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1、二次函数y=的图象和性质一、教学目标（一）学习目标1 .会用描点法画出形如y=a2的二次函数图象，了解抛物线的有关概念；2 .通过观察图象，能说出二次函数y=a2的图象特征和性质；3 .在类比探究二次函数y=a2的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想.（二）学习重点会画二次函数y=a2的图象，理解其图象特征和性质.（三）学习难点用描点法画二次函数y=a2的图象以及探索二次函数性质，体会数与形的相互联系.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）二次函数y=a2,当a0时，图象特征和性质是：图象是一条抛物线,开口向上;原点（0,0）是图象的顶点,也是最低点
2、，当x=0时，函数y有最小值0；图象是轴对称图形，对称轴是丫轴（直线X=0）；在对称轴的左侧（即x0时），抛物线从左到右上升，y随X的增大而增大.（2）二次函数y=a2,当a0时，图象特征和性质是：图象是一条抛物线,开口向下;原点（0,0）是图象的顶点,也是最高点，当X=O时，函数y有最大值0；图象是轴对称图形，对称轴是y轴（直线X=0）；在对称轴的左侧（即x0时），抛物线从左到右下降，y随X的增大而减小.2.预习自测1.二次函数y=6/的图象开口向,对称轴是,顶点坐标,当X时，y随X的增大而增大，当X时，y随X的增大而减小，当X=时，y有最值,为.【知识点】二次函数y=的图象和性质【解题过程
3、】由二次函数y=0?的图象和性质可得.【思路点拨】牢记二次函数J，=。/的图象和性质是解题的关键【答案】上，y轴，(0,0),0,=的图象之间的关系是.【知识点】二次函数J，=。/的图象和性质与【解题过程】因函数y=1.f与y=J/的二次项系数互为相反数，其图象的形状相同，只是开口方向相反，所有它们的图象关于X轴对称.【思路点拨】由二次函数y=与=_以2的图象关于X轴对称可得【答案】关于X轴对称4 .已知函数y=欣/一7的图象是抛物线，且开口向下，则?的值为.【知识点】二次函数y=以2的图象和性质【解题过程】由-7=2得/=3,又开口向下，故m=-3【思路点拨】牢记二次函数的概念和J，=。/的
4、图象和性质是解题的关键【答案】rn=-3(二)课堂设计1.知识回顾(1)二次函数的定义：一般地，形如y=?+法+c(a0)的函数叫做X的二次函数.(2)一次函数y=kx+b(k0)的图象与性质：图象是一条直线；当QO时，直线通过一、三象限，y随X的增大而增大；当k0时，直线通过二、四象限，y随X的增大而减小.（3）研究函数时，了解函数性质的主要工具是：函数的图象.（4）画函数图象的主要步骤：列表.描点.连线.2.问题探究探究一画出二次函数y=1.的图象f点、难点知识活动合作探究1.实践操作：用描点法画=/的图象。解：（1）列表：师：列表时应注意什么问题？生（抢答）：数据的代表性（正、负、O都要
5、包含）、简单性（尽量选择整数和较小的数据）、多样性（至少选择5个数据进行描点）X-3-2-1O123y941O149（2）描点:师：在平面直角坐标系中描点时应以哪些数值作为点的坐标？生（抢答）：一组X和y的对应值就是一个点的横、纵坐标（3）连线:师：连线时应注意什么？生（抢答）：平滑的曲线连接用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y=Y的图象2、观察探究：观察y=x2这个函数的图象，它有什么特点?（1）你能描述图象的形状吗？（2）图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么？（3）图象有最低点吗？如果有,坐标是什么？（4）当x0呢？（5）当X取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？特
6、点：（1）图象是一条抛物线，开口向上；（2）原点（0,0）是图象的顶点，也是最低点，当X=O时，函数y有最小值0；（3）图象是轴对称图形，对称轴是y轴（直线x=0）;在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降，y随X的增大而减小；在对称轴右侧，抛物线从左到右上升，y随X的增大而增大.活动自主探究1.画出函数y=2,y=g的图象:（1）列表：X.-2-1012y=2x2.8202812y=y220j_22（2）在平面直角坐标系中描点：（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数），=2/,y=1.2的图象函数y=2,），=/的图象与函数）,=f的图象相比，有什么共同点和不同点？学生讨论后回答，教师点拨.相同
