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1、6.1数学概念及其教学数学概念及其教学一、数学概念的意义和结构一、数学概念的意义和结构1.1. 数学概念的意义数学概念的意义概念是反映事物本质属性和特征的思维形式概念是反映事物本质属性和特征的思维形式. .概念来自本质，而本质来自存在概念来自本质，而本质来自存在. . 列宁列宁 数学概念是反映（现实世界）空间形式数学概念是反映（现实世界）空间形式和数量关系的本质属性的思维形式和数量关系的本质属性的思维形式. .数学概念产生和发展有各种不同的途径：数学概念产生和发展有各种不同的途径：1 1）直接从它的现实模型中抽象概括得出，如几何中的点、线、面、体）直接从它的现实模型中抽象概括得出，如几何中的点
2、、线、面、体等概念；等概念；2 2）在已有概念的基础上进一步抽象概括而形成，如群、环、域等；）在已有概念的基础上进一步抽象概括而形成，如群、环、域等；3 3）人们将客观事物的属性理想化、纯粹化得到数学概念，如）人们将客观事物的属性理想化、纯粹化得到数学概念，如“直线直线”；4 4）在一定的数学对象结构中产生数学概念，如）在一定的数学对象结构中产生数学概念，如“三线八角三线八角”；5 5）根据数学本身发展的需要而产生，如负数、虚数、）根据数学本身发展的需要而产生，如负数、虚数、n n 维空间等维空间等. . 数学概念是用数学语言来表数学概念是用数学语言来表达的，其主要形式是语词和符号达的，其主要
3、形式是语词和符号. .如：角如：角、三角形、三角形、平行、平行、阶乘、阶乘！等等等等. . 同一数学概念可能有不同的词语表达，同一数学概念可能有不同的词语表达，如：如：“等边三角形等边三角形”又可表达为又可表达为“正三角正三角形形”. .概念是人类思维的基本结构单位概念是人类思维的基本结构单位. .概念又是命题、推理和论证的基础概念又是命题、推理和论证的基础. .可以说每一门学科，都是一个概念的系统可以说每一门学科，都是一个概念的系统.2.2.概念的内涵和外延概念的内涵和外延概念的内涵（内包）概念的内涵（内包）概念所反映的概念所反映的这类事物的共同的本质属性这类事物的共同的本质属性，即确定，即
4、确定的涵义，是对概念的质的规定；的涵义，是对概念的质的规定；概念的外延（外包）概念的外延（外包）概念所反映的概念所反映的这类事物的全体这类事物的全体，即确定的对象范围，即确定的对象范围，是对概念的量的描述是对概念的量的描述. .注：注：1）概念的内涵和外延分别指一个概念）概念的内涵和外延分别指一个概念“是什是什么样的？么样的？”和和“是指哪些对象？是指哪些对象？”2）概念的内涵和外延既是统一的又是互相联）概念的内涵和外延既是统一的又是互相联系、互相制约的，在一定的条件下，概念的内系、互相制约的，在一定的条件下，概念的内涵和外延是互相确定的涵和外延是互相确定的.3）概念的内涵和外延之间还表现在发
5、展中的）概念的内涵和外延之间还表现在发展中的反变关系反变关系即：概念的内涵越多，则外延越小；即：概念的内涵越多，则外延越小；概念的内涵越少，则外延越大概念的内涵越少，则外延越大.举例：举例：在自然数系中，在自然数系中，“偶数偶数”概念的内涵和外延分概念的内涵和外延分别是什么？别是什么？“平行四边形平行四边形”的内涵和外延分别是什么？的内涵和外延分别是什么？ 对于对于“矩形矩形”这个概念，如果增加这个概念，如果增加“有一组邻边相等有一组邻边相等”这个性质后，就成为这个性质后，就成为外延缩小的概念外延缩小的概念正方形；在矩形内涵正方形；在矩形内涵中减少中减少“有一个角是直角有一个角是直角”的属性，
