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1、六年奥数综合练习应卜二答案(比和比例关系比和比例，是小学数学中的最终一个内容，也是学习更多数学学问的重要基础.有了“比”这个概念和表达方式，处理倍数、分数等问题，要便利敏捷得多.我们希望，小学同学学完这一讲，对“除法、分数、比例实质上是一回事，但各有用处”有所理解.这一讲分三个内容：一、比利比的安排；二、倍数的变更：三、有比例关系的其他问题.一、比利比的安排最基本的比例问题是求比或比值.从己知些比或者其他数量关系，求出新的比.例1甲、乙两个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是3：2,乙的长与宽之比是7：5.求甲与乙的面积之比.解：设甲的周长是2.甲的长与宽分别是I与I,75乙的长与宽分别是
2、看与合.甲与乙的面积之比是(x)：GXj)=864:875.答：甲与乙的面积之比是864：875.作为答数，求出的比最好都写成整数.例2如右图，是个梯形，E是的中点，直线把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10：7.Bz求上底与下底的长度之比.解：因为E是中点，三角形与三角形面积相等.三角形与三角形高相等，它们的底边的比：三角形的面积：三角形的面积=(10-7)：(7X2)=3：14.答：3：14.两数之比，可以看作一个分数，处理时与分数计算几乎一样.三数之比，却与分数不一样，因此是这一节讲解并描述的重点.例3大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯.假如记号表示2大杯、
3、3中杯、4小杯容量之和，求与之比.解：大杯与中杯容量之比是5：2=10：4,中杯与小杯容量之比是4：3,大杯、中杯与小杯容量之比是10：4：3.*=(10X2+4X3+3X4)：(105+44+33)=44：75.答：两者容量之比是44：75.把5：2与4：3这两个比合在一起，成为三样东西之比10：4：3.称为连比.例3中已告知你连比的方法，再举一个更一般的例子.甲：乙=3：5,乙：丙=7：4,3：5=3X7：5X7=21：35,7：4=7X5：4X5=35：20,甲：乙：丙=21：35：20.例4甲、乙、丙三人同去商场购物,甲花钱数的T等于乙花钱数的最乙花钱数的擀等于丙花钱数的?，结果丙比甲
4、多花钱93元，问他们三人关47花了多少钱?解：依据比例与乘法的关系，甲数XJ=乙数X即：甲数：乙数=g：9=2：3.44乙数X：=丙数X彳，47即，乙数：丙数=：1=16：21.74连比后是甲：乙：丙=2X16：3X16：3X2=32：48：63.三人共花了93X32+48+6363-32=429（元）.答：甲、乙、丙三人共花了429元.例5有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙长度的比是6：5,甲灯子的I钉入墙内，甲与丙钉入墙内的部分之比5：4,而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？解：设甲的长度是6份.那么甲在墙外的部分是6X(1-1)=2甲舒入墙内的部分是6xg=
5、4,丙打入墙内的部分为X,满足比例式4：5：4.16X=亍因此丙的长度是92.乙与丙的长度之比是5：(y+2)=25：26,而甲与乙的长度之比是6：5=30：25.甲：乙：丙=30：25：26.答：甲、乙、丙的长度之比是30：25：26.设甲的长度是6,也就是把甲分成6份，以它的:作为长度单位.这样便利用1.1.知条件6：5,使大部分计算都整数化,这是解比例和分数问题的常用手段.例6甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果,在每种精果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？解一：设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是3-i-=275(元).+22
6、3033答：这些糖果每千克平均价是27.5元.上面解法中，算式很简单列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22,30,33的最小公倍数330,乘这个繁分数的分子与分母，就有:333015+11+10=27.5（元）.事实上，有稍简捷的解题思路.解二：先求出这三种糖果所买数量之比.不妨设，所花钱数是330,马上可求出，所买数量之比是甲：乙：丙-15：I1.：10.平均数是(15+11+10)3=12.单价33元的可买】0份，要买12份，单价是3315=27.5(元).1乙卜面我们转向求比的另问题，即“比的安排”问题，当个数量被分成若干个数量,假如知道这些数量:之比，我们就能求出这些数量
7、.例7一个分数，分子与分母之和是100.假如分子加23,分母加32,新的分数约分后是I,原来的分数是多少？解：新的分数，分子与分母之和是(10+23+32),而分子与分母之比2：3.因此2分子=(100+23+32)273=.3分母=(100+23+32)=93.八的622339原来刀数是声友=互39管I原来分数是言.O1.例8加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，内需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应依据工作效率之比，按比例安排工作量.三人工作效率之比是z-=28
