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1、2.3.4平面与平面垂直的性质课时过关能力提升一、基础巩固1 .已知平面a_L平面S，直线_L,则()A.B。aC.D.4u或2 .如图,在三棱锥P-ABC中,平面PABj_平面A8C,P4=PB,AD=OB,贝J()A.PQu平面ABCB.PO_L平面ABCC.PD与平面ABC相交但不垂直D.PD平面ABC解析：|因为PA=PBAD=DB,所以PDLAB.因为平面PA3_L平面ABC,平面PABfl平面ABC=A氏PoU平面PAB,所以PD上平面ABC.量B3.已知m,n,l是直线,是平面,GJj9&n夕,则直线机与的位置关系是()A.异面B.相交但不垂直C.平行D.相交且垂直解析:aLB,
2、aC=l,nu,nl,:JLa.又4 .如图,点P为四边形ABCD外一点,平面PAo_L平面ABCD,PA=PD,E为Ao的中点,则下列结论不一定成立的是()A.PELLACB.PELBCC.平面平面ABCQD.平面PBEj_平面PAD解析因为PA=PD,E为AD的中点,所以PE_LAD又平面PAQ_L平面ABa),平面PADD平面ABCQ=AD所以PE_L平面A8CO,所以PE_LAcPE_L5C,所以选项A,B成立.又尸EU平面PBE,所以平面尸BE_L平面A8CD,所以选项C成立.故选D.5 .己知等边三角形ABC与等边三角形BC。所在的平面垂直,且BC=2,则三棱锥A-BCD的体积为(
3、)A.lB.3C.2D.23解析取BC的中点比连接AE因为AABC为等边三角形,所以AElBC.因为平面ABCl平面BCD,所以AEl.平面BDC.所以Va-Bcd=-SbcdAE=-43=1.r,334彝A6 .如图,沿直角三角形ABC的中位线Z)E将平面AoE折起,使得平面平面BCDE,得到四棱锥A-8CQE,则平面ABC与平面ACD的关系是.答案:睡直7 .如图,平面aJ_平面平面I平面夕=4B0,8AAAL4B,88LLAB;且44=3,86=445=2,则三棱锥A-A58的体积V=.解析：|：L,aC=A,B,4,a,4,A,BAA,V.ZV=-SaAA/=-(-ABBBaA,=ii
4、243=4.332/328 .如图,P是菱形ABC。所在平面外的一点,且NDAB=60,AB的长为a侧面尸4。为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCO8与平面48C。所成的角为。,贝IJ=.I解析：|如图,取AD的中点G,连接PG,BG,BD.因为是等边三角形，所以PG_LAD又平面PAoj_平面ABCO,平面PAon平面ABCE)=AO,PGu平面PAD,所以尸G_L平面ABCD,/PBG是PB与平面ABCD所成的角0.在APBG中,PG_LBG,8G=PG,所以NPBG=45,即夕=45.国冤45。9 .如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFEl5FffiABC,NAC8=90,BE=
5、EF=FC=I,BC=24C=3.(1)求证:8E_L平面ACFD;(2)求直线BD与平面AeFZ)所成角的余弦值.(1)|证明如图,延长AD,BE,CF相交于一点K.因为平面BCFEj_平面ABC,且ACj_8C,所以AeJ_平面BCK.Sl此BFA.AC.又因为石/BCBE=EF=FC=1,BC=2,所以ABCK为等边三角形,且尸为CK的中点,则BFLCK.因为AenCK=C,所以BFl.平面ACFD.(2画因为BFL平面ACK,所以NBD厂是直线BjD与平面ACFD所成的角.在RtABFD中班=5,DF=I,得CoSZBDF=手.故直线3。与平面ACFD所成角的余弦值为手.二、能力提升1