7、点：图象都是抛物线，都开口向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是y轴,当X=O时，y的最小值是0；在对称轴左侧，y随X的增大而减小，在对称轴右侧，y随X的增大而增大.不同点：a（a0）越大，抛物线的开口越小.猜想：二次函数的开口方向是由什么决定的？开口大小的程度又是由什么决定的？活动类比探究1.画出函数y=-/,y=-2x2,y=的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点.相同点：图象都是抛物线，都开口向下，顶点是原点而且是抛物线的最高点，对称轴是y轴,当X=O时，y的最大值是0；在对称轴左侧，y随X的增大而增大，在对称轴右侧，y随X的增大而减小。不同点：时越大，抛物线的开口越小.思
8、考：二次函数的开口方向是由什么决定的？开口大小的程度又是由什么决定的？开口方向：由a的正负决定正，开口向上；负，开口向下开口大小：由a的大小（绝对值）决定向越大，抛物线的开口越小2.归纳慨括：二次函数y=a2的性质是什么？小组讨论，列表归纳：y=ax1aX)QVo图像开口开口向上开口向下I4I越大，开口越小对称性关于y轴对称（或直线X=O）对称顶点顶点坐标是原点（0,0）顶点是最低点顶点是最高点增减性在对称轴左侧，y随X的增大而减小在对称轴右侧，y随X的增大而增大在对称轴左侧，y随X的增大而增大在对称轴右侧，y随X的增大而减小最值当x=0时，函数y的最小值是0当x=0时，函数y的最大值是0活动
9、性质应用1 .抛物线y=-6开口向,对称轴是，顶点坐标是：在对称轴侧，y随着X的增大而增大，在对称轴侧，y随着X的增大而减小；当X=时,函数y的值最小，最小值是；抛物线y=-6/在X轴的方（除顶点外）。2 .抛物线y=-gf在X轴的方（除顶点外），在对称轴的左侧，y随着X的增大而，在对称轴的右侧，y随着X的增大而；当X=O时，函数y的值最大，最大值是；当X0时，y=-奴2的图象关于X轴对称.探究三拓展应用活动二次函数)，=必?解析式的确定例1已知抛物线y=o2经过点A(-3,-18).(1)求此抛物线的解析式；(2)判断点B(-2,-6)是否在此抛物线上.(3)求出此抛物线上纵坐标为-10的点
10、的坐标.【知识点】二次函数解析式【解题过程】解：把(-3,-18)代入y=a2,得8=a(3)代解出a=2.所求抛物线解析式为y=-22.(2)因为-6声-2(-2尸，所以点B(-2,-6)不在此抛物线上.(3)-10=-2x2,WX2=5,X=5.所以纵坐标为-10的点有两个，它们分别是(逐,70),-10).【思路点拨】由于y=a?中只有一个待定系数a,所以只需一个条件(图象上一个点的坐标或一对对应值)，利用待定系数法就可以确定其解析式.判定一个点是否在抛物线上，只需把这个点的坐标代入抛物线解析式看左右两边是否相等就可判定.【答案】(1)y=-2x2;(2)不在此抛物线上；(3)(5,-1
11、0),(-5,-10)练习：一个抛物线形涵洞如图所示，在平面直角坐标系中，当水位在EF位置时，水面宽度为12m,此时水面到桥拱的距离是4m,则抛物线的函数关系式为()A.y=9x2B.y=-9x2C.y=-2D.y=x2x【知识点】二次函数)，=图象及性质./【数学思想】数形结合【思路点拨】用待定系数法设函数解析式，再根据题意找到点E、F的坐标代入即可。【答案】C【设计意图】熟练运用待定系数法确定函数解析式，是求解二次函数问题的基本技能。活动二次函数y=。/的图象与一次函数的图象共存同一坐标系的问题例2.在同一坐标系中画出一次函数y=ax+a和二次函数y二Y的大致图象正确的是（）【数学思想】数
12、形结合【解题过程】根据a的符号分类,a0时,在A,B中判断一次函数的图象是否相符,a0时,二次函数y=。/的图象开口向上,一次函数y=a+a的图象经过第一、二、三象限,排除A;当a0时，二次函数y=的图像开口向上，一次函数y=-3#0）的图像经过二、四象限；当aVO时，二次函数y=的图像开口向下，一次函数、=一以侬#。）的图像经过一、三象限，故选B.【思路点拨】解答这类问题,一般用排除法,首先根据抛物线的开口方向,确定二次函数二次项系数a的符号,然后再根据一次函数确定a的符号,如果相反,说明可能正确;如果相同,直接排除.另外需要注意二次函数和一次函数都过原点。【答案】B【设计意图】通过二次函数与一次函数共存问题，进一步加深对二次函数图象和性质的理解,并能将知识融会贯通。活动与y=qd的图象和一次函数图象交点有关的问题例3.如图,已知抛物线)=以2伯邦)与直线AB交于点尸(4,4),连接OP,OP=AP,求二次函数的解析式及抛物线与直线AB另一个交点B的坐标.【知识点】二次函数)，=以2和一次函数图象交点，二元一次方程组。【数学思想】数形结合【解题过程】解：设直线AB的解析式为广3+
