数学概念及其教学.ppt
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1、6.1数学概念及其教学数学概念及其教学一、数学概念的意义和结构一、数学概念的意义和结构1.1. 数学概念的意义数学概念的意义概念是反映事物本质属性和特征的思维形式概念是反映事物本质属性和特征的思维形式. .概念来自本质,而本质来自存在概念来自本质,而本质来自存在. . 列宁列宁 数学概念是反映(现实世界)空间形式数学概念是反映(现实世界)空间形式和数量关系的本质属性的思维形式和数量关系的本质属性的思维形式. .数学概念产生和发展有各种不同的途径:数学概念产生和发展有各种不同的途径:1 1)直接从它的现实模型中抽象概括得出,如几何中的点、线、面、体)直接从它的现实模型中抽象概括得出,如几何中的点
2、、线、面、体等概念;等概念;2 2)在已有概念的基础上进一步抽象概括而形成,如群、环、域等;)在已有概念的基础上进一步抽象概括而形成,如群、环、域等;3 3)人们将客观事物的属性理想化、纯粹化得到数学概念,如)人们将客观事物的属性理想化、纯粹化得到数学概念,如“直线直线”;4 4)在一定的数学对象结构中产生数学概念,如)在一定的数学对象结构中产生数学概念,如“三线八角三线八角”;5 5)根据数学本身发展的需要而产生,如负数、虚数、)根据数学本身发展的需要而产生,如负数、虚数、n n 维空间等维空间等. . 数学概念是用数学语言来表数学概念是用数学语言来表达的,其主要形式是语词和符号达的,其主要
3、形式是语词和符号. .如:角如:角、三角形、三角形、平行、平行、阶乘、阶乘!等等等等. . 同一数学概念可能有不同的词语表达,同一数学概念可能有不同的词语表达,如:如:“等边三角形等边三角形”又可表达为又可表达为“正三角正三角形形”. .概念是人类思维的基本结构单位概念是人类思维的基本结构单位. .概念又是命题、推理和论证的基础概念又是命题、推理和论证的基础. .可以说每一门学科,都是一个概念的系统可以说每一门学科,都是一个概念的系统.2.2.概念的内涵和外延概念的内涵和外延概念的内涵(内包)概念的内涵(内包)概念所反映的概念所反映的这类事物的共同的本质属性这类事物的共同的本质属性,即确定,即
4、确定的涵义,是对概念的质的规定;的涵义,是对概念的质的规定;概念的外延(外包)概念的外延(外包)概念所反映的概念所反映的这类事物的全体这类事物的全体,即确定的对象范围,即确定的对象范围,是对概念的量的描述是对概念的量的描述. .注:注:1)概念的内涵和外延分别指一个概念)概念的内涵和外延分别指一个概念“是什是什么样的?么样的?”和和“是指哪些对象?是指哪些对象?”2)概念的内涵和外延既是统一的又是互相联)概念的内涵和外延既是统一的又是互相联系、互相制约的,在一定的条件下,概念的内系、互相制约的,在一定的条件下,概念的内涵和外延是互相确定的涵和外延是互相确定的.3)概念的内涵和外延之间还表现在发
5、展中的)概念的内涵和外延之间还表现在发展中的反变关系反变关系即:概念的内涵越多,则外延越小;即:概念的内涵越多,则外延越小;概念的内涵越少,则外延越大概念的内涵越少,则外延越大.举例:举例:在自然数系中,在自然数系中,“偶数偶数”概念的内涵和外延分概念的内涵和外延分别是什么?别是什么?“平行四边形平行四边形”的内涵和外延分别是什么?的内涵和外延分别是什么? 对于对于“矩形矩形”这个概念,如果增加这个概念,如果增加“有一组邻边相等有一组邻边相等”这个性质后,就成为这个性质后,就成为外延缩小的概念外延缩小的概念正方形;在矩形内涵正方形;在矩形内涵中减少中减少“有一个角是直角有一个角是直角”的属性,
6、就得的属性,就得到外延扩大的概念到外延扩大的概念平行四边形平行四边形. . 概念的限定和概括是明确概念的限定和概括是明确概念内涵和外延的逻辑方法,概念内涵和外延的逻辑方法,即给概念下定义即给概念下定义. .二、二、概念间的关系概念间的关系 根据概念的外延集有无重合之处,概根据概念的外延集有无重合之处,概念间的关系可分为相容关系和不相容关系念间的关系可分为相容关系和不相容关系. .规定:所有概念的外延集都是非空集合规定:所有概念的外延集都是非空集合. .1.1. 相容关系相容关系 若若ABAB, ,则称概念甲概念乙之间则称概念甲概念乙之间有相容关系有相容关系. .又可进一步具体分为同一关又可进一
7、步具体分为同一关系、属种关系和交叉关系系、属种关系和交叉关系. .设集合设集合A A、B B、C C为概念甲、乙、丙的外延集为概念甲、乙、丙的外延集. .A=BAB同一关系同一关系(或全同关系)(或全同关系)如:如:“不大于不大于”和和“小于或等于小于或等于”注:数学中的恒等变形就是注:数学中的恒等变形就是利用概念间的同一关系进行的利用概念间的同一关系进行的 .属种关系属种关系比如:实数和有理数、比如:实数和有理数、平行四边形和矩形平行四边形和矩形.又称从属关系,甲称为又称从属关系,甲称为属概念,乙称为种概念属概念,乙称为种概念借用生物借用生物学中的概学中的概念念A AB B交叉关系交叉关系比
8、如:矩形和菱形、非负有理数和非正有理数利用概念间的交叉关系可以概括出新的概念矩形的外延集和菱形的外延集的交集是“正方形”不相容关系(不相容关系( 又称在同一属概念丙之下的全异又称在同一属概念丙之下的全异关系)关系)矛盾关系(矛盾关系( ) CBA反对关系(反对关系( )CBA大前提:大前提:ABAB 相对于属概念相对于属概念“实数实数”而言,其种概念而言,其种概念“有理有理数数”与与“无理数无理数”之间就是矛盾关系但相对于属之间就是矛盾关系但相对于属概念概念“复数复数”而言,它们就是反对关系而言,它们就是反对关系相对于属概念相对于属概念“三角形三角形”而言,其种概念而言,其种概念“锐锐角三角形
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