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1、抛物线与其性质1.抛物线定义：平面内到肯定点F和一条定直线/的距离相等的点的轨迹称为抛物线.2.抛物线四种标准方程的几何性质：图形市参数P几何意义参数P表示焦点到准线的距离，P越大，开口越阔.开口方向右左上下标准方程y2=2px(pQ)y2=-2PX(P0)X22py(p0)X2-2py(p()焦点位置X正X负丫正丫负焦点坐标(fo)（-。）2（。段2(o.-9准线方程X=-P2r=2I2T范围xO,yeRx0.yeRy0.xeRy0,.ve?对称轴X轴X轴丫轴丫轴顶点坐标(0.0)离心率e=1.通径2p焦半径A(,y,)=再+与AF-V1+yf=+AF=-V1+,1.2焦点弦长网(X1.+X
2、2)+P-(X1.+,)+(y1+y,)+p-G;+/)+p椭圆与双曲线都有两种定义方法,可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的全部点的集合.其离心率e=1.这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中由于这个美妙的1.既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.例1P为抛物线/=2内上任一点，F为焦点，则以PF为宜径的圆与y轴()A相交8相切C相离。.位置由P确定【解析】如图，抛物线的焦点为准线/：X=_作PH4于4交y轴于Q,那么Ia1.=IW,且Q=OF=g作MN1.y轴于N则MN是梯形PQOF的中位线,Mv|=:(|OFj+|PQ|)=；|PI=扣用故以PF为直径的
3、圆与y轴相切，选B.【评注】相像的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的.(2)焦点弦常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，很多都与它的焦点弦有关理解并驾驭这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例2过抛物线=2H/Ao)的焦点F作直线交抛物线于A(.y).8(0)两点，求证：【证明】对方程N=2px两边取导数：2)W=2p,.=2切线的斜率a=,f=，.由点斜式方程：y-yn=-(-,)=,+,11.Vo=2pv代入(1)即得：y0y=p(+x0)(4)定点与定值抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在很多不不易发觉，却简洁为人疏忽的定点和定值.驾驭它们，在解题中常会有意想不到的收
4、获.例如：1.一动圆的圆心在抛物线/=8X上,且动圆恒与直线x+2=0相切，则此动圆必过定点()1.(4,0)A(2,0)C(0,2)D.(0,-2)明显.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点.选B.2 .抛物线f=2px的通径长为2p；3 .设抛物线炉=2过焦点的弦两端分别为A(N.工).3(占，2),那么：y1.yj=-r以下再举一例【例4】设抛物线=2PX的焦点弦AB在其准线上的射影是AH,证明：以AB为直径的圆必过肯定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径,那么AB=AB=2p,而AB与AB的距离为P,可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对
5、AB的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为Aa,)，,),巩孙乃)，那么：y%=-n6c周=IyIIyJ=P1.设抛物线的准线交X轴于C那么ICH=.1.对中IC斤=6C3j.“皿=90。.这就说明：以AA为直径的圆必过该抛物线的焦点.通法特法妙法(1)解析法为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去探讨几何.所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题(如对称问题等).【例5】(10.四川文科卷.10题)已知抛物线y=-x23上存在关于直线xy=0对称的相异两点A、B,则IAB1.等于(C.32D.4i【分析】直线AB必与直线x+y=O垂直，且线段I&AB的中点必在直线x+y=O上，因
6、得解法如下.【解析】点A、B关于直线x+y=O对称，.设直线AB的方程为：y=x+由!)a：加nY+j-3=0(1)Iy=-X-+3设方程(1)之两根为X1.Xz,则x+0=T设AB的中点为M(Xo,y),则小=土=-；代入x+y=Qy。=；.故有M从而m=y-x=1.直线AB的方程为：y=x+.方程(1)成为：/+k-2=().解得：X=-2,1,从而y=T2,故得：A(-2,-1),B(1.2).AB=32,选C(2)几何法为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避开的繁杂计算,这又使得很多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们探讨出多种使计算量大幅度
