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1、1 .单调函数的定义增函数减函数定义一般地.设函数/(*)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间D上的任意两个自变量r1.*、.I当A弓),那么就说函数在区间O上是减函数2 .单调性、单调区间的定义若函数江力在区间2上是增函数或减函数，则称函数/(力在这一区间上具有(严格的)单调性，区间。叫做丹力的单调区间.留意关于常数单调性的定义应留意哪些问题？(1)定义中禹，舄具有随意住，不能是规定的特定值.(2)函数的单调区间必需是定义域的子集；(3)定义的两种变式I设随意a.同且a0oCr)在&6上是增函数；Gi-Ji)/(汨)-)O-r)在Iat2上是减函数.单调区间的表示留意哪些问题？单调区间只
2、能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“U”联结，也不能用“或”联结.学问点二单调性的证明方法：定义法及导致法(1)定义法：利用定义证明函数单调性的一般步骤是：（Dtt取莅、&wd,且水小作差ZCrJ-t）,并适当变形.（“分解因式”、配方成同号项的和等）,依据差式的符号确定其增减性.（2）导数法：设函数y=A力在某区间D内可导假如fo,则*力在区间。内为增函数；假如f,（力)上为增函数幽)A.y=1.x+IB.y=Cr-1)，C.y=2D.y=1.ogo.(x+1.)答案：A.例2.推新函数ZCr)=惜在(-1,+8)上的单调性,-TT1.并证明.法一
3、I定义法设TGr,则ZCr1)-f(3=等一等X1.-12i1_ax一+1-a苞+1与+1Ja1._a且二房2i1.Ja+1 一1水小jri-Ji0. 当a0时，/tri)一/(面0,即fCii)o,即i)ji) 函数尸爪力在(-1,+8)上单调递减.法二I导致法1 .推断函数的单调性应先求定义域；2 .用定义法推断(或证明)函数单调性的一般步骤为：取值一作差一变形一判号一定论，其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等：3 .用导数推断函数的单调性简洁快捷，应引起足够的重视(二)求复合函数、分段函数的单调性区间例1求函数尸1.11一足的单调埔区间)U(3,又=y-4+3的图s的对称轴为
4、1.2,且开口向上，.=V-4x+3在(-8,1)上是减函数，在(3,+8)上是增函数.而函数y=1.ogU在(0,+8)上是减函数，3.y=1.og1.(，一4升3)的单调递减区间为(3,3),单调递增区间为(-8,1).留意1求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间.(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.(3)图象法：假如爪力是以图象形式给出的，或者/Cr)的【规范解答】V函数FCr)=IogtH=JE(1,+8)上为增函数，且f(2)=0,当汨(1,2)时，x1)2)=0,即ZCrJ(3a)的解集为OA.(2,6)B.(-
5、1,4)C.(1,4)D.(-3,5)【规范解答】作出函数f(力的图象,如图所示，则函数力在R上是单调递减的.由A-4)f(3a),可得才一43&整理得d3a40,即（a+1.）（a4）0,解得一12例1.已知函数r（x）=Sy满意对随意-,x2的实数曷及，都有成立，则实数a的取值范围为O(-8,2)B.13【规范解答】函数式力是R上的减函数,fa-20,由此解得于是Ta-22()-1,.即实数a的取值范围是(-8,I例2.(1)(补充)假如函数j=加+23在区间(-8,4)上单调递增，则实数a的取值范围是答窠一；，04解析当a=0时，/W=21.3,在定义域R上单调递增，故在(一8,4)上单
6、调递增；(2)当a0时，二次函数f(x)的对称轴为直线X1=一因为fCr)在(-8,4)上单调递增，所以水0,且一;24,解得一;Wa0,则由fCr)=O得X=1.2a,当jK-yj2a和“区时，f,(x)0,f(x)单调增，当一而)10、设函数/(*)=-(x)X-a(2)若0且/(x)在区间(1,W)内单调递减,求。的取值范圉.答案:1,+)(五)抽象函数的单调性例1.(补充)已知力为R上的减函数，那么满意A1.1.)1,则II1且JTO,即x(-1,0)u(o,1).练习Iy=/(x)是定义在T,1.上的增函数，解不等式f(1.-x)0.j0都有/()=/(*)-/仃)，当*1时，有/(%)。(1)翥/的值：(2)推断八X)的单调性并加以证明；(3)若/(4)=2,求八X)在1.I6上的值域.答案:单调i),4留意；有关抽象函数单调性的证明通常立足定义练习:函数/(x)的定义域为(O,+oo),且对一切r,yeK都有f()+(y)=(+y),当0时，有/(x)O(1.)=-.求证：/(X)在R上是减函数：求人X)在-3,3上的最大值及最小值.答案：2:-2
