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1、对数及其运算教学设计三维目标：1 .理解对数的概念，了解对数与指数的关系，理解和掌握对数的性质.2 .掌握对数式与指数式的关系，通过实例推导对数的运算性质.3 .准确地运用对数运算性质进行运算，并掌握化简求值的技能，运用对数运算性质解决有关问题.4 .通过与指数式的比较，引出对数的定义与性质，让学生经历并推理出对数的运算性质，并归纳整理本节所学的知识.5 .学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力；通过对数的运算法则的学习，培养学生严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性.教学重点：对数式与指数式的互
2、化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用.教学难点：对数概念的理解，对数运算性质的推导及应用.课时安排：3课时教学过程：第1课时对数概念导入新课：思路1.(1)庄子：一尺之植，日取其半，万世不竭.取4次，还有多长？取多少次，还有0.125尺？(2)假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？抽象出：(=?g)1.t=0.125=x=?(1.+8%)=2nx=?都是已知底数和累的值，求指数.你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子，已知底数和累的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数引出对数的概念，教师板书课题).思路2.我
3、们前面学习了指数函数及其性质，同时也会利用性质解决问题，但仅仅有指数函数还不够，为了解决某些实际问题，还要学习对数函数，为此我们先学习对数引出对数的概念，教师板书课题).推进新课：新知探究提出问题利用计算机作出函数y=13X1.(HX的图象.从图象上看，哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿？如果不利用图象该如何解决？说出你的见解.1 O20Q即逅=1.0J,p=1.or,TT=1.01x,在这几个式子中，X分别等于多少？10J1.JIJ你能否给出一个一般性的结论？活动：学生讨论并作图，教师适时提示、点拨.对问题，回忆计算机作函数图象的方法，抓住关键点.对问题，图象类似于人的照片，从照片上
4、能看出人的特点，当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标.对问题，定义一种新的运算.对问题，借助，类比到一般的情形.讨论结果：如下图.在所作的图象上，取点P,测出点P的坐标，移动点P,使其纵坐标分别接近18、20、30,观察这时的横坐标，大约分别为32.72、43.29、84.04,这就是说，如果保持年增长率为1个百分点，那么大约经过33年、43年、84年，我国人口分别约为18亿、20亿、30亿.磷=1.O1.,=1.0,7=1.O1.x,在这几个式子中，要求X分别等于多10 J1.J1o少，目前我们没学这种运算，可以定义一种新运算，用符号“1.og”表示对数，1O1O1O即若R=1.o1.
5、X,贝IJX总以1.01为底的音的对数就可写成X=IOg1.1.其他的可101.O115类似得到，X=Iog1.OI7?X=1.g1,oT,这种运算叫做对数运算.1oIJ一般性的结论就是对数的定义：一般地，对于指数式=N,我们把“以a为底N的对数b”记作IOgaN,即b=IognN(a0,且aW1.).其中，数a叫做对数的底数,N叫做真数,读作“b等于以a为底N的对数”.实质上，上述对数表达式，不过是指数式N=的另一种表达形式.由此得到对数和指数幕之间的关系：aNb指数式J=N底数指数对数式1.ogN=b对数的底数真数对数11例如：4=16o2=1.ogJ6;IO2=1002=Iogio1.O
6、O；42=2-=1.og12;10乙=0.O1.2=Iogi0O.01.提出问题为什么在对数定义中规定a0,且a#1.?根据对数定义求IogaI和1.ogaaa0,且a1.的值.负数与零有没有对数？a=N与IOgaab=ba0,且aW1.是否成立？什么是常用对数？讨论结果：这是因为若aV0,则N为某些值时，b不存在，如IOg(T)I若a=0,N不为0时，b不存在，如1.og。，N为0时，b可为任意正数，是不唯一的，即1。助0有无数个值；若a=1.,N不为1时，b不存在，如1.og12,N为1时，b可为任意数，是不唯一的，即IogJ有无数个值.综之，就规定了：a0,且aW1.Ioga1.=0,1
7、.ogaa=1.因为对任意a0,且aW1.都有a=1.,所以IOga1.=0.同样易知：Iogaa=1.即1的对数等于0,底的对数等于1.因为底数a0,且aH1.由指数函数的性质可知，对任意的bR,ab0恒成立，即只有正数才有对数，零和负数没有对数.因为=N,所以b=1.ogi1.N,ab=a1.ogaN=N,即胪aN=N.因为=,所以1.og.,1=1).故两个式子都成立(a1.ogN=N叫对数恒等式)常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便，N的常用对数1.og/简记作IgN.例如：1.og5简记作1.g5；1.ogo3.5简记作1.g3.5.例如：1.oge3简记作1.
