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1、1传染病动力学模型研究文献综述21. 引 言医学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，天花在世界范围内被消灭，鼠疫、霍乱等传染病得到控制。但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。有些传染病传染很快，导致很高的致残率，危害极大，因而对传染病在人群中传染过程的研究具有重要的现实意义。3目前，传染病的研究方法主要有四种：描述性研究、分析性研究、实验性研究和理论性研究。传染病动力学是进行理论性定量研究的一种重要方法。在传染病动力学研究中数学模型起着极其重要的作用，它把传染病的主要特征通过假设、参数、变量和它们之间的联系清晰的揭示出来。利用动力学的方法建立数学模型可以来研究某种传染病在
2、某一地区是否会蔓延持续下去而成为本地区的“地方病”或者这种传染病终将消除。数学模型的分析结果能提供许多强有力的理论基础和概念，用数学模型发现传染病的传播机理，预测传染病的流行趋势已成为共识。影响传染病传播的因素很多，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等，在建立模型时不可能考虑所有因素，只能抓住关键的因素，采用合理的假设，进行简化。4传染病若无潜伏期，我们把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者（Susceptible），指未得病者，但缺乏免疫能力，与感病者接触后容易受到感染；I类，感病者（Infective），指染上传染病的人，
3、它可以传播给S类成员；R类，移出者（Removal），指被隔离，或因病愈而具有免疫力的人。在不存在免疫抗体情况下,相应可建立以下动力学模型：SI模型，患病后难以治愈；SIS模型，患病后可以治愈，恢复者不具有免疫力在存在免疫抗体情况下,相应可建立以下动力学模型:SIR模型，患病者治愈后获得终身免疫力；SIRS模型，病人康复后只有暂时免疫力。若传染病有潜伏期，在三类人群中增加一类 ，感染而未发病者（Exposed),可在SIR或SIRS模型的基础上得到更复杂的SEIS、SEIR或SEIRS模型。现根据这三种划分方式来进行文献综述52.1 不存在免疫抗体情况下的传染病模型研究邓丽丽等（2004） 1
4、讨论了一类具有非线性传染力的阶段结构SI传染病模型，确定了各类平衡点存在的阈值条件，得到了各类平衡点局部稳定和全局稳定的条件。石磊等（2008）2对一种具有种群动力和非线性传染率的传染病模型进行了研究，建立了具有常数迁入率和非线性传染率的SI模型。与以往的具有非线性传染率的传染病模型相比，这种模型引入了种群动力，也就是种群的，总数不再为常数，因此，该类模型更精确地描述了传染病传播的规律。Pei Y Z等（2009）3在1的基础上加入了脉冲延迟，并将传染率系数设为随时间改变的变量，演示了研究SI模型的新方法。2. 文献综述6勾清明（2007）4通过引入比例变量建立了一个具有阶段结构和标准发生率的
5、SIS流行病模型，得到了模型的阚值参数R。证明了模型的全局性态完全由 确定。在此基础上，建立了模型的阈值参数 和 证明了种群总数与染病者总数的增减分别由参数 和 控制。成小伟，胡志兴（2008）5研究了具有常数移民以及具有急性和慢性两个阶段的SIS传染病模型。针对急慢性两种情况分别得到了相应模型的平衡点，证明了无病平衡点的全局渐近稳定性，运用一种几何方法给出了地方病平衡点的存在性和全局渐近稳定性的充分条件，最后进行数值模拟以验证所得结论。Zhang T L(2009)6、7分别讨论了具有延迟阶段结构的SIS模型以及具有非线性发生率的SIS模型无病平衡点的存在性和Hopf分叉点。Xue Z L（
6、2009）8讨论了应急资源有限情况下，SIS模型无病平衡点的稳定性和Hopf分岔点。OR1R2R1R2R72.2 存在免疫抗体情况下的传染病模型Kermack和McKendrick（1926）9为了研究1665-1666年黑死病在伦敦的流行规律以及1906年瘟疫在孟买的流行规律，他们把人口分为易感者、染病者和恢复者三大类，利用动力学方法建立了著名的SIR仓室模型。Zhou J（1994-1995）10-12, Zhang Juan等（2004）11， Gao L Q等（1992）13, LI JIANQUAN等（2004）14在SIR模型的基础上考虑不同的感染方式，对病人的隔离，因接种而获得的
7、免疫力以及免疫力的逐渐丧失，是否可以忽略因病死亡率，种群自身增长规律，不同种群之间的交叉感染等因素，构成了丰富多彩的传染病动力学模型。HWHethcote等（2004-2005）15-16对模型的理论研究主要集中在疾病的持续生存及平衡位置特别是导致地方病平衡点的平衡位置和周期解的存在性和稳定性，再生数及分支点的寻找等动力学性态。8BUSENBERG S，WANDEN DRIESSCHE P（1990）17研究了免疫力的逐渐丧失的问题。该文研究了具有标准传染率，种群指数增长的SIRS模型，利用了稳定性理论得到了各类平衡点的全局稳定性。Hethcote，Mena-Lorca（1992）18分别研究
8、了具有常数输入且具有指数出生和死亡，传染率分别是双线性的，标准的和饱和传染率的五类SIRS模型。李健全等(2004)19研究了具有常数输入和Logistic出生的一般形式接触率的SIR模型，利用极限方程理论和构造了Liapunov函数得到了各类平衡点的全局稳定性。陈军杰（2004）20研究了一类具有常数迁入且总人口变化的SIRI模型，利用RouthHurwitz判别法和构造Liapunov函数得到了地方病平衡点的局部稳定性和无病平衡点的全局稳定性，并考虑传染率分别是双线性和标准时，通过构造Liapunov函数得到了地方病平衡点的全局稳定性。92.3. 疾病有潜伏期的传染病模型的发展Michae