7、削减的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.【例6】（11.全国1卷.11题）抛物线X的焦点为准线为/,经过且斜率为3的直线与抛物线在工轴上方的部分相交于点41.AKII1为K,则ZXAKF的面积（）A.4B.33C.43D.8【解析】如图直线AF的斜率为时乙AFX=60。AFK为正三角形,设准线/交X轴于M1则IBWI=P=2,且乙KFM=60。，A|KF|=4,SAm=4-=4J.选C.【评注】（1）平面几何学问：边长为a的正三角形的面积用公式&=计算4（2）本题假如用解析法，需先列方程组求点A的坐标.，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简洁.（3）定义法追本求真的
8、简洁一着很多解析几何习题咋看起来很难但假如返朴归真，用最原始的定义去做，反而特殊简洁.【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线c,c-=o.）的左准线为八左焦点和右焦点分别为6和死;抛物线G的线为/,焦点为心G与G的一个交点为的，则煦-黑等于（）IMIIMFJA.-1B.IC.-D.-22【分析】这道题假如用解析法去做.计算会特殊繁杂，而平面几何学问又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去找寻出路吧.如图.我们先做必要的打算工作：设双曲线的半焦距C,离心率为e,作MHItTH,令MF1.=ri,M=4Y点M在抛物线上，MH-Mftg这就是说：寓的实质是离心率e.IM以I其次隔与离心率e有什么关系？
9、留意到：忻用=2c=.2=e(i+4)=JIIME1.4Ie)这样，最终的答案就自然浮出水面了：由于黑-黑=（e-1.）+e=-1.选A.IAfr1.1.IMr21（4）三角法本身也是一种解析三角学隐藏者丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较简洁地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后依据各种三角关系实施“九九归一达到解题目的.因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱逆境，简化计算.【例8】（09.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a直线经过抛物线V=8、的焦点F,且与抛物线交于4两点。(I)求抛物线的焦点F的坐标与准线/的方程；(II)若a为锐角，作线段28的垂直平分
10、线用交MX轴于点只证明IFPI-IFPcos2a为定值，并求此定值。【解析】(I)焦点F(2,0),准线/;x=-2.(II)直线AB：y=tana(x-2)(1).X=二代入(1),整理得：yitaa-8y-16tana=0(2)8_8设方程之二根为nV则Xf=tana.,y1yj=-16v一用+及-4设AB中点为M(M,汽),则2tana.V0=COta儿+2=4cota+2AB的垂直平分线方程是：y-4ta=-coia(.v-4cora-2).令y=0,则X=4ca%+6,有P(4cca+6.0)故Im=IOPIToF1.=4cota+6-2=4(co1.a+1)=4cos，a于是IFP
11、ITFP1.COS28=4csa(8s2a)=4csca2sia=8,故为定值.(5)消去法合理减负的常用方法.避开解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得举荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的不战而屈人之兵”.【例9】是否存在同时满意下列两条件的直线/：(1)/与抛物线N=8有两个不同的交点A和B；(2)线段AB被直线乙：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线/的方程.【解析】假定在抛物线V=8X上存在这样的两点Ag.yj,B(xi,)，J则有：H)Gf)=8(f)*=e=r线段AB被直线：x+5y-5=0垂直平分，且勺=-!，,.=5,即
12、厂J=55(X+H)8=y1+y2=-设线段AB的中点为M(.%1).则郎=与a=:代入x+5y-5=O得X=1.于是：AB中点为Ad1.ti故存在符合题设条件的直线，其方程为：.Y=5(X-1),ip125x-5.y-21=0(6)探究法奔向数学方法的高深层次有一些解析几何习题,初看起来好像“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探究规律，不断地猜想证明再猜想再证明最终发觉“无限【例10】(10.安徽卷.14题)如图，抛物线y=+1.与*轴的正半轴交于点4将线段的等分点从左至右依次记为月,月,凡过这些分点分别作X轴的垂线,与抛物线的交点依次为Q.从而得到-1个直角三角形AQO月，Q月月,，XQ八P八P八、当一8时，这些三角形的面积之和的极限【解析】:OA=1,图中杼个直角三角形的底边长均为工设。A上第k个分点为外我代34.第k个三角形的面积为F=小M-I)-1+2:+(j-I)_(/1-1)(4/1+1)故这些三角形的面积之和的极限s=!叫笔算h1.M小+H
