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1、第2课时7.3.1离散型随机变量的均值（-）教学内容离散型随机变量均值的概念，离散型随机变量均值的性质及应用.（二）教学目标1 .通过实例，抽象出取有限个值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念,体会随机变量的均值与样本的平均值的联系与区别，发展学生的数学抽象素养.2 .理解随机变量均值的线性性质，并能运用该性质解决简单的均值问题，发展学生的逻辑推理素养.3 .运用随机变量的均值解决简单的实际问题，体会数学的价值，发展学生的数学建模和数学运算素养.（三）教学重点和难点重点：离散型随机变量均值的概念、性质及应用.难点：离散型随机变量的均值含义的理解.（四）教学过程设计1 .情境导入赌本分配问题：
2、甲乙两人通过掷硬币进行赌博，每局正面朝上甲胜，反面朝上乙胜.双方各出50个金币，约定的规则是先胜三局者获得全部100枚金币，当赌博进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某种原因终止了赌博，那么该如何分配这100枚金币才比较公平？概率论起源于博弈问题.15-16世纪意大利数学家帕乔利、塔塔利亚和卡尔丹的著作中曾讨论过“如果两人赌博提前结束，该如何分配赌金等概率问题.1654年左右，费马与帕斯卡在一系列通信中讨论了类似的合理分配赌金问题，得出了相同的解决方案.他们的通信引起了荷兰数学家惠更斯的兴趣，后者在1657年发表的论赌博中的计算是最早的概率论著作.这些数学家的著述中所出现的第一
3、批概率论的概念（如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理），标志着概率论的诞生.设计意图：通过数学史上“赌本分配”问题引入，让学生明确本节课要研究的问题，提高学生学习的兴趣.2 .新知探究问题1：甲、乙两名射箭运动员进行射击比赛，成绩如表1所示（单位：环）：表1甲78910乙68910甲、乙两人谁的射箭水平更高呢？问题2：甲、乙两名同学进行了IOO次射击，成绩如表2所示（单位：环）：表2环数78910甲射中的频率0.10.20.30.4乙射中的频率0.150.250.40.2甲、乙两人谁的射箭水平更高呢？问题3：甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数X的分布列如表3所示:表3环数78910甲射中的
4、概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2如何比较他们射箭水平的高低呢？师生活动：教师引导学生利用样本均值的概念正确解答问题1和问题2,引导学生发现问题3与前两个问题的区别，并思考如何正确做出解答.追问：这三个表格区别就是前两个是频率，后一个是概率，频率和概率之间有什么关系？师生活动：教师引导学生回忆之前所学知识.前面我们学习过当试验次数越来越多时，事件发生的频率趋于一个稳定的值,这个值就是这个事件发生的概率.教师总结：如果问题2中这两位运动员进行无数次试验后，样本均值Xj+W人+x,J,中的频率就分别趋于一个固定值，即概率.因此，此时均值就改写为MP+x2p2+xp
5、,我们就把这个均值称为随机变量的均值.设计意图：以学生熟悉的生活问题为背景，从求学生熟悉的样本平均数出发,以问题串为主线，以师生互动为基本活动方式，采用小碎步，层层递进，逐步深入的方法，最终得出“离散型随机变量X取值的平均值就是离散型随机变量X的所有取值与其相应概率乘积之和”的结论.这样，既可使学生感受数学与生活的联系，又可激发学生的学习兴趣和热情.同时更是考虑到“离散型随机变量的均值”这一知识的最近发展区就是样本平均值与概率，有利于学生进行知识的正向迁移，也为下一步学生通过概括、抽象得出科学定义做好了铺垫.3 .抽象概念师生活动:教师引导学生结合上述例题,给离散型随机变量的均值下个定义.学生
6、先尝试定义，教师修正并进一步指出离散型随机变量的均值的定义.一般地，若离散型随机变量X的概率分布为表4所示：表4XxX2XiPPxPiPiPn则称E(X)=x1p1+x2p2+xllpn=EXiPii=l为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.4 .概念深化例1在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得。分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得的均值X是多少？师生活动：教师先让学生思考，然后引导学生分析：罚球有命中和不中两种可能结果，命中时X=L不中时X=O
7、,因此随机变量X服从两点分布X的均值反映了运动员罚球一次的平均得分水平.在分析学生解题的过程中，引导学生总结解题的一般步骤：(1)理解X的实际意义，写出X全部可能取值：X的可能取值为O和L(2)写出X取每个值时的概率：P(X=I)=O.8,P(X=O)=O.2.(3)写出X的分布列(有时也可以省略)：该运动员罚球一次得分X的分布列如表5所示：表5X10P0.80.2(4)利用定义公式E(X)=Pj求出均值：E(X)=OO.2+1O.8=O.8.f=l完成解答后，教师进一步总结得出：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=OX+=设计意图：通过实例，巩固离散型随机变量均值的概念同时引出
8、两点分布的均值公式，培养学生的数学运算和数学抽象的核心素养.练习抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X,求X的均值.师生活动：教师提出问题，让学生先求出X的分布列，再根据定义计算X的均值.本题宜采用学生自主完成，学生互评、教师点评的方式完成.师生共同给出具有一般性的解题步骤：(1)理解X的实际意义，写出X全部可能取值：X的可能取值为1,2,3,4,5,6.(2)写出X取每个值时的概率：P(X=I)=I,p(X=2)=,MX=3)=:,P(X=4)=,P(X=5)=,P(%=6)=.(3)写出X的分布列(有时可省略)：该运动员罚球一次得分X的分布列如表6所示:X123456P111111666
