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1、机器人技术机器人技术2023-3-301第三章 机器人坐标系统 第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2023-3-302 机器人是个复杂的运动系统，它的每一个机器人是个复杂的运动系统，它的每一个动作都是各个元部件共同作用的结果。动作都是各个元部件共同作用的结果。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2023-3-3033.1 位置与姿态位置与姿态 3.2 正交坐标系正交坐标系 3.3 运动坐标表示运动坐标表示 3.4 齐次坐标变换齐次坐标变换 3.5 机器人坐标系统机器人坐标系统 为了系统地、精确地描述各个元部件的作用以及它们为了系统地、精确地描述各个元部件的作用以及它们之间的关系，
2、需要引入一套机器人坐标系统。之间的关系，需要引入一套机器人坐标系统。 第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2023-3-304 要全面地确定一个物体在三维空间中的状态需要有三个位置自由度要全面地确定一个物体在三维空间中的状态需要有三个位置自由度和三个姿态自由度。前者用来确定物体在空间中的具体方位，后者则是和三个姿态自由度。前者用来确定物体在空间中的具体方位，后者则是确定物体的指向。我们将物体的六个自由度的状态称为物体的位姿。确定物体的指向。我们将物体的六个自由度的状态称为物体的位姿。 如果如果H H为手坐标系，用以描述为手坐标系，用以描述手的姿态，那再加上手的位置就手的姿态，那再加上手的
3、位置就构成了手的位姿。构成了手的位姿。 3.1 位置与姿态位置与姿态 一般姿态的描述可以用一般姿态的描述可以用横滚横滚（Roll）、）、俯仰俯仰（Pitch）和）和侧摆侧摆（Yaw）三轴的转角来实现。）三轴的转角来实现。 绕坐标系绕坐标系H H各轴转动各轴转动yawProllpitchHXHZHYH第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2023-3-305从二维坐标系说起从二维坐标系说起ijBnoHP如果已知P点在H坐标系下的坐标为1,1T, 则P在B下的坐标?第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2023-3-306ijBnoHP坐标系重合的情况（旋转）11HP ?BP 第三章第三章
4、 机器人坐标系统机器人坐标系统2023-3-307正交基之间的变换xyinnnj xyioooj 1 1?niPoj 第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2023-3-308带入后1 11 11 1xyxyxyxyinnjnnniooojiooj 1 1?xyxynnoo坐标写成列向量?1?1xxyynono 第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2023-3-309旋转矩阵R?1?1xxyynono xxBHBHHyynoPPRPno第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2023-3-3010仅仅只有平移ijBnoHPH坐标系的原点，在B坐标系中的坐标是a,bT ，则第三章第三
5、章 机器人坐标系统机器人坐标系统2023-3-3011仅仅只有平移ijBnoHP11HP ?BP BHaPPb 第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2023-3-3012先平移+后旋转ijBnoHnoHHHHHPRPBHaPPb BHHHaPRPb 第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2023-3-3013先旋转+后(相对于B平移a,b)ijBnoHnoB()BBHBBHBBBaaPRPRRPbb BBBBPRP?BHPPHBBBaPPRb 第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2023-3-3014有加法和乘法-整合BBHHaPRPb 11001BBHHaRPPb BHT第三
