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1、复变函数教学大纲一、复变函数课程说明（）课程代码：08130006（二）课程英文名称：FunctionsofComplexVariables（）开课对象：数学与应用数学本科、信息与计算科学本科学生（四）课程性质：考试复变函数是数学专业的一门专业必修课，又是数学分析的后继课。已经形成了超级系统的理论而且深刻地渗入到代数学，解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也有很多的应用。先修课程：数学分析，解析几何，高等代数，一般物理，常微分方程。（五）教学目的：通过本课程的教学和学习，使学生了解和把握解析函数的一样理论，同意周密的复分析训练，并为以
2、后从事教学，科研及其它实际工作打好基础。（六）教学内容：本课程要紧讲述解析函数的分析理论，级数理论和几何理论；要紧内容为复平面和复变函数，解析函数的初等函数及多值性问题，复函数的积分和调和函数，级数，留数理论及应用，保形映照等。（七）教学时数学时数：72学时分数：4学分教学时数具体分派:教学内容讲授实验/实践合计第一章复数与复变函数66第二章解析函数1212第三章复变函数的积分12考试214第四章解析函数的鼎级数表示法1212第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点88第六章留数理论及应用1212第七章保形映照88合计70272（八）教学方式教师课堂教学为主。（九）考核方式和成绩记载说明考核方式为考
3、试。严格考核学生出勤情形，达到学籍治理规定的缺课量取消考试资格。综合成绩依照平常成绩和期末成绩评定，平常成绩占40%,期末成绩占60%。二、教学大纲与各章的大体要求第一章复数与复变函数教学要点：通过本章的教学使学生初步使学生初步把握并熟悉复平面的基础知识和复函数的概念，把握区域和复数的各类表示方式及其运算，了解复球面的成立与球极投影，和复:变函数的概念与二元实函数的关系。1、使学生把握复数各类表示方式及其运算。2、使学生了解区域的概念。3、使学生了解复球面与无穷远点。4、使学生明白得亚变函数概念。教学时数：6学时教学内容：第一节复数一、复数域、复平面二、复数的模与辐角三、乘塞、方根、共枕复数第
4、二节复平面上点集一、平面点集的几个大体概念二、区域、约当曲线第三节复变函数一、复变函数二、复极限、复持续第四节复球面和无穷远点一、复球面二、扩充复平面上的几个概念考核要求：1、复数复数的各类运算、表示法和三角不等式（应用）2、复平面上点集平面点集的几个大体概念（领会）区域、约当曲线（领会）3、复变函数复极限、复持续（识记）4、复球面和无穷远点无穷远点（识记）第二章解析函数教学要点：1、明白得复变函数可导与解析的概念，弄清这两个概念之间的关系。2、熟练把握解析函数的C-R条件，能运用C-R条件判定函数的解析性。3、熟练把握和运用解析函数的求导与求导公式。5、熟练把握指数函数、某函数、三角函数的概
5、念和大体性质和简单映射性质。并会运用欧拉公式和复数的指数表示。5、把握各初等多值函数的概念和大体性质，了解其多值性。教学时数：12学时教学内容：第一节解析函数的概念与C-R条件一、复导数、复微分二、解析函数，C-R条件第二节初等解析函数一、指数函数二、三角函数三、双曲函数第三节初等多值函数一、根式函数二、对数函数三、一样暴函数四、一样指数函数考核要求：1、解析函数的概念与C-R条件复变函数可导与解析（领会）解析函数的C-R条件（应用）2、初等解析函数指数函数、基函数、三角函数（应用）3、初等多值函数各初等多值函数的概念和大体性质（识记）第三章复变函数的积分教学要点，1、把握复变函数沿一条逐段滑
