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1、人教版二项式定理概念篇【例1】绽开（2x-*）5分析一：干脆用二项式定理绽开式.解法一：（2x-.）5=3（25+CX2（一看）+C2烦（一.产+C；（2）2（-.）3+CJ（2刈一*4+CK-45=325-12O三三-140?-2.ra-48/32x分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理绽开.解法二：（2X六）.(4-3f=-CS(43)5+CU43)4(-3)+C1143)3(-3)2+C(43)2(-3)3+CU43)(-3)4+G(-3)5(10245-38402+57609-43206+1620/-243)=325-1202+三-+-243说明：记准、记熟二项式（A功”的绽开式
2、是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较困难的二项式，有时先化简再绽开会更简便.【例2】求二项式（a-2b）的绽开式a分析：干脆利用二项式定理绽开.解：依据二项式定理得历-24=（3+。的一2a+加四一24+（：间-26）3+它（-25）4=a4-824a2-32a+16M说明：运用二项式定理时要留意对号入座，本题易误把一2b中的符号“一”忽视.【例3】在（X一行严的绽开式中，系的系数是.解法一：依据二项式定理可知犬的系数是C3解法二：（X-Q严的绽开式的通项是T=CMxIO-I-石E令IO一尸6,即尸4,由通项公式可知含炉项为第5项,即nn=C6（-3=9Cf0.H的系数为9C）上面的解
3、法一与解法二明显不同，那么哪一个是正确的呢？问题要求的是求含/这一项系数，而不是求含/的二项式系数，所以应是解法二正确.假如问题改为求含/的二项式系数，解法一就正确了，也即是C二说明：要留意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异.二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数与项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数与项数均有关.【例4】已知二项式(36-；严，3(1)求其绽开式第四项的二项式系数；(2)求其绽开式第四项的系数;求其第四项.分析：干脆用二项式定理绽开式.解：(3。一,严的绽开式的通项是T=C产F=Hr=O,1,，10).(1)绽开式的第4项的二项式系数为C
4、AI20.(2)绽开式的第4项的系数为C137(-)3三-77760.(3)绽开式的第4项为-77760(6)7%,1.-777607.说明：留意把(377严写成37+(-g)R从而凑成二项式定理的形式.【例5求二项式(/+,*严的绽开式中的常数项.分析：绽开式中第K1.项为Co(2|。F右匕要使得它是常数项，必需使“丁的指数为零，依据是父=1,x0.T=CK(2严F*Y=C；腐吟耕：设第项为常数项，则(Hz三O,1,10),令20-：广0,得r=8.=crn(,)8-2256第9项为常数项，其值为鉴.2x说明：二项式的绽开式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采纳令通项7,的变元的指
5、数为零的方法求得常数项.【例6】(1)求(1+2为7绽开式中系数最大项;求（1-2M?绽开式中系数最大项.分析：利用绽开式的通项公式，可得系数的表达式，列出相邻两项系数之间关系的不等式,进而求出其最大值.解:（1）设第项系数最大，则有Q2Cr2一,C,C,2r,.-2,2T.r!(7-r)!(r-1.)(7-r+1.)!I7!2,-,1.(r!(7-r)!(+i)!(7-r-1.)!22Ir16化简得8-二解“又.wr7,系数最大项为7=C5255=6725.（2）解：绽开式中共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得.又因（1-2括号内的两项中后两项系数的肯定值大于前项系
6、数的肯定值，故系数最大值必在中间或偏右，故只需比较方和5两项系数的大小即可Ei三1,所以系数最大项为第五项，即7=56O.说明：本例中的解法是求系数最大项的一般解法，（2）的解法是通过对绽开式多项分析，使解题过程得到简化，比较简洁.【例7】（1+2M”的绽开式中第6项与第7项的系数相等，求绽开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.分析：依据已知条件可求出，再依据A的奇偶性确定二项式系数最大的项.解：T6=C1.（2）5,4=Cx2靖，依题意有C：2S=C：26,解得a=8.（1+2邓的绽开式中,二项式系数最大的项为7=C112）4=112O4.设第E项系数最大，则有%乎?CJ2rC1.2.5r
7、6./.r=5或r=6.二系数最大的项为71.=17925,7；=17926.说明：(1)求二项式系数最大的项，依据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大；A为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)求绽开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需依据各项系数的正、负改变状况，一般采纳列不等式，再解不等式的方法求得.应用篇例8若aWN,(2+1.)11=2a11+b11(11Z),则，的值()A.肯定是奇数B.肯定是偶数C.与的奇偶性相反D.与a有相同的奇偶性分析一：形如二项式定理可以绽开后考杳._解法一：由(、历+1)”=后为+，知i%+为=(1.+i)”=CS+C2+CU
