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1、函数的基本性质基础学问：（1）定义：假如对于函数人0定义域内的以!意X都有;（一XA-U）,则称v）为奇函数：假如对于南数t）定义域内的随意X都有步一A）d,则称凡6为供函数假如函数HX）不具有上述性质,则Wx）不具有奇偶性.效如函数同时具有上述两条性防.则KX）既是奇函数,又是偶函数.”，奴是寄函M是I1.函敷去为皴的奇*性，St的奇性是西敷的岭性H，由ft的奇在定义可知.败m性的一个图央条件是，对于定义域内的意“育HJ1.J义城内的一个切（即Jt义”关于原点对，o.（2）利用定义推断函数奇偶性的格式步臊：首先确定函数的定义域，并推断其定义域是否关于原点对称：确定;（一外与/U）的关系：f乍
2、出相应结论：若1.-）=A或Jrt-X）-TU）=0,则/（）是偶函数：若1.-）=-U）或1.-）+Kr）=0,则/U）是奇函数，（3）陆洁性旗：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称：个雨数是偶函数的充要条件是它的图拿关于手轴成轴对称：设/（x）g（x）的定义域分别是。.2那么在它们的公共定义域匕奇+奇=奇，奇X奇=偶.偶+偶=偶，隅X偶=偶,奇X偶=奇2 .单性（I）定义：一般地，设函数H）的定义域为1.假如对于定义域I内的某个区间。内的K1.位两个自变瓜M.Q当XH时.都有UKt,数的单性是在定义域内的某个区M上的性J1.是,数的局部性X，如是对于区同”
3、内的意两个自光盘断X”当*5%总有U,Mm（2）假如函IftFMX）在某个区间上是地场数或是犍函数，那么就说函数yK）在这一区间具有（严格的）单词性,区间。叫做尸见。的单调区间.（3）设复合函数.V=ZIg（X）,其中M=g（X）.A是.v=/Ig（X）定义域的某个区间，B是映射g:X-W=Rg的象集：若u=g（）在A上是增（或减）函数.严加,）在8卜.也是增（或减）函数.则函数产/Ig（）在4上是增函数：着M=g(x)在A上玷增(或减)函数,而产加在8上是M(或增)函数,则函数严.心(刈在八上是减函数。(4)推断函数单词性的方法步臊利用定义证明函数八外在给定的区间。上的弟Wi性的一般步骤：任
4、取即，4亡。，F1.nv2:作差人修)一HX2：变形(通常是因式分解和配方)；定号(即推断差TU。一人3的正负)：下结论(即指出函数贝处在给定的区间D上的单调性.(5)简洁性侦奇函数在其对称区间上的单调性相同：隅函数在其对称区间上的单两性相反：在公共定义域内：增函数/(x)+增函数g(x)是增函数：然函数/（八）+减函数以刈是减函数：增函数/(K)一M函数g(x)是增函数：M函数/5)一剧函数g(x)是减函数。若函数y=/(x)是偶函数.则/(.V+)=(-):若函数y=f(x+。)是偶函数.则fx+)=f(-x+).3 .函数的周期性假如函数y=f(x)对于定义域内说!意的X,存在一个不等于
5、O的常数T,使得f(x+T)=f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.性旗，敢如T是函数f(x)的周期，则kT(kN)也是Rx)的周期.若周期函数/U)的冏期为T则/(5.5)B./(1)0,求实数，的取值范围。7 .已知函数/(x)的定义域为N,且对的意正整数X,都有/(X)=/(X-I)+/(x+I).若/(0)=2004,求/(2004)。习题：题型一：推断函数的奇偶性1 .以下函数：(1”1.0)：(2)=+1.:(3)y=2i(4)=1.ogjX:(5)Xv=iog,(+77i).(6)/(0=i2-:其中奇函数是.偶函数是，x+2-2非奇非偶函数是02 .已知
6、函数八外=,一|+,+1,那么/(x)是()A.奇函数而非偶函数B.偶函数而非奇函数C.既是奇函数又走偶函数D.既非奇函数也非供函数黑型二：奇偈性的应用I.已知便解数/(X)和奇函数g(x)的定义域都是(-1,4),它们在(-4,0上的图像分别如图(2-3)所示，则关于X的不等式/(x)g(x)v的解集是.2,已知/(x)=+*+t+小+5，其中a.b.c.d为常数，若/(-7)=-7.则/(7)=3 .下列函数既是奇函数，又在区间卜I上单调递M的是()A./(x)=sinXB./()=-x+1C./(x)=-(a,+)f(x)=In，4I4 .已知函数y=(x)在R是奇函数，且当x20时，f
7、(x)=x2-2x,则XVO时，/*)的解析式为，5 .若/(x)是偈函数,且当XW0,+)时，幻=一1.则/(*一1)0的解集是()A.-1x()B.x0或1.x2C.0x2D.t1.x2H型三：推断证明函敷的单性1 .推断并证明/(X)=乌在(0,+8)上的单调性.r+12 .推断fx=-2x2+2a-Iffi(-.0)上的单调性题型四，函数的单调区间1 .求函数y=1.og1.1.-,(.r-3x+2)的单调区间”A.y=X2-4a+8B.y=v+3(0)2 .卜列函数中，在(一8.0)上为增函数的是-x,+bx-7在R上单诩递增.则实数&Z肯定满意的条件毡()A.a-30C.a-3b=
8、0D.-3ZgMF+5.r+4)妾0,f1.三周期问题1 .奇函数/(*)以3为最小正周期，/(1)=3,则/(47)为()A.3B.6C.-3D.-62 .设人力足定义在R上以6为周期的函数，在(0,3)内单调递增,H,b(r)的图象关于直线X=3对称.则下面正确的结论是()A.1.5)3.5)6.5)B.3.5)(1.5)6.5)C.6.5)3.5)1.5)D.f(3.5)6.5)1.5)3已知f(x)为儡函数,旦/(2+)=/(2-X),当一2X0时J(X)=2,则f(2006)=()A.2006B.4C.-4D.-44 .设f(x)是(T,+)上的奇函数，/(X+2)=-/(X).当0XI时，f(x)=X,则/(47.5)等于5 .己知函数f(x)对随.在实数X.都有Rx+m)=-f(x).求证:2m是f(x)的一个周期.6,己知函数f(x)对瓯立实数X.都有f(m+x)=f(m-x),且Rx)是偶函数.求证:2m是f(x)的一个周期.7、函数NX)是定义在R上的奇函数,且f(-1.)=3.对Rfi意的WR,均有f(+4)=f(x)+K2).求“20()1的曲