6、就得的属性，就得到外延扩大的概念到外延扩大的概念平行四边形平行四边形. . 概念的限定和概括是明确概念的限定和概括是明确概念内涵和外延的逻辑方法，概念内涵和外延的逻辑方法，即给概念下定义即给概念下定义. .二、二、概念间的关系概念间的关系 根据概念的外延集有无重合之处，概根据概念的外延集有无重合之处，概念间的关系可分为相容关系和不相容关系念间的关系可分为相容关系和不相容关系. .规定：所有概念的外延集都是非空集合规定：所有概念的外延集都是非空集合. .1.1. 相容关系相容关系 若若ABAB, ,则称概念甲概念乙之间则称概念甲概念乙之间有相容关系有相容关系. .又可进一步具体分为同一关又可进一
7、步具体分为同一关系、属种关系和交叉关系系、属种关系和交叉关系. .设集合设集合A A、B B、C C为概念甲、乙、丙的外延集为概念甲、乙、丙的外延集. .A=BAB同一关系同一关系（或全同关系）（或全同关系）如：如：“不大于不大于”和和“小于或等于小于或等于”注：数学中的恒等变形就是注：数学中的恒等变形就是利用概念间的同一关系进行的利用概念间的同一关系进行的 .属种关系属种关系比如：实数和有理数、比如：实数和有理数、平行四边形和矩形平行四边形和矩形.又称从属关系，甲称为又称从属关系，甲称为属概念，乙称为种概念属概念，乙称为种概念借用生物借用生物学中的概学中的概念念A AB B交叉关系交叉关系比
8、如：矩形和菱形、非负有理数和非正有理数利用概念间的交叉关系可以概括出新的概念矩形的外延集和菱形的外延集的交集是“正方形”不相容关系（不相容关系（ 又称在同一属概念丙之下的全异又称在同一属概念丙之下的全异关系）关系）矛盾关系（矛盾关系（ ） CBA反对关系（反对关系（ ）CBA大前提：大前提：ABAB 相对于属概念相对于属概念“实数实数”而言，其种概念而言，其种概念“有理有理数数”与与“无理数无理数”之间就是矛盾关系但相对于属之间就是矛盾关系但相对于属概念概念“复数复数”而言，它们就是反对关系而言，它们就是反对关系相对于属概念相对于属概念“三角形三角形”而言，其种概念而言，其种概念“锐锐角三角形
9、角三角形”与与“直角三角形直角三角形”之间就是反对关系之间就是反对关系概念间的不相容关系是数学中反证法、穷举法的依据之一概念间的不相容关系是数学中反证法、穷举法的依据之一反对关系矛盾关系不相容关系交叉关系属种关系同一关系相容关系概念间的关系三、三、 概念的定义概念的定义 概念的定义就是揭示一个概念的内涵概念的定义就是揭示一个概念的内涵或外延的逻辑方法或外延的逻辑方法揭示内涵的定义称为内涵定义，明确揭示内涵的定义称为内涵定义，明确外延的定义称为外延定义外延的定义称为外延定义定义的结构：定义的结构：被定义项（被定义项（B）、定义项（）、定义项（D）、定义联项）、定义联项概念定义的表达主要是：概念定
10、义的表达主要是：B就是就是D常见的还有：常见的还有：“ B是是D”；“B等于等于D”；“B当且仅当当且仅当D”；“D叫做叫做B”；“D称为称为B”等腰三角形等腰三角形 就是就是 有两边相等的三角形有两边相等的三角形 B连项连项D下定义的方式方法下定义的方式方法（）属种定义（）属种定义方式：方式： 被定义项被定义项 = = （邻近的属）（邻近的属）+ +（种差）（种差）B （连项）（连项） D矩形矩形 就是就是 一个角是直角一个角是直角的的平行四边形平行四边形 种差邻近的属种差邻近的属B （连项）（连项） D又称之为又称之为“属概念种差属概念种差”定义法定义法派生出两种特殊形式：发生式定义和关系
11、定义派生出两种特殊形式：发生式定义和关系定义发生式定义发生式定义 以被定义概念所反映的对象产生或形成的以被定义概念所反映的对象产生或形成的过程作为种差下定义的方式过程作为种差下定义的方式例：圆就是把定长线段的一端固定，使另一端旋转一周而成的一条封闭曲线换言之：到定点的距离等于定长的点的轨迹关系定义关系定义 以被定义概念所反映的对象之间的关系作为种差下定义的方式例：例：“偶数偶数”就是能被就是能被2整除的整数整除的整数注：属加种差的定义方式，有一定的局限性注：属加种差的定义方式，有一定的局限性例：例：“范畴范畴”这一概念就无法采用这种方式定义这一概念就无法采用这种方式定义（）外延定义（）外延定义
