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1、1第十讲第十讲 有限与无限有限与无限2 一 、“有无限个房间有无限个房间”的旅馆的旅馆 1. “客满客满”后又来后又来1位客人位客人 1 2 3 4 k 2 3 4 5 k+1 空出了空出了1 1号房间号房间 3 2 . 客 满 后 又 来 了 一 个 旅 游 团 ， 旅 游 团客 满 后 又 来 了 一 个 旅 游 团 ， 旅 游 团中有无穷个客人中有无穷个客人 1 2 3 4 k 2 4 6 8 2k 空下了奇数号房间空下了奇数号房间 4 3. 客满后又来了无数个旅游团，每个团客满后又来了无数个旅游团，每个团中都有一万个客人中都有一万个客人 1 2 3 4 k 10001 20002 30
2、003 40004 10001k 给出了一万个、又一万个的空房间给出了一万个、又一万个的空房间 5 二、无限与有限的区别和联系二、无限与有限的区别和联系 1. 区别区别 1 1） 在无限集中，在无限集中，“部分可以等于全体部分可以等于全体”（这是无限的本质），而在有限的情况下，（这是无限的本质），而在有限的情况下， 部分总是小于全体。部分总是小于全体。6 当初的当初的伽利略悖论伽利略悖论，就是因为没有看到，就是因为没有看到 “无限无限”的这一个特点而产生的。的这一个特点而产生的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121
3、 n2 该两集合：有一一对应，于是推出两集合的该两集合：有一一对应，于是推出两集合的元素个数相等；但由元素个数相等；但由“部分小于全体部分小于全体”，又推，又推出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。 7伽利略（Galileo Galilei，1564-1642），意大利物理学家、天文学家和哲学家，近代实验科学的先驱者。 8 2. 2.） “有限有限”时成立的许多命题，对时成立的许多命题，对“无无限限”不再成立不再成立 （1 1）实数加法的结合律）实数加法的结合律 在在“有限有限”的情况下，加法结合律的情况下，加法结合律 成立成立: : (a+b)+c
4、= a+(b+c (a+b)+c = a+(b+c) ) ， a a，b b， c c 9 在在“无限无限”的情况下，加法结合律不的情况下，加法结合律不再成立。如再成立。如1( 1)1( 1)1( 1)1( 1)1( 1)1( 1)01 ( 1)1( 1)1( 1)11 10 （2 2）有限级数一定有）有限级数一定有“和和”。 是个确定的数是个确定的数 无穷级数一定有无穷级数一定有“和和”。 则不是个确定的数。称为该则不是个确定的数。称为该 级数级数“发散发散”。反之称为。反之称为“收敛收敛”。1niia1( 1)ii11 2. 2. 联系联系 在在“有限有限”与与“无限无限”间建立联系的手段
5、，往间建立联系的手段，往往很重要。往很重要。 1）数学归纳法）数学归纳法 通过有限的步骤，证明了命通过有限的步骤，证明了命题对无限个自然数均成立。题对无限个自然数均成立。 2）极限）极限 通过有限的方法，描写无限的过程。通过有限的方法，描写无限的过程。 如：如： ； 自然数自然数N N，都，都 ，使，使 时，时， 。 limnna knknaN12 3）无穷级数）无穷级数 通过有限的步骤，求出无限次运算的结果，如 4）递推公式）递推公式 , a1 = * 1112ii1nnaad13 3. 数学中的无限在生活中的反映数学中的无限在生活中的反映 1 1）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的）大烟囱是圆
6、的：每一块砖都是直的 （整体看又是圆的）（整体看又是圆的） 2 2）锉刀锉一个光滑零件：）锉刀锉一个光滑零件： 每一锉锉下去都是直的每一锉锉下去都是直的 （许多刀合在一起的效果又是光滑的）（许多刀合在一起的效果又是光滑的）14 3 3） 不规则图形的面积：正方形的面积，长方形的不规则图形的面积：正方形的面积，长方形的面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。 规则图形的面积规则图形的面积不规则图形的面积？不规则图形的面积？ 法法.用方格套（想像成透明的）。方格越小，所得面用方格套（想像成透明的）。方格越小，所得面积越准积越准 15 法法.首先转化成求曲边梯形的面积，（不规首先转化成求曲边梯形的面积，（不规则图形则图形若干个曲边梯形），再设法求曲边梯若干个曲边梯形），再设法求曲边梯形的面积：划分，求和，形的面积：划分，求和， 矩形面积之和矩形面积之和 曲边梯形面积；曲边梯形面积； 越小，就越精确；再取极越小，就越精确；再取极 限限 ，就得到曲，就得到曲边梯形的面积。边梯形的面积。()iiifx0
