肯定全是偶数。解：V1080a=2s335a,又.1080=2X3X5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，.a必含质因数2、3、5,因此a最小为2X3X5。1080a=1080235=108030=32400o答：a
7、的最小值为30,这个完全平方数是32400。例9问360共有多少个约数？分析360=2X3X50为了求360有多少个约数，我们先来看3?X5有多少个约数，然后再把全部这些约数分别乘以1、2、2?、2,，即得到2X3,X5(=360)的全部约数.为了求3X5有多少个约数，可以先求出5有多少个约数，然后再把这些约数分别乘以1、3、3即得到3X5的全部约数。解：记5的约数个数为%,3?X5的约数个数为I,360(=2i325)的约数个数为1.由上面的分析可知：Y3=4Y2,Y=3Y,明显匕=2(5只有1和5两个约数)。因此Y3=4Y2=43Y=432=24。所以360共有24个约数。说明：=4XYz
8、中的“4”即为“1、2、22中数的个数，也就是其中2的最大指数加1，也就是360=2,325中质因数2的个数加1：1.=3XY中的“3”即为“1、3、32w中数的个数，也就是2X32X5中质因数3的个数加1；而Y1=2中的“2”即为“1、5”中数的个数，即2,325中质因数5的个数加1.因此Y3=(3+1)X(2+1)X(1+1)=24对于任何一个合数，用类似于对23TX5(=360)的约数个数的探讨方式,我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数(即指数)加I1的连乘的积。例10求240的约数的个数。解：.240=23151.,.240的约数的个数是(4+1)X(1+1)X(1+1)=20,.240有20个约数。请你列举一下240的全部约数，再数一数，看一看是否是20个？模拟测试1.边长为H然数，面积为105的形态不同的长方形共有多少种？2.11112222个棋子排成一个长方阵.每一横行的棋子数比每一竖列的棋子数多1个.这个长方阵每一横行有多少个棋子？3 .五个相邻自然数的乘积是55440,求这五个自然数。4 .臼然数a乘以338,恰好是自然数b的平方.求a的最小值以及b三5 .求10500的约数共有多少个？
