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1、(I)定义：假如对于函数AO定义域内的Bfi意X都有/-x)=-Kr),则称*)为奇函数：假如对于函数/U)定义域内的随意.V都有,A-x)=(),则称人灯为佃区数，假如函数凡D不具有上述性质，则At)不具有鱼但旌.幄如除数同时具有上述两条性质，则/U)既是奇函数，又是俄函致，留意函数是奇函数或是照函数称为函数的奇偶性,函数的奇隅性是函数的整体性痂：0由函数的奇偶性定义可知，函数具彳f奇隅性的一个必要条件是，对于定义域内的随意一个X,则一X也片定是定义域内的一个自变地(即定义域关于原点对称r(2)利用定义推断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域,弁推断其定义域是否关于原点时称；O确定X-
2、功与Kr)的关系：作出相应结论：若1.-x)=x)或火一幻一Kt)=O.则凡r)是信函数：若1-X)=-U)或A-X)+Kr)=0.则/U)是奇函数。(3)简沽性侦：图象的对称性麻：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称：一个函数是隅函数的充要条件是它的图望关于轴对称：设/（八）,K(X)的定义域分别是D,.D,那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇X奇=俄，隅+供=佚，ifS=fS.奇X偶=奇既是奇函数乂是偶函数的行多数个一、典型例题(-奇偶性的推断和证明例1.推断下列函数的奇偶性(1) /(x)=x,+-(2)/(x)=x2/*)的定义域为T,I1.关于,原点不对称，且/(K)
3、=OVf(-x)=-f(.x),f(-x)=f(x).(r)既是奇又是偶函数(二)利用函数奇偶性求函数解析式例2已知函数/(x)是定义在R上的奇函数,当x()时*.r)=2+J7求八X)分析：函数/(M是定义在R上的奇南数，所以的沽得出/(0)=0,而对于XVo部分的函数解析式应当依据奇函数的性而求的.解：.函数是定义在R上的奇函数.f(-x)=-f(x).(0)=-(0),BP()=0若x0.f(-x)=(-)2+0=7：f(-X)=-f(X).,./(x)=-f(-x)=-X1+ixX2+/7综上得/(x)=-+7()利用函数的奇偶性探讨函数的单词性例3.已知baO.佃函数F=/(x)在区
4、间-,”上是增函数。问：函数),=/*)在区则。向上是增函数还是减函数？解：设Xx2A则一方-x2-xt-a.f(x)在区间f,H上是增函数，/(-X2)/(-AT1).又因W(X)是偶函数，/(-Xj=/(-t1)(-2)=f(xi),:.f(,x2)f(x1.).J(x)在ab上是减函数.说明：由函数的单调性和奇偶性的定义可以证明：在关于原点对称的两个区间上，隅函数的单调性是相反的.奇函数的单词性是相同的.(四)利用奇函数偶函数的图像解SS例4.设行函数/(X)定义域为-5,5,若当xw0,53/(x)的图像如图所示.求不等式f()啪解集.解:./(X)为奇函数，定义域为-5,5,./(X
5、)的图像关于原点对称.(x)(H.-2x011Jc2x5即不等Kr(K)。的解集为x-2VXVO或2.t5(K)构造奇函数域偶函数解题己知/(x)=X5+Zw-8,g(-2)=10,/(2)的值.解：令g(x)=()+8=+r,+bx,则g(x)是一个奇函数,所典(-2)+g=0又因为(-2)=/(-2)+8(D,g(2)=(2)+8曲+得/(-2)+8+/(2)+8=0V/(-2)=10./(2)=-26(六)有关函数奇偶性的淙合问SS例6.己知函数/(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=(x-1.)+(3-2x)(1)求函数g(x)的定义域(2)苟(x)为奇函数，并且在定义域上单调递
6、减，求不等式g(x)第J解集解：U)由题意可知-2x-1.2-23-22-I(22解得;*，故函数月Cr)的定义域为(；)2222(2)由g(x)O副d)+f(3-2x)O(x-1)-(3-2x)./(x)为奇函数,./(x-1.)(2r-3)而(制定义城上单调递减X-12x3.15解得Zx2-.v-2122二不等趣(X)So的解集为(1,2|二、课堂练习：1 .推断下列函数的奇偶性(1) /(x)=x-2+2(2)/(x)=x-2-x+22已知函数制的图像关于原点对称，并且当x（m,/（x）=x2-2x+3,试求/*）在R上的表达式，（补：画出它的图像与它的单调区间）3 已知Hx）是奇函数,
7、在（0,P）上是增函数,求证：f（x）在（-00.0）上也是增函数4 .设fx在R上是信函数，在区间（口，0）上单调递增，并且有/(2-+1.)O)2 ./()=OCv=O),图略，单调增区间为(-8,1W,+),单调减区间为-xi-2-3(x0,(0,1)3 用4.0a3三、回家作业I1 .函数y=2(x-my=Xx+4y=y=中即非奇函数也非偶X函数的()a、GXDB,c、(Dd、2 .若f(x)=(n-1.)x1+2三x+3(xR)为偶函数，那么在(0,+内f(x)是()A.增函数B.部分是增函数，部分是减函数C.减函数D.不能确定增减性3 .下面四个结论：偶函数的图象肯定与y轴相交：奇
8、函数的图象肯定通过原点：偶函数的图象关于y轴对称：既是奇函数、又是偶函数的函数肯定是f(x)=OCrw网.其中正确的命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个4 .设Qa弼X的取值范围是10 .己知函数f(x)是R上的奇函数，/(X+2)=/().且当OWXW1.时，fix)=X.则/(7.5)=.11 .己知定义在区间(-I,I)上的函数/(x)既是布函数乂是诚函数，试求不等式-2)+/(3-2x)9、1.x1.10、-0.511、解：；/*2-2)+/(3-2外0.二/。2-2)/(21-3).-1i-21得：-1.3-2x2x-3:,不等式/(x2-2)+/(3-2a)0的解集为：(I,3).