12、 列举列举“被定义概念所属的、所有互不相容被定义概念所属的、所有互不相容的种概念的种概念”的方式下定义的方式下定义例：例：正、负整数，正、负分数和零正、负整数，正、负分数和零统称为统称为有理数有理数； D B有理数和无理数有理数和无理数 统称为统称为 实数实数 D B注：约定式定义也属于揭示外延的方法例如：注：约定式定义也属于揭示外延的方法例如：0 0！=1 =1 等等等等（）语词定义（）语词定义 用语词说明被定义项的含义的方式用语词说明被定义项的含义的方式例例 ：“ ”表示空集；表示空集；“ ”表示属于；表示属于；“ ”表示表示“连连加加”此外，还有递归定义，公理化定义等等此外，还有递归定义
13、，公理化定义等等3 3 下定义应遵循的规则下定义应遵循的规则规则规则1 1 定义要相称，就是定义项和被定义要相称，就是定义项和被定义项的外延必须全同定义项的外延必须全同若定义项的外延大于被定义项的外若定义项的外延大于被定义项的外延，则定义延，则定义“过宽过宽”；若定义项的外延若定义项的外延小于被定义项的外延，则定义小于被定义项的外延，则定义“过过窄窄”“两条不相交的直线称为平行直线两条不相交的直线称为平行直线”；（还可；（还可以重合）以重合）“无理数就是不尽方根无理数就是不尽方根”过窄过窄“无限小数叫无理数无限小数叫无理数”过宽过宽规则规则2 2 定义要符合逻辑，就是要明白、定义要符合逻辑，就
14、是要明白、清晰，不得循环、不得同义反复清晰，不得循环、不得同义反复. .“相交成直角的两条直线，叫做互相垂直的直相交成直角的两条直线，叫做互相垂直的直线线”与与“两边互相垂直的角，叫做直角两边互相垂直的角，叫做直角”这两这两个定义出现了循环个定义出现了循环.“类似的图形称为相似形类似的图形称为相似形”就是自我定义、就是自我定义、空洞无物的同义反复。空洞无物的同义反复。规则规则3 3 定义要简明、扼要、精练，不定义要简明、扼要、精练，不要越级、不要重复要越级、不要重复. . “有四条边且两组对边分别平行的多边形称为有四条边且两组对边分别平行的多边形称为平行四边形平行四边形”就不简明了，因为多边形
15、不是平行四就不简明了，因为多边形不是平行四边形的邻近的属概念；边形的邻近的属概念； “两组对边分别平行且相等的四边形称为平两组对边分别平行且相等的四边形称为平行四边形行四边形”也是不简明，因为列举的种差之间不也是不简明，因为列举的种差之间不独立独立.规则规则4 4 定义中的定义项一般不应包含负定义中的定义项一般不应包含负概念概念. . 反映对象不具有某种属性的概念，叫做负概念反映对象不具有某种属性的概念，叫做负概念. . 中学数学中较少使用包含负概念的定义方式中学数学中较少使用包含负概念的定义方式平行线是在同一平面内不相交的直线；平行线是在同一平面内不相交的直线；无理数是无限不循环小数；无理数
16、是无限不循环小数；奇数是不能被奇数是不能被2 2整除的整数。整除的整数。4 4 原始概念：数学中无定义的概念，原始概念：数学中无定义的概念，又叫原名又叫原名. .如：点、直线、平面、集合等如：点、直线、平面、集合等. .四、四、 概念的科学分类（划分）概念的科学分类（划分） 划分就是把一个概念（属）按照某一属性分成划分就是把一个概念（属）按照某一属性分成若干个具有不相容关系的种概念若干个具有不相容关系的种概念. . 划分实质是反映一类事物的分类，它和整体事划分实质是反映一类事物的分类，它和整体事物分解是根本不同的，划分后的各子项都具有母项物分解是根本不同的，划分后的各子项都具有母项的本质属性，但分解后的部分，却不一定都具有整的本质属性，但分解后的部分，却不一定都具有整体的特性体的特性.例：例： 将将“三角形三角形”划分为划分为“直角三角形直角三角形”“”“锐角三锐角三角形角形”“”“钝角三角形钝角三角形”，它们都具有三角形的本质属，它们都具有三角形的本质属性；但如果把性；但如果把“三角形三角形”分解为分解为“三条边三条边”、“三个三个角角”等部分，那么这些部分就不会有等部分，那么这些部