6、章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2023-3-30153.2 正交坐标系正交坐标系3.2.1 正交坐标系及矢量的基础知识正交坐标系及矢量的基础知识 右图是所谓的正交坐右图是所谓的正交坐标系标系B(x,y,z)B(x,y,z)，用来表示，用来表示机器人的基坐标，机器人的基坐标，其中其中 , , 分别分别是三个是三个坐标轴的单位向量坐标轴的单位向量。 B B系中有另外一个坐标系中有另外一个坐标系系H H（x xH，yH，zH），用来），用来表示手坐标表示手坐标, 其中其中 , , 分别是分别是H系系三个坐标轴的单位向量。三个坐标轴的单位向量。 ijknoazyxBHHzHxHyanoijkP
7、端点端点P P相对于机器人手坐标系相对于机器人手坐标系H H及基座坐标系及基座坐标系B B的定位的定位第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2023-3-30163.2.1.1 正交坐标系的性质正交坐标系的性质 kjiaaaooonnnaonzyxzyxzyx单位矢量单位矢量 , , 在基坐标系中可表示为在基坐标系中可表示为no a 根据矢量点积和叉积的性质，对于相互正交的单位矢根据矢量点积和叉积的性质，对于相互正交的单位矢量量 ， ， 有有ona 对于单位矢量对于单位矢量 , , 也有同样的性质。也有同样的性质。 ijkaononanao1aaoonn0naaoon第三章第三章 机器人坐
8、标系统机器人坐标系统2023-3-3017 令矩阵令矩阵 R称为正交坐标变换矩阵。称为正交坐标变换矩阵。 zyxzyxzyxTaaaooonnnRzyxnnnnzyxoooozyxaaaa当用列向量表示单位矢量时，有当用列向量表示单位矢量时，有zzzyyyxxxaonaonaonaonR于是，变换矩阵于是，变换矩阵R可以表示为：可以表示为：当用矩阵表示两个矢量的点乘时，有当用矩阵表示两个矢量的点乘时，有0onooonnnononononTzyxzyxzzyyxx第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2023-3-30183.2.1.2 正交坐标变换矩阵正交坐标变换矩阵R R的性质的性质 显
9、然显然TTTzyxzyxzyxTaonaaaooonnnR由上式可得由上式可得 从而可得结论：正交变换矩阵为正交矩阵。从而可得结论：正交变换矩阵为正交矩阵。 于是可得于是可得IaaoanaaooonoanonnnaonaonRRTTTTTTTTTTTTT1000100011- RRT第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2023-3-30193.2.1.3 正交坐标变换矩阵的几何意义正交坐标变换矩阵的几何意义 , 上式可写成上式可写成其中其中 kjiRaonT 1- RRT考虑到考虑到aonRkji 上式表明正交坐标变换矩阵上式表明正交坐标变换矩阵R实现了由手坐标系实现了由手坐标系H到基到
10、基坐标系坐标系B的正交坐标变换，它可以将一组的正交坐标变换，它可以将一组3个相互正交的单个相互正交的单位矢量变换为另一组位矢量变换为另一组3个相互正交的单位矢量，每一组单位个相互正交的单位矢量，每一组单位矢量均代表了一个正交坐标系。这也说明了将矩阵矢量均代表了一个正交坐标系。这也说明了将矩阵R称为正称为正交坐标变换矩阵的原因。在机器人学中经常要用到这种正交交坐标变换矩阵的原因。在机器人学中经常要用到这种正交坐标变换。坐标变换。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2023-3-30203.2.2 位置的描述位置的描述 一旦建立起一个坐标系，我们就可以用一旦建立起一个坐标系，我们就可以用3
11、3维的位置矢量来确维的位置矢量来确定该空间内任一点的位置定该空间内任一点的位置 。其中，。其中，x x、y y、z z是是p p点在笛卡尔坐标系的三个坐标轴上坐标分量。用这种方法可以点在笛卡尔坐标系的三个坐标轴上坐标分量。用这种方法可以很容易地表示出手坐标（原点）在基坐标系中的空间位置。很容易地表示出手坐标（原点）在基坐标系中的空间位置。TzyxP 3.2.3 姿态的描述姿态的描述 物体的姿态可由某个固接在物体上的坐标系来描述。设在物体的姿态可由某个固接在物体上的坐标系来描述。设在空间中除了有参考坐标系空间中除了有参考坐标系B B外，还有物体质心上的一个笛卡尔正外，还有物体质心上的一个笛卡尔正
