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1、 极限概念是微积分的基本概极限概念是微积分的基本概念。极限是一种非初等运算念。极限是一种非初等运算, ,也也是微积分学研究的基本工具是微积分学研究的基本工具 . .后面将要介绍的函数的连续性、后面将要介绍的函数的连续性、导数、积分等重要概念，都是导数、积分等重要概念，都是以极限为基础的。以极限为基础的。极限是高等数学中的一种重要的研究方法。极限是高等数学中的一种重要的研究方法。 极限是以发展的眼光分析事物极限是以发展的眼光分析事物(变量变量)的变化规律的变化规律,通过极限我们通过极限我们可以深入到函数的局部去了解函可以深入到函数的局部去了解函数数,并且体会如何在运动的过程并且体会如何在运动的过
2、程中把握变化的事物中把握变化的事物,从而深化对从而深化对客观世界的认识。客观世界的认识。1.3.1 数列的极限数列的极限(limit of sequence)数列的定义：数列的定义： 按照一定规律有次序排列的无按照一定规律有次序排列的无穷多个数称为穷多个数称为数列数列。记作记作.nxnx称为称为通项通项( (一般项一般项) .) .,4321nxxxxx,1,41,31,21, 1n,) 1( ,1,1,11n 数列的极限数列的极限 数列极限的定义，请同学们回忆一下。数列极限的定义，请同学们回忆一下。 中国古代的极限思想：中国古代的极限思想：“一尺之椎，日取其半，万世不竭。一尺之椎，日取其半，
3、万世不竭。”,21,21,21,21,21432n考察当考察当n+时，通项时，通项xn的变化趋势。的变化趋势。数列极限的实质：数列极限的实质：)(0n例例如如,1,41,31,21, 1n)(0n,) 1(,43,34,21,21nnn)(1n,2,8,4,2n)(n,) 1( ,1,1,11n趋势不定趋势不定Axnnlim数列数列nx数列当项数数列当项数n无限变大时无限变大时),(n的极限定义：的极限定义：数列的各项数列的各项 数值向一个数值向一个常数常数A无限靠近，无限靠近，则称常数则称常数A为该数列的极限。为该数列的极限。记作记作或或)(nAxn 如果一个数列的极限存在如果一个数列的极限
4、存在, ,则称该则称该数列是数列是收敛收敛(converge)(converge)； 如果一个数列的极限不存在如果一个数列的极限不存在, ,则称该则称该数列是数列是发散发散(diverge)(diverge)。,21,21,21,21,21432n常数常数 0 称为此数列的极限称为此数列的极限)(0n021limnn记作：记作：,1,41,31,21nnxn1)(0n01limnn例如例如,1,41,31,21nnxn1)(0n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n收收 敛敛,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趋势不定趋势不
5、定发发 散散nn2lim,2,8,4,2n)(n记作：记作：例例1.1. 已知已知,) 1() 1(2nxnn证明证明.0limnnx证证: :0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1nn时，时，0) 1(12n可以无限变小可以无限变小故故0) 1() 1(limlim2nxnnnn0nx01limnn01lim2nn0lim1nnq1q2limnn不存在1) 1(limnn0)32(limnn函数函数)(xf随着自变量的变化而变化随着自变量的变化而变化,研究研究函数的极限函数的极限,就是研究当自变量就是研究当自变量按照某种按照某种方式变化时所对应的方式变化时所对应的1.3.21.3.2函数
6、的极限函数的极限(limit of function)函数值的变化趋势。函数值的变化趋势。二、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限, )(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种自变量变化过程的六种形式形式:一、自变量趋于无穷大时函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 : :x时时,函数函数f(x)的极限的极限xy1, 5, 4, 3, 2x0,51,41,31,21yxy1,3,3,3, 3432x0,31,31,31,31432yxy1,10,10,10,10432x0,101,101,101,
7、101432y定义：定义：设函数设函数y=f(x)在在 x大于某个正数大于某个正数a时有定义时有定义,A是某确定常数是某确定常数,如果当自如果当自变量变量x 趋于趋于 时，时，f(x)与与A的距离的距离任意小任意小,则称函数则称函数f(x)在在 时时以以A为极限，为极限，)()()(limxAxfAxfx或x时时,函数函数f(x)的极限的极限x.,时的极限类似可定义xx记为记为指数函数指数函数)1, 0( aaayxxay xay ) 1( a)1 , 0( xey )10( a如如xexfy)(0limxxexxelim例如例如. 01limxx01limxx. 01limxxoxyxy1.