6、腻曲线积分的概念，大体性质和计算方式，及其与实函数积分的关系。二、熟练把握柯西积分定理，能证明柯西积分定理。3、明白得解析函数在单连通区域内的不定积分概念。4、熟练把握和运用柯西积公式与高阶导数公式。五、把握柯西不等式、刘维尔定理、最大模原理，并能应用它们做一些较简单的证明题,了解摩勒拉定理。教学时数：12学时教学内容：第一节复积分的概念性质一、复积分的概念二、复积分的计算三、复积分的性质第二节Cauchy积分定理一、Cauchy积分定理二、不定积分三、Cauchy积分定理的推行第三节Cauchy积分公式及推论一、Cauchy积分公式二、解析函数的无穷可微性三、刘维尔定理第四节解析函数与调和函
7、数的关系一、解析函数与调和函数的关系考核要求：1、复积分的概念性质复积分（识记、领会、应用）2、Cauchy积分定理CaUChy积分定理（领会）不定积分（应用）3、CaUehy积分公式及推论柯西积公式与高阶导数公式（领会、应用）3.2刘维尔定理（领会）4、解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系（应用）第四章解析函数的幕级数表示教学要点:1、明白得复数项级数的大体概念，把握一致收敛性的判别法。2、把握靠级数的大体性质和求收敛半径的公式，明白得靠级数在收敛圆内的内闭一致收敛性与所概念函数的解析性。3、记住e，ln（l+z）,sinz,COSz和（l+z）”的累级数展开式，并能熟练的运用。
8、4、把握解析函数零点的孤立性定理和唯一的定理。教学时数：12学时教学内容：第一节复级数的大体性质一、复数项级数二、一致收敛的复函数项级数三、解析函数项级数第二节某级数一、某级数的收敛性二、收敛半径三、和函数的解析性第三节解析函数的TayIOr展式一、Taylor定理二、哥级数的和函数在收敛圆的状况第四节解析函数的零点，唯一性定理一、解析函数零点的孤立性二、唯一性定理考核要求：1、复级数的大体性质复数项级数（明白得）2、塞级数塞级数（识记、领会、应用）3、解析函数的零点，唯一性定理第五章解析函数的罗朗展式、孤立奇点教学要点：一、明白得罗郎级数的概念，会求出一些简单的罗郎级数的收敛域。二、能熟练的
9、求出一些较简单函数的罗郎展开式。3、把握解析函数奇点的三种类型及其特点与性质，了解解析函数在无穷远点的性质。4、了解整函数与亚纯函数的概念教学时数：8学时教学内容：第一节解析函数的罗朗展式一、双边豪级数，罗朗展式二、在孤立奇点去心邻域的罗朗展式第二节解析函数的孤立奇点一、孤立奇点的三种类型二、可去奇点三、极点四、本性奇点第三节解析函数的无穷远点的性质一、解析函数的无穷远点的性质第四节整函数、亚纯函数一、整函数二、亚纯函数考核要求：L解析函数的罗朗展式（应用）2 .解析函数的孤立奇点（应用）3 .解析函数的无穷远点的性质（领会与应用）4 .整函数、亚纯函数（领会）第六章留数定理及应用教学要点：1
10、、留数的概念及计算方式，在无穷远点的留数。2、留数定理。3、利用留数定理计算实积分。4、辐角原理，儒歇定理。教学时数：12学时教学内容：第一节留数一、留数的概念，留数的定理，留数的方式第二节用留数计算实积分一、用留数计算实积分第三节辐角原理及应用一、对数留数二、辐角原理三、RUCh6定理考核要求：1、把握留数的概念及计算方式（包括在无穷远点的留数）。二、了解留数定理，明白利用留数定理计算实积分的一样方式，并能计算常见的三种类型的确积分。第七章保形映照教学要点：1、明白得导数的模与辐角的儿何意义和保形映射概念。2、熟练的把握ez,Inz,Zn和儒可夫斯基函数的映射性质。3、熟练把握分式线性映射的
11、大体性质。4、能将一些较简单的单连通区域变换成单位圆或上半平面。5、了解黎曼映射定理和边界对应定理。教学时数：8学时教学内容：第一节解析变换的特性一、线性变换二、保形形三、保交比性，保圆性，保对称点性第二节某些初等函数组成的保形变换一、关于保形变换的黎曼定理和边界对应定理考核要求：一、eInz、Zn和儒可夫斯基函数的映射性质。二、把握分式线性映射的大体性质。3、能将一些较简单的单连通区域变换成单位圆或上半平面三、推荐教材和参考书目1 .复变函数论苏N.普里瓦洛夫著，科学出版社。2 .函数论方式庞克平，李凤友编著，天津师范学院数学系。3 .多复变函数美那托西姆汉著，科学出版社。4 .解析函数边值问题路见可著，上海科技出版社。5 .解析函数的边界性质苏N.普里瓦洛夫著，科学出版社。
