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1、全等三角形全章复习与稳固（提高）【学习目标】1 .了好全等三角形的概念和性质，能够准确地识别全等三角形中的时应元素：2 .探索：.角形全等的判定方法.能利用：.角形全等进行证明,掌握综合法证明的格式：3 .会作用的平分雄，了解用的平分跳的性质，能利用三角形全等证明角的平分戏的性质，会利用角的平分线的性质进行证明.【知识网络】【要点植理】【全等三角形单元发习，知识要点】要点一、全等三角形的判定与性质一股-角形五的三用形边角边(SAS)两直用边对应相等角边角(S)判定角角边(AAS)一边一锐角对应相等边边边(SSS)斜边、面角边定理（H1.）枇腐对应边相等，对应角相等IXW（其他对应元素也相等，如
2、对应边上的高相等）备注判定三角形全簪必须行组时应边相等要点二、全等三角形的证明思踣找夹角TSAS已知两边根直角TH1.找另一边TSSS边为角的对边找任一角AAS已知一边一角找夹角的另一边fSAS边为角的邻边找夹边的另ftASA找边的对角AAS已知两角找夹边ASA找任边TAAS要点三、角平分州的性JB1 .角的平分战的性及定理角的平分践上的点到这个角的两边的足离相等.2 .角的平分线的又定定理角的内部到角的两边即离相等的点在角的平吩线1:.3 .三角形的角平分线三角形向平分线交于一点，且到三边的距离相等.4 .与角平分线有关的助战在两两边横取相等的税段，构造全等三两形：在角的平分践上取一点向角的
3、两边作垂U段.要点四、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的根底.这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具,是解淡与规段、用相关问时的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、雄段的和差倍分关系、角相等、两直雄位次关系簪言地的几何问SS.可以适当总结证明方法.1.证明线段相等的方法I(1)证明两条线段所在的两个三角形全等.(2)利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3)等式性旗.2.证明角相等的方法I(1)利用平行线的性质进行证明.(2)证明两个角所在的两个一:角形全等.(3)利用用平分战的判定迸行证明.(4)同角(等角)的余角
4、(补角)相等.(5)对蹊角相等.3,证明两条线段的位史关系(平行、望直)的方法：可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行我的判定或垂直定义证明.4.助线的添加：(D作公共边可构造全等三角形：(2)倍长中线法：(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形：(4)利用鼓长(或补短)法作旋犯变换的全等ZZ地形.5,证明三角形全等的思维方法：(1)直接利用全等：.角形判定和证明两条线段或两个用相等，需要我们敏拢、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.(2)如果要证明相等的两条线段或两个地所在的三地形全等的条件不充分时，那么应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形
5、全等以补足条件.(3)如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助跳，使之出现全等三用形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.【典型例JS】类型一、巧引助构造全等三角形(1) .倍长中饯法eI、,如图,AABC中，D是BC中点，DEJ1.DF,试判断BE+CF与EP的大小关系，并证明你的绪论.【总防点拨】因为I）是BC的中点，按倍长中线法，信长过中点的税段DF,使DG=DF,证明AEDGgAAF,FDCGDB,这样就把BE、CF与EF线段转化到了ABEG中.利用两边之和大于第三边Ur证.【答案与解析】BE+CHEH:证明：延长FD到G.使I)G=DR连接BG、EGYD
6、是BC中点.,.BD=CD又.DE1.DF在AEDG和AEDF中ED=ED-NEDG=ZEDFDG=DFHK14EDF(SAS).EG=EF在aFDC与aGDB中CD=BDNI=N2DF=DGFDC5GDB（SAS）ACF=BGVBG+BEEGBE+CFBF总结升华】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中城法（成倍长过中点的城段）.【变式】：如卜图，CE、CB分别是ZiRBC与ARDC的中线,F1.ZACB=ZABC.求证：CD=2CE.【答案】证明：延长CE至FttEF=CE.连接BF.：EC为中线，AE=BE.AE=BE,在4AEC与ZiBEF中，ZjEC=NBEECE=EF.：.AECBEF(
7、SAS).：.C=BF.NA=NFBE.(全等三角形对应边、加相等)又,；ZACB=ZA1.1.C.ZDBC=ZCH+ZA,ZFHC=ZABC+ZA.AC=AB,NDBC=NFBC.：.AB=BF.又.BC为ARDC的中线,.AB=BD,即BF=BD.BF=BD.在ZJiFCB与ADCB中，ZFfiC=ZDfiC.BC=BC,：.FCBDCB（SS）.CF=CD.即CD=2CE.（2） .作以角平分线为对称轴的口断交换构造全等三角形2,：如下图，在AABC中，ZC=2ZB,/1=/2.求证：AB=AC+CD.【答案与解析】证明：在AB上极取AE=AC.AE=AC（已作），在AAED与AACD中
8、.Z1.=N2（已知），八D=A0（公用边），AEDiACD（SAS）.：.ED=CD.NAED=NC（全等三角形对应边角相等）.又，：C=2BZAEI）=2ZB.由图可知：ZAED=ZB+ZEDB,2ZB=ZB+ZEDB.ZB=ZEDB.BE=ED.HPI1.E=CD.：.AB=AE+BE=AC+CD(等於代换).【总结升华】此卷图形筒单，结论发朵，看似无从E手，结合图形发现ABAC故用校长朴短法.在AB上截取AE=Ae这样AB就变成了E+BE.WjAE=AC.只需证BE=CD即可.从而把AB=AC+CD转化为证两规段相等的何处.举一反三：【变式】如图，AD是AABC的角平分建，H,G分别在
9、AC,AB上,且HD=BD.(I)求证：/B与/MD互补：假设B+2DCA=18O,请探究线段AG与线段AhHD之间满足的等值关系，并加以证明.【答案】证明：（1）在AB上取一点比使得AM=AK连接DM.VNCAD=NBD,AD=AD.HD5A.MD.HD=MD.ZAHD=ZAMd.VHD=DB1：.DB=MD.：.ZDMB=ZB.：ZAM1.)+ZDMH=1.80o.ZAIID+ZB=180.即NB与NAHD互补.(2)由(1)ZAHD=ZAMd,HD=MD1ZAHD+ZB=180.VNB+2NDG=180.：.AHD=2DCA.,.ZAMI)=2ZI)GM.：ZAMD=ZDGM+ZGDM.
