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1、导数极限定理的推广与应用摘要:长期以来.导数和极限都是大学数学的基础部分,是学习高等数学的开端。而对于偏导数、方向导数、高阶导数来说.学好导数函数的基本极限定理则是班厨省疑的第一步。导函数的极限定理是高等数学理论学习中非常基础的一个数学定理,既是导函数的基本性质之一,又是我们求导的数的重要工具,可以很好的帮助我们将高阶导数应用到偏导函数、方向导数及其他高阶导数等数学领域中。本文首先给出了导数与极限定理并给予注记,即利用函数的连续性求出Dmf(X)=(x。),并XXo招其逐步推广应用至其他方向。最后.给出导数极限定理在方向导数、偏导数、复数域上的推广。关锁说：导数与极限；万向导数；偏导数；奥数域
2、目录1.极限与导数21极限21.2 .导数41.3 关于导数极限定理的讨论52 .导数极限定理的推广72.1 导数极限定理在高阶导数中的推广72.2 导数极限定理在悔导数中的推广82.3 导数极限定理在方向身故上的推广102.4 导数极限定理在复数域中的推广123 .导数拨限定理的应用133.1 号函数无第一类间断点13结束语13参考文献：14引言被限和导数不仅是我们学习大学教学的第一门功课,也是我们学好高等教学乃至数学分析的重要基础,正所渭基础不牢,地动山摇.所以熟练竽握导数函数中的极限基本定理对于后面的本科学习工作是至关重要的。另一方面.微积分自1958年创立以来一直在国内外学界处于一个特
3、姝的学术地位.近年来,随若我国撤积分的不断创新发展.导函数中的板限基本定理逐渐在数学分析中的方向导数、但导函数、复数域上得到推广与应用。1.极限与导数1.1.极限设函数/定义在.+刘上，我们研究当自变量X趋于+8时对应的函数值酢否无限的接近某个正数A例如,对于函数f(x)=：,从图像上看.当X无限增大时，函数值无限接近于0；而对于函数“。心工则当X趋于+/函数值无限接近于今我们称这两个函数为当X趋于+碉的极限.一般地.当X趋于+的函数极限的定义如下：定义1.1.1设/为定义在.汨上的函数,八为定数.若对于任给的0.存在正数M().使得当xW时有.f(x)-A0.取M=I则当xM时有-o=0,存
4、在正数S(),使得当0x-x6时有fx)-A0.只要取S=,则当0x-2|6时有|/(x)4r这就证明了!”沙(x)=4.例1.1.J证明!吧表M=:证当x1.时有pi2_.=|卫二|=IIzx2-X-I32X+1332X+1若限制X于0僮-I1.0),则2X+11于是.对任给的0,只要取6=min3e,1,则当0x-1|)与f+G(1)都存在，目U)=()例1.2.2设八幻=；-8SX；：,讨论/CO在x=0处的左、右导数与导数.解由于/(O+X)-(O)_x0-XAXI1.fAXVO因此.，,1-COSX/.(0)=Iim=0,f,(0)=Iim1=1.,AXrCr因为f.(0)f(0)所
5、以/在X=O处不可导.1.3关于导数极限定理的讨论定理1.3.1(导数极限定理)若函数f(X)满足下列条件：(1)在闭区间卜0-6,Xo+S上连续，(2)在开区间(XO-6,XO)及Go，X11+6)内可导.(3)1.1.m,(x)=,(A为有限值).XTXo则f(X)在点Xo可导,且1.(Xn)=k,即imz(x)=z(x0).X1.XO证明对VXW(X1.),Xo+(x)(1.+X2)+(n-1.)(x)2x+y)12)(幻.2=o.令尸0.代入上式并化简.得f(n)(0)=-(ZI-i)(n-2)/5-2)(0)/(0)=0,由上式,z(0)=0,(0)=0.2*J(o)三0(fc=0,
6、1.2.-).f(0)=1.,ff,z(0)=-21.1.,(5)(0)=43,(0)=4!.由此可得严+D(o)=ji)k(2k)!(A=o,1.2.).2.2 导数极限定理在偏导数中的推广定理2.2.1(I)(x)=(x.%)在U(XO)连续.在(/。)可导.屈g，(幻存在，则f(X,y)在值,%)对X的偏导数存在，fiA(.y0)=im5,(2)设力(y)=f0,y)在仇)连案在。()可&ImizJ，&)存在，则f在(X0,%)对X的辆导数存在,且y(o.%)=J世力,(y)证记Va)=4则fx(u,y0)=Iim止、=HmeW-ex)=Iimg(x)=A.mX(jX-MX(jXfofxo例2.2.1iSu=In(x+y+夜).证明U满足u,uiu1x+y+z=2-证从而u_1?XaX2x+yzr1rmu1Jyu1vzz.理白=15+P+FZd7=2x+y+z,故u1.u1.u1x+y-+z-=zyz2CT2.3.1(高阶偏导数)由于Z=&y)的痛导数&(x.y),fy(x.y)仍然是X与的函数,如果他们关于r与)，的偏