8、24：21.33.54他们分别须要完成的工作量是22甲完成825X的了两=7。（个）.24乙完成侬5X和E=6。（个）.丙完成825X后%=525（个）.所需时间是700X3=2100分钟）=35小时.答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，须要35小时.这是三个数量按比例安排的典型例题.例9某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14：11,会员分成三个组,甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是：甲：12:13,乙：5：3,丙：2：1,那么内有多少名男会员？解：甲组的人数是1002=50（人）.全体男会员人数是Ie）OX尚=56（人）.甲组男
9、会员人数是50XA1.F=24（人）.乙、内两组男会员人数是56-24=32（人）.乙组男会员占全组人数的三-122丙组男会员占全组人数的M=I如果丙组男会员也是占I，两组男会员只有50X=等，因此丙组总OOO人数是（32）（-）=18（人）丙组男会员人数是18X：=12（人）.答：丙组有12名男会员.上面解题的最终段，实质上与“鸡兔同笼”解法样，可以设想，“兔的蝌”是靠“鸡的财”是除“总弊”是32,“总头数”是50.例IO段路程分成上坡、平路、卜坡三段，各段路程长之比依次是I：2：3.小龙走各段路程所用时间之比依次是4：5：6.已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米.间小龙走完全程
10、用了多少时间？解一：通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.上坡、平路、卜坡的速度之比是2.2.345-6平路速度是3X=（=弓（千米/小时）21下坡速度是3X3-9=6（千米/小时）.走完全程所用时间24SQX3T+1.+2+3501.50X21+2+33+1.+2+3100+125+15036=o（小时）1o答：小龙走完全程用了10小时25分.上面是通常思路下解题.1：2：3计算中用了两次,好像重且计算,最终算式也颇费事.事实上，敏捷运用比例有简捷解法.解二：全程长是上坡这一段长的（1+2+3）=6（倍）.假如上坡用的时间是4份，全程都是上坡，所用时间是4X6（份）
11、，具体时间是?（小时）设小龙走完全程用X小时.可列出比例式：当=（4+5+6）：24=-1（小时）二、比的变更已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变更后，当然比也发生变更.通过变更的描述，如何求出原来的两个数量呢？这就是这一节的内容.例11甲、乙两同学的分数比是5：4.假如甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5：7.甲、乙原来各得多少分？解一：甲、乙两人的分数之和没有变更.原来要分成5+4=9份，变更后要分成5+7=12份.如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键.9与12的最小公倍数是36,我们让变更前后都按36份来算.5：4=(5X4)：(4X4)=20：16.5：7=（
12、53）：（7X3）=15：21.甲少得22.5分，乙多得22.5分,相当于20-15=5份.因此原来甲得22.55X20=90（分），乙得22.5516=72（分）.答：原来甲得90分，乙得72分.我们再介绍一种能解本节全部问题的解法，也就是通过比例式来列方程.解二：设原先甲的得分是5x,那么乙的得分是4x依据得分变更，可列出比例式.（522.5）：（422.5）=5：7即5(422.5)=7(522.5)151222.518.甲原先得分18X5=90（分,乙得18X4-72（分.例12有一些球，其中红球占提当再放入8个红球后，红球占总球数的,，问现在共有多少球1解：其他球的数量没有变更.增加
13、8个红球后，红球与其他球数量之比是5：（14-5）=5：9.在没有球增加时，红球与其他球数量之比是1 ：（3-1）=1：2=4.5：9.因此8个红球是5-4.5=0.5（份）.现在总球数是5+98=224（个）.答：现在共有球224个.本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把1：2写成4.5：9,就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解：（8） ：25：9.例13张家与李家的收入钱数之比是8：5,开支的钱数之比是8：3,结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？解一：我们采纳“假设”方法求解.假如他们开支的钱数之比也是8：5,那么结余的钱数之比也应是8：5.张家结
14、余240元，李家应结余X元.有240：8：5,150（元）事实上李家结余270元，比150元多120元.这就是8：5中5份与8：3中3份的差,李家603=180180+270=450福份是120（5-3）=60.（元）.因此可求出张家开支60X8=480收入480+240=720答：张家收入720元，李家收入450元.解二：设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多.我们画出一个示意图:张X3二8份X3-jj*2403-、一5份X3季X3Q张家开支的3倍是（8份-240）3.李家开支的8倍是（5份-270）8.从图上可以看出5X8-8X3=16份，相当于2708-240X3=1440（元）.因此每份是144016=90（元）.张家收入是90X8=720（元），李家收入是90X5=450（元）.本题也可以列出比例式：（8240）：（5270）=8：3.然后求出X.事实上，解方程求X的计算，与解二中图解所示是同回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些.例144和B两个数的比是8：5,每数都削减34后，A是B的2倍，求这两个数.解：削减相同的数34,因此未减时，与减/以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分
