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1、双曲线的几何性质一、教学目标（一）知识教学点使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征.（二）能力训练点在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力.（三）学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题.二、教材分析1 .重点：双曲线的几何性质及初步运用.（解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明.）2 .难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证.（解决办法：先引导学生观察以原点为中心，2
2、a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线.）3 .疑点：双曲线的渐近线的证明.（解决办法：通过详细讲解.）三、活动设计提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结.四、教学过程（一）复习提问引入新课1 .椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？请一同学回答.应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的.2 .双曲线的两种标准方程是什么？再请一同学回答.应为：中心在原点、焦点在X轴上的双曲线的标准方程为捺L中心在原点，焦点在曲上的双曲线的标柱方程为y2/下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质.（二）类比联想得出性质（性质13）引导学生完成下列关于椭圆与双曲
3、线性质的表格（让学生回答，教师引导、启发、订正并板书）.见下页（三）问题之中导出渐近线（性质4）在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计陋的形状，画出幽的简图都有很大作用.试问对双曲线/=1,仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形（板书图形），那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图（图2-26）有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想.接着再提出问题：当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？谓一学回答,应为y=B并画出两条对角线,进一步引导学a生从图观察得邺吉论，双曲线。=1的各支向汨1伸时，与这两条渐近线逐渐接近.
4、下面，我们来证明它:双曲线在第一象限的部分可写成:y=Jx?a(xa)a设M(x,y)是它上面的点，N(x.7)是直线y=X上与M有相同a的横坐标的点，贝g=B.,.IMNl=9-y(x-2-aa)aa(x.x3-aa)(xxj-a1)xxa-aaabx+7x3-a3设IMQl是点M到直线y=%的距离,则有IMQa.4确地画出双曲线.颂5画双曲线33=1,先作渐近线y=2x,23163再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线.（四）顺其自然介绍离心率（性质5）由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：1 .双曲线的
5、焦距与实轴的比e=叫俅双曲线的离心率，且】.a2 .由于悖=PME所以触大，）也越大,即渐近线y=RX的斜率绝对值越大.这时双曲线的形状就从扁狭逐渐a变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔.这时，教师指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变.（五）练习与例题1 .求双曲线9y276x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.请一学生演板，其他同学练习，教师巡视，练习毕予以订正.解，把方程化为标准方程号。=1.由此可知，实半轴长a=4,虚半轴长b=3.c=5a2+ba=+3=5.焦点坐标是
6、（0,-5）,（0,5）.离心率为7aA渐近线方程为x=gy,即y=g2.点M(xy)到定点F(c,0）的定高和它到定直线X=L的距离的比是常数（）（ca0）.a求点M的轨迹（图227）.本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结.解：设d是点“到直线】的距离，根据题意，所求轨迹就是集合:P=(M曜=.aIXela化简得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).设CLM=b就可化为，=1.这就是双曲线的标准方程.由此例不难归纳出双曲线的第二定义.（六）双曲线的第二定义1 .定义（由学生归纳给出）平面内点M与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数e:（el）时,这个点M
7、的轨迹是双曲线.定点是双曲线的焦点,定宜线a叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.2 .说明(1)对于双曲线4=1，相应于焦点Fa0)的准线方程是aDc根据双曲线的对称性，相应于焦点F，(v,0)的准线方程是x=二.c(2)对于双曲线，W=L相应于焦点F。C)的唯线方程是y=：,a?陲十F,(0,c)&城线*y=L.c(七)小结(由学生课后完成)将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结.五、布置作业1 .已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程.(I)16x2-9y2=144:(2)16x2-9y2=-144.2 .求双曲线的标准方程：实轴的长是10,虚轴长是8,焦点
8、在X轴上；(2)焦距是10,虚轴长是8,焦点在y轴上；(3)离心率=应，t点M(5,3)2Q(4)两条渐近线的方程是y=gx,经过点M；,1).3 .求以椭圆(的焦点为顶点，而以1圆的顶点为焦点的双OJ曲线的方程.4 .己知双曲线M4=1上的P点到左焦点的距离等于3求P45点到两准线及右焦点的距离.作业答案:541.(I)Fj(-5,O),F2(5,0),e=-渐近线方程为y=qx54(2)(l)F1(0,-5),F3(0.5).=-.渐近线方程为y=gx4.P点到左港线的距离为2,到右准线的距离是与，到右焦点的距离为7六、板书设计2.12双曲处的几何懂历（一）复习提问12（二胜质13列表：三斶近嫉性质9（四）惠心机慢质,五总可与供飕12.六凉喇的第二定义谡后完成）