10、：.2ZDGM=ZDGM+ZGDM.：.ZDGM=ZGDm.MD=MG.；.IID=MG.：AG=AY+MG,：.AG=AH+HD.（3）.利用长Oe补短）法作构造全等三角形3、如下图，AABC中ABA3RD是NBAC的平分线，M是AD上任意一点,求证：MB-MCAC.所以可在AB.截取纹网AE=AC.这时BE=AB-AC,如果连接EM.在ABME中，显然仃MBMEAC,那么在AB上截取AE=Aa连接ME.在AMBE中，W1.-MEVBE（三角形两边之差小于第三边）.在AAMCi1ME中，AC=AE（所作），-NatM=N4M（角平分线的定义），AM=八何（公共边），：*AMCAME（SAS）
11、.：.MC=ME（全等三角形的对应边相等）.又，；BE=AB-AE.BE=AB-AC,MB-MCAC,求证：AR-AOBD-DC【答案】证明：在AB上放取AE=AC,连结DEYAD是ABC的角平分线.ZBAD=ZCD在AAED与AACD中AE=ACZBAD=ZCADAD=ADAED,M）C（SAS）ADE=DC在ABED中,BEIJD-DC即AB-AEBD-DC/.AB-AOBD-DC（4）.在角的平分H上取一点向角的两边作基线段1、如下图，E为正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且NDAE=NFAE.求证：AF=AD+CF.在R1.ME与RtADE中,AE=A（公用边）,DE=ME（
12、已证）,【国JS点拨】四边形ABQ）为正方形，那么ND=90.而NDAE=NFAE说明AE为NFAD的平分跳，按常规过用平分线上的点作出到角两边的距离,而E到AD的距肉已有，只需作E到AF的距离EM即可，由角平分或性质可知ME=DE.AE=AE.Rt仙E与RtZXADE全等有AD=AM.而跑中要证AF=RD+（K根据图知AF=M+MF.故只需在MF=FC即可.从而把证AF=AI）+CF转化为证两条规段相等的问SS.答案与H折证明：作YE1.AF于M,连接EF.：四边形ABCD为正方形.：.ZC=ZD=ZEMA=90*.又；NDAE=NFRE,.AE为NFAD的平分战，ME=DE.,.RtAME
13、5RtADE（H1.）.：.AD=AM（全等三角形对应边相等）.又YE为CD中点.：.DE=EC.MK=EC.在RtZkEMFRtECF中.ME=CE（已证），EF=M（公用边）,RtBF5RtECF（HI.）.MF=FC（全等三角形对应边相等）.由图可知：AF=AM+MF,.RF=AD+FC（等量代换）.【总结升华】与角平分筏有关的轴助莲：在角两边裁取相等的线段,构造全等三用形：在知的平分线上取一点向角的两边作垂戏段.C5、如下图,在AABC中.AC=BC./ACB-90。.D是RC上一点.且E垂直BD的延长线于E.AE=-BD.求证：BD处/ABe的平分规.2【答案与解析】证明：延长AE和
14、BC,交于点F,VAC1.BC.BEAE.ZADE=ZBDC（对顶角相等）,：.NED*NADE-NCB山ZBDC.RBNEAgNCBD.RtACF和RtBCD.ACF=1.BCD=90（已知）.AC=BC（已知），ZfiXC=ZCfiD（BiI）.所以RIAACFiSR1.ABCD（ASA）.那么AF=BD（全等二角形而应边相等）.;AE=1.Bi）,/.AE=Iaf,22即AE=EF.在R1.BEA和RtZiBEF中.AB=EF（已正.ZXAB.NFEB=90*（已知），88=8（公共边），那么RtABERgRtABEF（SAS）.所以/ABE=/FBE（全等三角形对应角相等），即BD是NABC的平分战.【总结升华】如果由他目无法直接得到三角形全等，不妨试
