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1、第二篇 几 何r介绍了图形变换和投影中的若干问题：介绍了图形变换和投影中的若干问题： q图形变换的基本描述图形变换的基本描述 q图形变换的几何化表示图形变换的几何化表示 q投影变换（深度）和投影视图投影变换（深度）和投影视图 q透视变换透视变换 r所有的变换均基于点的变换；所有的变换均基于点的变换； r采用向量、矩阵和采用向量、矩阵和齐次坐标齐次坐标的形式来描述图形的变换的形式来描述图形的变换十分方便；十分方便； r一个普通坐标的点一个普通坐标的点P=(Px, Py, Pz)，有对应的一族齐次，有对应的一族齐次坐标坐标(wPx, wPy, wPz, w)，其中，其中w不等于零。不等于零。 r把
2、一个点从普通坐标变成齐次坐标，给把一个点从普通坐标变成齐次坐标，给x,y,z乘上同一个乘上同一个非零数非零数w，然后增加第，然后增加第4个分量个分量w； r如果把一个齐次坐标转换成普通坐标，把前三个坐标如果把一个齐次坐标转换成普通坐标，把前三个坐标同时除以第同时除以第4个坐标，然后去掉第个坐标，然后去掉第4个分量。个分量。n三维齐次坐标有三维齐次坐标有_个分量。个分量。 A A、2 2B B、3 3C C、4 4D D、5 5n写出下列齐次坐标表示的二维坐标。写出下列齐次坐标表示的二维坐标。 （6 6 ，18 18 ，3 3），（），（5 5 ，8 8 ，1 1），（），（4 4 ，6 6 ，
3、8 8）5 5种二维基本变换的变换矩阵都可以用如下的种二维基本变换的变换矩阵都可以用如下的3 3* *3 3矩阵来描述：矩阵来描述：ihgfedcbaT（1 1）左上角的）左上角的2 2* *2 2子块可实现比例、旋转、对称、错切四种子块可实现比例、旋转、对称、错切四种 基本变换；基本变换；（2 2）左下角的）左下角的1 1* *2 2子块可实现平移变换；子块可实现平移变换；（3 3）右上角的）右上角的2 2* *1 1子块可实现投影变换；子块可实现投影变换；（4 4）右下角的）右下角的1 1* *1 1子块可实现整体比例变换。子块可实现整体比例变换。1 1、在齐次坐标系中，写出下列变换矩阵：
4、、在齐次坐标系中，写出下列变换矩阵：（1 1）整个图形放大）整个图形放大2 2倍。倍。（2 2）x x向放大向放大3 3倍，倍，y y向放大向放大4 4倍。倍。（3 3）y y方向上移方向上移1010个单位，个单位，x x方向上右移方向上右移5 5个单位。个单位。（4 4）对称于）对称于-45-45线的坐标变换线的坐标变换（5 5）图形绕原点顺时针旋转）图形绕原点顺时针旋转9090 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaA旋转、比例、错切、对称透视投影总体比例平移1、二维变换中绕原点的旋转相当于三维变换中绕_轴旋转。A、XB、YC、ZD
5、、以上都不是 根据仿射变换理论，从几何计算的理论根据仿射变换理论，从几何计算的理论和算法出发，探索了图形变换的几何化表示和算法出发，探索了图形变换的几何化表示机制：机制： q用有向直线的求解系列函数构筑图形变换齐次用有向直线的求解系列函数构筑图形变换齐次矩阵；矩阵； q将图形变换与基本几何有机地联系在一起；将图形变换与基本几何有机地联系在一起；q统一了平移、旋转、错切、对称和比例等坐标统一了平移、旋转、错切、对称和比例等坐标变换。变换。1 1、已知三角形各顶点坐标为（、已知三角形各顶点坐标为（1010，1010），（），（1010，3030），（），（3030，1515），），试对其进行下列变
6、换，写出变换矩阵，画出变换后的图形。试对其进行下列变换，写出变换矩阵，画出变换后的图形。（1 1）沿）沿X X向平移向平移2020，沿，沿Y Y向平移向平移1515，再绕原点旋转，再绕原点旋转9090度度（2 2）绕原点旋转）绕原点旋转9090度，再沿度，再沿X X向平移向平移2020，沿，沿Y Y轴平移轴平移15152、如下图所示三角形、如下图所示三角形ABC，将其关于，将其关于A点逆时针旋转点逆时针旋转60度，写出度，写出其变换矩阵和变换后图形各点的规范化齐次坐标。其变换矩阵和变换后图形各点的规范化齐次坐标。A(2,5)B(1,1)C(6,3)Oxy3 3、已知三角形已知三角形ABC各顶点