12、交坐标系交坐标系H H，且，且H H系与此物体的空间位置关系是固定不变的，那系与此物体的空间位置关系是固定不变的，那么就可以么就可以H H系的三个坐标轴的单位矢量相对于系的三个坐标轴的单位矢量相对于B B系的方向来表示系的方向来表示H H系和系和B B系的姿态。系的姿态。 第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2023-3-3021第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2023-3-3022 假设假设 为为H H坐标系中某轴的单位向量，即它在坐标系中某轴的单位向量，即它在B B坐标系的方坐标系的方向可以向可以 与与B B系三轴夹角的余弦值为分量加以表达，见下图。系三轴夹角的余弦值为分量
13、加以表达，见下图。 ll 因此正交坐标变换矩阵因此正交坐标变换矩阵R R为一方向余弦矩阵，也被称之为为一方向余弦矩阵，也被称之为旋转矩阵（具体含义将在后面小节中阐述）。旋转矩阵（具体含义将在后面小节中阐述）。 故有故有kjillllcoscoscosaonaonaoncoscoscoscoscoscoscoscoscos 根据前面的推导可得根据前面的推导可得aonR jlxyzkBllli 矢量的方向矢径表示矢量的方向矢径表示第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2023-3-30233.3 运动坐标表示运动坐标表示 3.3.1 平动的坐标表示平动的坐标表示 设手坐标系设手坐标系H H与基
14、坐标系与基坐标系B B具具有相同的姿态，但有相同的姿态，但H H系坐标原系坐标原点与点与B B系的原点不重合。用矢系的原点不重合。用矢量量 来描述来描述H H系相对于系相对于B B系的位系的位置（如右图所示），称置（如右图所示），称 为为H H系相对于系相对于B B系的平移矢量。如系的平移矢量。如果点果点p p在在H H系中的位置为系中的位置为 ，那，那么它相对于么它相对于B B系的位置矢量系的位置矢量可由矢量相加得出，即可由矢量相加得出，即rrrp0称其为称其为坐标平移方程坐标平移方程。0r0rrprr0rHxPHzyxHyHzBpr 表示移动的坐标变换表示移动的坐标变换第三章第三章 机器人
15、坐标系统机器人坐标系统2023-3-3024 下面以绕下面以绕z z轴轴转动转动 角为例来角为例来研究绕坐标轴转研究绕坐标轴转动某个角度的表动某个角度的表示法。设示法。设H系从系从与与B系相重合的系相重合的位置绕位置绕B系的系的z轴轴转动角转动角 ，H系系与与B系的关系如系的关系如右图所示。右图所示。zz3.3.2 转动的坐标表示转动的坐标表示 (1) (1) 绕坐标轴转动某个角度的表示法绕坐标轴转动某个角度的表示法 naHxxyzHzHyHB,ozz H H系相对系相对B B系绕系绕z z轴转动轴转动zz角的坐标关系角的坐标关系第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2023-3-3025
16、 若将若将H系的系的3个单位矢量表示在个单位矢量表示在B系中，则有系中，则有100a0sincoszzn，-0cossinzzo，实现两个坐标系之间的转动关系的矩阵，又叫转动矩阵实现两个坐标系之间的转动关系的矩阵，又叫转动矩阵R，可表示为可表示为-1000cossin0sincoszzzzaonR 上面的分析说明了上面的分析说明了R矩阵可以用来表示绕坐标轴的转动，矩阵可以用来表示绕坐标轴的转动，这表征了这表征了R矩阵的另一种几何意义。矩阵的另一种几何意义。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2023-3-3026 设设B系与系与H系的系的z轴相重合，轴相重合，B系绕系绕z轴转动角轴转动角 就得就得H系，系，如下图所示。如下图所示。 z(2) (2) 两个坐标系的投影之间的关系两个坐标系的投影之间的关系xyHy),(HBzzzHxyxA CuPv 矢径矢径BPBP在在H H系与系与B B系的投影关系系的投影关系O第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2023-3-3027已知矢径已知矢径 在在H系三轴投影分别为系三轴投影分别为u,v,w。则由上图可知。则由上图可知OPzzvuA