8、n3；Ioge1.o简记作In10.应用示例例1求1.ogz2,Iog21.1.og216,1.og2.解：因为2=2,所以1.ogz2=1.;因为2=1.所以Iogz1.=O;因为2=16,所以1.og216=4;因为2-1=/所以1.og2=-1.点评：本题要注意方根的运算，同时也可借助对数恒等式来解.变式训练求下列各式的值：(1.)1.og525;(2)1.og32;(3)31og310;(4)1.og2.52.5.活动：学生独立解题，教师同时展示学生的做题情况，要求学生说明解答的依据，利用指数式与对数式的关系，转化为指数式求解.解:(1)因为8=25,所以1.ogs25=2.(2)因为
9、(t=32,所以1。弓32=5.(3)设31og310=N,则Iog3N=1.og31.,所以N=I0,即31og310=10.(4)因为2.5=2.5,所以1.og2.52.5=1.例2求Ig1.O,Ig1.OO,IgO.01.解：因为IO1.=I0,所以Igio=I;因为102=100,所以Ig1.OO=2；因为IoT=Oo1.所以IgO.O1.=-2.例3利用科学计算器求对数(精确到0.0001)：1.g2001；IgO.0618；IgO.0045；1.g396.5.解：用科学计算器计算:按键显示回2001W3.301247089g0.0618=-1.209011525Tog0.0045
10、=-2.346787486Tg396.5W2.598243192所以1.g20013.3012,IgO.0618-1.2090,IgO.0045%-23468,1.g395.62.5982.知能训练：1.把下列各题的指数式写成对数式：(1)42=16;(2)3o=1;(3)4x=2;(4)2x=0.5;(5)5,=625;(6)3-2=;(7)2=16.解：(1.)2=1.og116;(2)O=Iog3I;X=Iogi2；(4)x=Iog2O.5；(5)4=/、1/、11.og5625;(6)-2=Iog3-;2=1。巧16.I/A2.把下列各题的对数式写成指数式：(I)X=Iog27；(2)
11、x=1.og87;(3)x=1.og43;(4)x=1.og7;(5)1.og216=4;(6)1.og,27=-3；(7)1.og百x=6；(8)1.og64=-6；3(9)1.og2128=7;(10)1.og327=a.解：(1.)5x=27;(2)8x=7;(3)4x=3;(4)7x=;(5)24=16;(6)()-3=27;(7)(3)6=x;(8)x-6=64;(9)27=128；(10)3a=27.3.求下列各式中X的值：(I)Iog8X= -23;3(2)1.ogx27=-;(3)1.og2(1.ogx)=1；(4)Iog3(Igx)=0.29921解：因为1.og8X=-鼻，
12、所以x=8-W=)一鼻=23X(一鼻)=2-2=1；(2)因为IogX27=|,所以/=27=3)即X=(3”=3=81；(3)因为Iog2(1.og5x)=1.,所以Iog5X=2,x=52=25;(4)因为Iogs(Igx)=O,所以IgX=1.BPX=IO1=IO.4. (1)求1.og84的值；(2)已知IogH2=m,1.ogi1.3=n,求瞪+11的值.2解：(1)设IogI=X,根据对数的定义有8=4,即*=2)所以X=F即21.og84=-;(2)因为1.oga2=m,1.oga3=n,根据对数的定义有a=2,an=3,所以a2m+n=(am)2a=(2)23=4X3=12.点
13、评：此题不仅是简单的指数与对数的互化，还涉及到常见的基的运算法则的应用.拓展提升：对于a0,a1.,下列结论正确的是()(1)若M=N,则IOgaM=IogaN(2)若IOgHM=IOgN则M=N(3)若1OgaM2=1OgaN2,则M=N(4)若M=N,则1ogaM2=1OgaN2A.(1)(3)B.(2)(4)C.(2)D.(1)(2)(4)活动：学生思考，讨论，交流，回答，教师及时评价.回想对数的有关规定.对若M=N,当M为。或负数时IogaMIogaN,因此错误；对(2)根据对数的定义，IogaM=IogaN,则M=N,正确；对若IogM=IogN,则M=N,因此错误;对若M=N=O时
14、，则IogM与IogN都不存在,因此错误.综上，（2）正确.答案：C点评：0和负数没有对数，一个正数的平方根有两个.课堂小结:（1）对数引入的必要性；（2）对数的定义；（3）几种特殊数的对数；（4）负数与零没有对数；（5）对数恒等式；（6）两种特殊的对数.作业：课本本节练习B1、2.第2课时积、商、塞的对数导入新课：思路1.上节课我们学习了以下内容：1 .对数的定义.2 .指数式与对数式的互化.ab=N1.ogaN=b.3 .重要公式：（1）负数与零没有对数；IOgJ=0,1.ogaa=1.;（3）对数恒等式零OgeN=N.下面我们接着讲积、商、塞的对数（教师板书课题）.思路2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则.mnm+ninnmn/nnam小/naa=a；a-a=a；（a）=a；va=a-.Vm从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题.推进新课：新知探究提出问题1、在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？2、如我们知道T=M,an=N,aBan=a+n,那m+n如何表示，能用对数式运算吗？3、在上述2的