9、666(4)利用定义公式E(X)=S,p,求出均值：f=lE()=l(l+2+3+4+5+6)=3.5.6设计意图：进一步理解离散型随机变量均值的概念，熟悉并掌握离散型随机变量均值求法的一般步骤.观察:掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5.随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数.根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图(1)和(2)所示.观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？43.93.83.73.63.53.43.33.23.13O(1)234567n39S.7.6.54.32J3.3.工3.工3.二工工
10、234567教师总结:根据以上定义,我们就可以知道,期望的计算是从概率分布出发，因而它是概率意义下的平均值.对于确定的随机现象，随机变量的均值是确定的常数，不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机的数值，它随着样本抽取的不同而变化.因此我们也可以得出随机变量的均值与样本平均值的区别与联系:区别:随机变量的均值是一个确定的数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值具有随机性，它随样本的不同而变化.联系:样本均值围绕随机变量均值波动，随着重复试验次数的增加，样本均值波动幅度一般会越来越小.因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值.设计意图:对所学内容进行总结旨在使学生弄清离散型随机
11、变量的均值与样本平均值之间的区别与联系，有利于加深对离散型随机变量均值的理解和认识.5 .性质探究探究:如果X是一个离散型变量，X加上一个常数或乘以一个常数后，其均值会怎样变化？即E(X+b)和E(X)(其中。力为常数)分别与E(X)有怎样的关系？试一试:若随机变量y=x+人，请根据X和丫的分布列则E(X)与Ry)满足什么样的关系呢？XNX2Yax-bCix2+b%l+bPPlPlPn师生活动：教师提出问题,学生由于有了例1和例2的经验，具备了自主解决问题的能力.本问可以让学生自主探究回答，教师点评并整理最后结论.教师总结推导过程：设X的分布列为P(X=X)=Pi,i=,2,，n.根据随机变量
12、均值的定义，E(aX+/?)=(r1+b)pi+(ax1+b)p2+-(r+b)=(xPl+工2P2+P)+Mb+P2+Pn)=aE(x)+h.设计意图：先让学生直观想象，后理论推导的方法，加深学生对离散型随机变量线性性质的掌握和理解.6 .典例分析例2猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌A,8,C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7所示：歌曲ABC猜对的金额0.80.60.4获得的公益基金/元100020003000规则如下:按照A,B,C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额X
13、的分布列及均值.思考:如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大呢？师生活动：教师先演示例1的解题过程，学生分成5组，分别求剩下5种不同顺序的公益基金总额的分布列及均值，通过计算结果让学生理解与猜歌的先后顺序的关系.例3根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01,该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失IooOo元.为保护设备，有以下三种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元.方案2:建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水.方案3:不采取措施，希望不发生
14、洪水.工地的领导该如何决策呢？师生活动：教师引导学生分析决策的原则：总损失最小（期望值最小）原则.学生可以根据教师的分析自行算出三种方案下期望值，从而做出决策.教师总结:例1、例2也是利用期望值决策的问题.随机变量的期望是一个理论上的均值，如果是大量重复地就同样的问题进行决策，期望值原则就是一个合理的决策原则.例如，保险公司面对众多的客户，每份保单需要理赔的期望值对制定合理的保险费率具有重要的参考意义.但如果是一次性决策的话，可以采用期望值原则决策，也可以采用其它的决策原则.设计意图:通过例1、例2让学生初步体会利用均值的决策思想，理解期望值原则就是一个合理的决策原则，同时注意引导学生在具体的决策问题中要结合实际情况，培养学生的数学抽象和数学运算等核心素养.7 ,总结提升请同学们回顾本节课的学习内容和学习过程，并回答下列问题：（1）离散型随机变量的均值定义是什么？它的作用是什么？我们是如何得到离散型随机变量的均值定义的？（2）离散型随机变量的均值与样本的平均值有什么区别和联系？（3）利用期望值原则进行决策时需要注意什么问题？思考：你能运用数学期望的知识解决前面的“赌本分配”问题吗？设计意图：促进学生掌握和理解本节课所学习的主要知识以及运用时应注意的问题，帮助学生养成归纳总结的习惯.8 .作业布置必做题：（1）课本第