8、2)2+C15,(2)3+-+CJ2.n=1.+Ci(2)2+CU2)4+-功为奇数.答案：A分析二：选择题的答案是唯一的，因此可以用特别值法.解法二：NJfcn=I(2+1.)1=(2+,有力=1为奇数.-2W,(2+1)2-2+5,有功=5为奇数.答案：A【例9】若将尸才。绽开为多项式，经过合并同类项后它的项数为()A.1.1.B.33C.55D.66分析：(田产4看作二项式(x+y)+门绽开.解：我们把2/Z看成(2加Z,按二项式将其绽开，共有11“项”，即(+严切=IO(+V)+ZT0=j;Cf1.1.(xj1.0-kzk.A-O这时，由干“和”中各项Z的指数各不相同，因此再将各个二项
9、式(AMmT绽开，不同的乘积CM2方。-/(ho,1,，10)绽开后，都不会出现同类项.下面，再分别考虑每一个乘积CM2y-*(=o,1,，10).其中每一个乘积绽开后的项数由(x+切。T确定，而且各项中X和尸的指数都不相同，也不会出现同类项.故原式绽开后的总项数为11+10+9+1=66.答案：D说明：化三项式为二项式是解决三项式问题的常用方法.【例1。】求（Ix+1.-2户绽开式中的常数项.1.-r分析：把原式变形为二项式定理标准形态.解：.（x+1.-2）3=（M-Y）6,，绽开式的通项是1=cf,（d）6-七F=(-1.)y，向)6-2r.若容I为常数项，则62广0,r=3.绽开式的第
10、4项为常数项，即7；=-C；=-20.说明：对某些不是二项式，但又可化为二项式的题目，可先化为二项式，再求解.【例11】求（6-玄P绽开式中的有理项.分析：绽开式中的有理项，就是通项公式中X的指数为整数的项.解：.=c;（由-I-，尸（一1）。芳.令哼Z,即4+之：Z,且尸0,1,2,，9.66/.r=3或r=9.当尸3时，4,。=(-1)3c*=-844.6当尸9时，=3,7io=(-D9C=-.O.（一爪）9的绽开式中的有理项是第4项一84/,第10项一说明：利用二项绽开式的通项可求绽开式中某些特定项.【例12若（3x-1.）7=a77+a66+aj+a0,求团+处+%；2a+a3+a5+
11、a7;氏+82+&+%.分析：所求结果与各项系数有关可以考虑用“特别值”法，整体解决.解：令*=0,则同=-1,令*=1,则a7+a6+a1+a0=27=128.a+为+a7=129.(2)令k一1,WJa7+a6+a5+a4+a3+Si+a0=(-4)7.由今生得：闭+肉+检+生128-(-4)7=8256.(3)由色券得ao+a2+a4+a6=;128+(-4)7=-8128.说明：(1)本解法依据问题恒等式特点来用“特别值”法,这是一种重要的方法，它用于恒等式.一般地，对于多项式0M=(px+0=(ao+a2a2A2+a3Aa4+as+a6A6+的7,各项的系数和为以1),4M的奇数项的
12、系数和为:01)+0-1),的偶数项的系数和为:D【例13】证明下列各式(1)1+2C+4C+211-1C,+211CZ-3n;)2+(。产+(C：)2=。，；C!,+2C：+3C：+Z2C:=/22-1.分析：(1)(2)与二项式定理的形式有相同之处可以用二项式定理，形如数列求和，因此可以探讨它的通项J求规律.证明:在二项绽开式(a+W=Ca+C,6-ZCjT1.2zz2+.+c：TaZyi+C：中，令,6=2,得(1+2/=1+2C；+4C：+2-(7+2：,即1.+2Ct+4C;+2TC:t+2C；=3”.(1.+M(1.+T=(1.+M2n,.(1+C!,a+C=2+Cir+M(1.+
13、C：x+C：X+C,x+n)=(1.+)2n.而C1.,是(1+)2的绽开式中k的系数，由多项式的恒等定理，得c：c：+c;ct+c!1.c:-+c：c=c.VC；=C：-W,On,(CJ2+(CJ2+-+(CJ2三C:,证法一：令由C：+2C：+3C：+nC令S=C：+2C：+(11-1)C;-+nC=jC(2-1)C,+2C+Ct=ZjC：+(A-I)CJ,+2C2+C,.由+得2S=p+0+nC:+nC：=/7(C：；+C；+C：+C：+C：)=A(C：C!,+C+C2+CJ=n2n.=n2rt-,UPC!1+2C+3C+nCn2n-1.证法二：视察通项：AC：=火/=湍募r心.原式=A
14、C3+aC1.+aC3+C3+疣:二；=A(C1.+C3+C3+c3+Cw)=成”-1即C，+2C：+3C：+nC=112n-1.说明：解法二中比：=CS可作为性质记住.【例14】求1.997,精确到O.OO1的近似值.分析：精确运用二项式定理应把1997拆成二项之和形式如1.997=2-0.003解：1.9975=(20.003)5=25-C!s240.003+C210.0032-C220.0033+32-0.24+0.0007231.761.说明：利用二项式定理进行近似计算，关键是确定绽开式中的保留项，使其满意近似计算的精确度.【例15求证：5广1-1能被7整除.分析：为在绽开式中出现7的倍数，应把51拆成7的倍数与其他