8、10的水平渐近线为xyy同理同理: :正弦函数正弦函数xysin xysin 不存在xxsinlimxycos xycos 余弦函数余弦函数不存在xxcoslim对数函数对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xyalog )1( a)0 , 1( )10( axxlnlimxyarctan xyarctan 反正切函数反正切函数2arctanlimxx2arctanlimxx0 xx时时,函数函数f(x)的极限的极限2xy ,51,41,31,212222y00,51,41,31,21x2xy ,51,41,31,212222y00,51,41,31,21x2xy ,5
9、1,41,31,212222y0061,51,41,31,21x2xy 0,31,31,31,31432x0,31,31,31,318642y1) 1(22xxy998. 3 ,98. 3, 6 . 3, 2 . 3, 2y999. 0 , ,99. 0, 9 . 0, 8 . 0, 5 . 0 x141) 1(22xxy002. 4 ,02. 4, 2 . 4, 4 . 4, 5y,001. 1 ,01. 1, 1 . 1, 2 . 1, 5 . 1x14定义：定义：设函数设函数y=f(x)在点在点x0的某空心邻的某空心邻域内有定义域内有定义，A是某确定常数，如果是某确定常数，如果当自变量当
10、自变量x趋近于趋近于x0时时，f(x)与与A的距的距离离任意小任意小,则称函数则称函数f(x)在在x趋于趋于x0时时以以A为极限，为极限，0 xx时时,函数函数f(x)的极限的极限)()()(lim00 xxAxfAxfxx或记为记为 1 , 1)(xxxfx1yo10)(lim0 xfx11)(2xxxfyxoy12)(lim1xfx2正弦函数正弦函数xysin xysin 1sinlim2xx0sinlim0 xxxycos xycos 余弦函数余弦函数1coslim0 xx0coslim2xx0coscoslim0 xxxx0sinsinlim0 xxxx00limxxxx 可以证明：可
11、以证明：以下的极限均成立以下的极限均成立CCxx0lim.lim00 xxxx3.3.单侧极限单侧极限- - 左极限与右极限左极限与右极限左极限左极限 : )0(0 xfAxfxx)(lim0 x如果当如果当 从从0 x的的左侧无限趋近左侧无限趋近0 x时时,记着记着,0 xx函数函数f(x)无限趋近于一个确定的常无限趋近于一个确定的常数数A, 则称则称A为函数为函数f(x)当当0 xx时的左极限。记作时的左极限。记作类似可定义类似可定义右极限右极限 : )0(0 xfAxfxx)(lim0函数的左极限和右极限函数的左极限和右极限统称为单侧极限。统称为单侧极限。x1yo1,010,)(xxxx
12、f)(lim)00(0 xffx0lim0 xx对数函数对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xyalog )1( a)0 , 1( )10( axxlnlim0例如：例如：xxxxxxxfy2, 1220,sin01,)(2),(lim0 xfx求0lim)(lim200 xxfxx0sinlim)(lim00 xxfxx)(lim0 xfx定理定理1.11.1：Axfxx)(lim0当当 时时, ,函数函数 极限存在的极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等，充要条件是左、右极限存在且相等，即即)(xf0 xx Axfxfxxxx)(lim)(lim00例例6. 设
13、函数设函数0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论讨论 0 x时时)(xf的极限是否存在的极限是否存在 . 解解: 利用定理利用定理 因为因为)(lim)00(0 xffx) 1(lim0 xx1)(lim)00(0 xffx) 1(lim0 xx1显然显然, )00()00(ff所以所以)(lim0 xfx不存在不存在 .xyo11xy11xy0,10,00, 1)(xxxxxxf例例7 7 问问a a为何值时为何值时, ,所给函数所给函数x x=2=2处极限处极限存在。存在。)2(2)2(2)2(10)(2xaxxaxxxf解解：左极限左极限2010lim)(lim)02(22xxffx
14、x右极限右极限aaxxffxx24)2lim)(lim)02(222（欲函数在欲函数在x x=2=2处极限存在，必须左极限处极限存在，必须左极限等于右极限，等于右极限，即即a=a=8 8思考：思考： 1)1)研究函数极限时研究函数极限时, ,是否要考虑是否要考虑f f( (x x) )在在x x= =x x0 0时的性态？为什么？时的性态？为什么？ 2)2)若若f f ( (x x0 0+0)+0)和和f f ( (x x0 0-0)-0)都存在都存在, ,当当x x趋趋于于x x0 0时时, ,f f( (x x) )的极限存在吗？的极限存在吗？ 3)3)如何利用如何利用f f ( (x x
15、0 0+0)+0)和和f f ( (x x0 0-0)-0)来判断来判断当当x x趋于趋于x x0 0 时时, ,f f( (x x) )的极限不存在？的极限不存在？ ？4)4)若极限若极限)(lim0 xfxx是否一定有是否一定有)()(lim00 xfxfxx？1coslim0 xx0coslim2xx2arctanlimxx2arctanlimxx1sinlim2xx0sinlim0 xx0limxxe01limxx常用的极限结果：常用的极限结果：)(lim0为常数CCCxxxxelim2limxxxxlnlimxxlnlim0 xx1lim0 xxcoslimxxsinlim极限不存在
16、的有：极限不存在的有：练习：练习：设设)1(12)11(1)1()(2xxxxxxxf求：求：)(lim1xfx)(lim1xfx)(lim1xfx)(lim1xfx0) 1(lim)(lim11xxfxx不存在)(lim1xfx1) 12(lim)(lim11xxfxx1) 1(lim)(lim2211xxfxx作业作业NO.13:(3) 分析分析 22)3(2xxy的复合结构的复合结构.解解:由由2232xxvvuyu复合而成的复合而成的.作业作业NO.13:(4) 分析分析 3)5cos3tan(1 3xy的复合结构的复合结构.解解:由由xttvvuuy5cos3tan1323复合而成的复合而成的.xhttvvuuy5cosh3tan133NO14. 不存在xxxfxx00lim)(lim解：解：左极限左极限11limlim)(lim000 xxxxxxf右极限右极限11limlim)(lim000 xxxxxxf)(lim)(lim00 xfxfxx不存在xxx0limNO18. 设函数设函数0lim)(lim)00(00 xxffxx22lim)(lim)01 (11xxxf
