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1、双曲线的几何性质教学目标（一）知识与技能1、了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率。2、理解双曲线的渐近线。（二）过程与方法通过联想椭圆几何性质的推导方法，用类比方法以双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质，从而培养学生的观察能力、联想类比能力。（三）情感态度与价值观让学生充分体验探索、发现数学知识的过程，深刻认识“数”与“形”的关系，培养学生勇于攀登科学高峰的精神。教学重点难点双曲线的渐近线既是重点也是难点。教学过程（一）复习提问引入新课1 .椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？2 .双曲线的两种标准方程是什么？下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质.（二）类比联想得出性质（范围、对称
2、性、顶点）引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格懂IS方程-+-l(abO)22Xy一一l(t0b0)a2k2aOb、C关系Cju%b0)cl-lX0b0)图形范国Ma，y1bMayR对称性对新轴：X轴.y对廊中心：原点对脓轴：X轴.y轴对彝中心：原点顶4(0)(a0)(0,%)，(0b)长轴力2短轴力(40)(a,0)实地力2a虐输力Jb(三)渐近线双曲线的范围在以直线y=2和y=-2为边界的平面区域内，那么从X,yaa22f的变化趋势看，双曲线5-与=1与直线y=2具有怎样的关系呢？aba根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线y=gx的关系。双曲线在第一象限的部分可写成：y
3、=Jxi-a3(xa)a图2-26设M(X,y)是它上面的点，N(x,7)是直线y=R上与M有相同a的横坐标的点，y=-x.ab/-j2b(b.y=x-axJl-I=y.aaI；a.,.MN=y-y(x-x2-a2)-aa(x-J*-a)(x+Jw-J)x+x3-aaabx+&-a-设IMQl是点M到直线y=2的定离，则有IMQMN.a当X逐渐增大时，IMNl逐渐减小，X无限增大，IMNl接近于零，IMQl也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON.在其他象限内也可以证明类似的情况.我们把两条直线y=2叫做双曲线的渐近线.a现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近
4、线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在X轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字了北2b母对调而得，所以，双曲线%看=1的渐近线的方程是=gy即y=atbX，定义，宜线y=2叫像双曲线=1的渐近线；直线y=Raaba叫做双曲线.旨=1的渐近线.这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精确地画出双曲线.施口画双曲线=先作渐近线y=2x2316J再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线.(四)离心率由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响
5、:1 .双曲线的焦距与实轴的比U=E叫俅双曲线的离心率，且el.a2 .由于产m=gHGTL所以越大，;也越大，即渐近线y=;X的斜率绝对值越大.这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔.这时，指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变.（五）例题讲解例1已知双曲线的焦点在X轴上，中心在原点，如果焦距为8,实轴长为6,求此双曲线的标准方程及其离心率.解：由已知，得2c=8,2a=6,因此c=4,a=3,b2=7所以双曲线的标准方程为=197离心率是e-a3例2求双曲线162-9y2=
6、144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。例3双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图它的最小半径为12根，上口半径为13加，下口半径为25机，高为55m.试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到0.1加）.(六)课堂练习1 .已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程.(l)16x2-9y2=144;(2)16x2-9y2=-144.2 .求双曲线的标准方程：(1)实轴的长是10,虚轴长是8,焦点在X轴上；(2)焦距是10,虚轴长是8,焦点在y轴上；(3)离心率e=呢，！甜点M(5,3)2 9(4)两条渐近线的方程是y=gx,经过点M；,1).3 .求以椭圆1+2=1的焦点为顶点，而以IfIi圆的顶点为焦点的双o3曲线的方程.