9、l Y Li，Muldowney(1995)21研究了具有非线性传染率的SEIR模型，构造Liapunov函数及利用复合矩阵理论证明了各类平衡点的全局稳定性。Michael Y Li(1999)22研究了具有指数出生、死亡和标准的传染率SEIR模型，通过构造Liapunov函数及利用复合矩阵理论证明了各类平衡点的全局稳定性。Fan MengWang Ke(2001)23研究了具有常数输入和双线性的传染率SEIS模型，也用类似的方法证明了各类平衡点的全局稳定性。MICHAEL Y LI（2001）24认为潜伏者和染病者所生婴儿都会携带病毒但不会立即发病，建立了具常数输入、双线性传染率且潜伏者和染
10、病者有不同程度的垂直传染力的SEIR模型，给出了所建模型的全局动力学性态。10刘烁等（2007)25研究了一类带有非线性传染率的SEIR传染病模型，通过构造Liapunov函数得到了无病平衡点和地方病平衡点的全局稳定性。刚毅（2009）26根据流行病不同阶段的特征,建立了易感者类具有常数输入的SEIR和SEIS组合传染病模型,然后采用Liapunov函数 和复合矩阵理论证明了具有常数输入的SEIR和SEIS组合传染病模型的平衡点的全局渐近稳定性.11对于有些疾病在流行期间，它不仅在染病期传染，而且在潜伏期也传染，也就是说：一个易感者一旦被感染上病毒，在未发病之前(即潜伏期)就对外具有传染性。原
11、三领等(2001)27研究了具有双线性传染率且潜伏期也具有传染力，但不考虑因病死亡的传染病模型，利用Routh-Hurwitz判别法和构造Liapunov函数得到了地方病平衡点的局部稳定性和无病平衡点的全局稳定性。徐文雄等(2004)28研究了具有饱和接触率且潜伏期也具有传染力，并考虑因病死亡的传染病模型，利用RouthHurwitz判别法和构造Liapunov函数得到了地方病平衡点的局部稳定性和无病平衡点的全局稳定性。12张彤等(2006)29研究了具有非线性接触率潜伏期也具有传染力的传染病模型，利用RouthHurwitz判别法和构造Liapunov函数得到了地方病平衡点的局部稳定性和无病
12、平衡点的全局稳定性，以及随着参数的变化，模型会发生Hopf分支，流行病会出现稳定的周期振荡现象.Hethcote(1994-2000)30-31对传染病系统研究目前已取得许多成果进行了系统的总结，详细阐述了传染病的建模思想。131 郑丽丽，王豪，方勤华.一类具有非线性传染率的阶段结构SI模型J.数学的实践与认识，2004,34（8）：128-135.2 石磊，俞军，姚洪兴.具有常数迁入率和非线性传染率 的SI模型分析J.高校应用数学学报A辑，2008,23（1），7-12.3 Pei Y Z, Liu S Y, Li C G, Chen L S. The dynamics of an impu
13、lsive delay SI model with variable coefficientsJ. Applied Mathematical Modeling,2009,33(6):2766-2776.4 勾清明.一类具有阶段结构和标准发生率的SIS模型J.西南大学学报，2007,29（9）：6-13.5 成小伟，胡志兴. 具有常数移民和急慢性阶段的SIS模型的研究J.北京工商大学学报，2008,26（1）：75-79.3. 参考文献146 Zhang T L, Liu J L, Teng Z D. Bifurcation analysis of a delayed SISepidemic m
14、odel with stage structureJ. Chaos,solution&Fractals, 2009,40(2):563-576.7 Liu J L, Zhang T L. Bifurcation analysis of an SIS epidemic model with nonlinear birth rate J. Chaos, solution & Fractals,2009,40(3):1091-1099.8 Xue Z L,Wen S L,Mini Ghosh. Stability and bifurcation of an SIS epidemic model wi
15、th treatmentJ. Chaos, solution & Fractals, 2009, 42(5):2822-2832.9 KERMACKWOMCKENDRICK A G. Contributions to the Mathematical Theory Of Endemics Part 1JProcRoySoeLondon，1927，A115(3)：7007211510 Zhou JAn Epidemiological Model with Population Size IncidenceJRock Mountain Journal of Mathematics1 994，24：
16、429-44511 Zhang Juan，Lijian Quan，Ma ZhienGlobal Analysis of SIR Epidemic Models with Population Size Dependent Contact RateJChinese Journal of Engineering Mathematics，2004，2 1：259-26712 Zhou JAn SIS Disease Transmission Model with Recruitment-birthdear DemographicsJMathComputModelling，1995，21：1一1113 Gao L Q，HETHCOTE H W：Disease Transmission Models with DensityDependent DemographicsJMathBi01，1992，30：7177311614 LI JIANQUAN，ZHANG JUAN，MA ZHIENGlobal Analysis of some Epidemic Models with General Con