7、的坐标各顶点的坐标A(3,2)、B(5,5)、C(4,5)，相对，相对直线直线P1P2(线段的坐标分别为：线段的坐标分别为：P1 (-3,-2) 、P2 (2,3) )做对称做对称变换后到达变换后到达A、B、C。试计算。试计算A、B、C的坐标值。（要求用的坐标值。（要求用齐次坐标进行变换，列出变换矩阵。）齐次坐标进行变换，列出变换矩阵。） 4、求以直线、求以直线L作为对称轴的对称变换矩阵。作为对称轴的对称变换矩阵。 LPPxy0B(0,b)1 1、将三维图形向二维平面上投影生成二维图形表示的、将三维图形向二维平面上投影生成二维图形表示的 过程称为过程称为投影变换投影变换。2 2、根据、根据视点
8、的远近视点的远近，投影分为平行投影和透视投影。，投影分为平行投影和透视投影。 当投影中心（观察点）与投影平面之间的距离为当投影中心（观察点）与投影平面之间的距离为无无 穷远时穷远时，为，为平行投影平行投影，否则为透视投影。，否则为透视投影。轴向变形系数下的轴测变换矩阵：轴向变形系数下的轴测变换矩阵：coscoscossinsinsinxyzxyzxyzxyzxXyYzsin3sin20cos3cos2xyxyzxXyYz用轴间角表示的轴测变换矩阵：用轴间角表示的轴测变换矩阵： 物体和连同确定它的空间直角坐标系物体和连同确定它的空间直角坐标系, ,沿不平沿不平行于任一坐标面的方向行于任一坐标面的
9、方向, ,用平行投影法投影到单一用平行投影法投影到单一投影面上，在投影面上得到的立体感图形的过程称投影面上，在投影面上得到的立体感图形的过程称为为轴轴测变换测变换。 透视变换的基本原理透视变换的基本原理：与画面成一角度的平行线簇经透：与画面成一角度的平行线簇经透视变换后交于视变换后交于灭点灭点。1000100010001pqTr1000110000100001ze1001010000100001ex1000010100100001ey 不与投影面平行的任一组平行线投影后收敛于一点，此不与投影面平行的任一组平行线投影后收敛于一点，此点称为点称为灭点灭点 一般说来，一般说来，三维图形中有多少组平行
10、线就有多少个灭点三维图形中有多少组平行线就有多少个灭点。 平行于坐标轴的平行线在投影平面上形成的灭点称平行于坐标轴的平行线在投影平面上形成的灭点称为为主主灭点灭点。 主灭点数目由与投影面相交的坐标轴数目来决定，主灭点数目由与投影面相交的坐标轴数目来决定，并据并据此将透视投影分类为一点、二点或三点透视。此将透视投影分类为一点、二点或三点透视。1、透视投影中主灭点最多可以有_个。 A、0B、1C、2D、31 1、灭点可以看作是无穷远点经透视变换后得到的点；、灭点可以看作是无穷远点经透视变换后得到的点；2 2、齐次坐标系中沿坐标轴三个方向的无穷远点是单位矩、齐次坐标系中沿坐标轴三个方向的无穷远点是单
11、位矩 阵阵E E的前三行构成的向量；的前三行构成的向量；3 3、对单位阵、对单位阵E E实施透视变换就可以进行灭点的求取。实施透视变换就可以进行灭点的求取。一灭点的求取一灭点的求取100001000011/0001zzeEPPzcos0sinsin0100sin0coscos0001eyyyyzzeyyyEyzPRR Pz,0eyctgz把单位立方体绕把单位立方体绕y y轴旋转轴旋转y y角，然后进行投影变换，则角，然后进行投影变换，则平行于平行于x轴的向量将在投影面轴的向量将在投影面xoy上有灭点：上有灭点：平行于平行于z轴的向量将在投影面轴的向量将在投影面xoy上有灭点：上有灭点：,0ey
12、tgz二灭点的求取二灭点的求取r 将物体绕将物体绕x轴转轴转 x角角(Rx)，绕，绕y轴转轴转 y角角(Ry) ，再施以变，再施以变换换Pz即得三灭点透视，变换为：即得三灭点透视，变换为： cos0sinsinsinsincossincossincoscossinsincoscoscoscos0001eyyyexyxxyxyxyZxyZexyxxyxyzzE R R P R R Pz三灭点的求取三灭点的求取规格化矩阵的前三行，即得原来分别平行于规格化矩阵的前三行，即得原来分别平行于x，y，z轴的向量轴的向量经变换后的投影分别交于三个灭点：经变换后的投影分别交于三个灭点： )0,ctg(zeyzzeyxeyctgtgcos,zzeyxeytgtgcos,谢谢观看！谢谢观看！