6、.在空间中,下列命题正确的是()A.若三条直线两两相交,则这三条直线确定一个平面B.若直线m与平面内的一条直线平行,则maC.若平面J人且夕=/,则过a内一点P与I垂直的直线垂直于平面D.若直线。戾且直线则db解析：|选项A中,若有3个交点,则确定一个平面,若三条直线交于一点,则不一定能确定一个平面,如在正方体ABCz）-ABCIol中AAl/B,A。两两相交,但由AAI48,AO不能确定一个平面,所以A不正确;选项B中,缺少条件m是平面外的一条直线,所以B不正确；选项C中,不满足面面垂直的性质定理的条件,必须是内垂直于/的直线,所以C不正确;由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直,那么另一
7、条也与第三条直线垂直,所以D正确.量D2.如图,三棱锥P-ABC的底面在平面内,且AuLPc,平面PAeL平面PBC,点P,A,B是定点,则动点。的轨迹是（）PA.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆,但要去掉两个点I解析：|因为平面PAC_L平面PBGAeLLPC,平面PACn平面PBC=PGACu平面P4C,所以AUL平面PBC.因为BCu平面尸8C,所以AuL3C.所以NAC8=90.所以动点。的轨迹是以A8为直径的圆,除去A和B两点.3.如图,平面a_L平面4AWQ,B4A3与两平面/所成的角分别为：和46过点4B分别作两平面交线的垂线,垂足分别为4,巴则48:49等于（）A.2；
8、1B,3；1C.3：2D.4/3解析如图,连接AB；AB则由已知得AAU平面仇BB1平面aiZABA,=-fZBAB,=64设AB=4,则BA,=-afBB,=a.在RtBA,B,yA,B=-a,故组=2AB1/A4.将正方形48C。沿对角线8。折成直二面角A-BO-C,有如下三个结论.CBDACD是等边三角形;AB与平面BCD成60的角.结论正确的序号是.解析如图,取BD的中点及连接AE,CE,则BDLAE,BD_LCE,而AEOCE=EiA：3。_L平面AEC又ACu平面AEC,：AcLLBQ,故正确.设正方形的边长为,则AE=CE=q.易知NAEC=90是直二面角A-BD-C的平面角，t
9、AC=a,ACO是等边三角形,故正确.由题意及AEVBD知/_L平面BCD,则ZABE是AB与平面BCD所成的角,而NABE=45,故不正确.奉5.在三棱柱ABC-AEe中,侧面44CC是垂直于底面的菱形,8C_LAC；则45与Ae所成角的大小为.解析因为BC，4。/。4。,所以BCLAC.因为平面AACC_L平面4BC,平面AACCYI平面ABC=ACy所以BUL平面A,ACC所以BCAC,.因为四边形44CC为菱形，所以ACL4C.因为BCnAC=C所以ACu平面AC氏所以AC,1A,B.所以AB与AC所成的角等于90.客氟90。6.如图,正方形AoE/与梯形ABCO所在的平面互相垂直,A
10、O_LCzM3CzMB=Ao=2,CD=AM为CE的中点.求证：M(I)BM平面AOE产；平面BQE_L平面BEC.I证明:|(1)如图,取DE的中点M连接MNAN.在AEDC中,MN分别为EC,ED的中点,所以MNCD且MN=CD.因为ABCQ,AB=TCD,所以MNA民且MN=AB,所以四边形ABMN为平行四边形.所以BM/AN.因为ANU平面ADEF,且BMU平面ADEF,所以平面ADEE(2)因为四边形ADEF为正方形,所以EDLAD.因为平面AOEZLL平面A3C。,且平面AofTYl平面ABCD=AD,EDu平面ADEF9所以O_L平面ABCD所以EDVBC.在直角梯形ABCD中,
11、48=Ao=2,C0=4,可得BC=22.在ABCD中,8O=8C=2Q=4,所以BeLBD.又BDED=D8C_L平面BDE.因为BCu平面BEC,所以平面BDE上平面BEC.7.如图,在四棱锥A-BCDE中,平面ABCl5FffiBCDE9ZCDe=ZBED=90oAB=CD=2,DE=BE=IAC=(I)证明:AC_L平面BCDE;(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值.证明4如图,连接BD.在直角梯形BCQE中,由DE=BE=I,CD=2,得BD=BC=2.由AC=42,AB=2,得A)=AC2十吕。2,即AC-LBC.又平面ABC_L平面BCDE,从宿AC_L平面BCDE.(2厘在直角梯形BCDE中,由BD=BC=2,DC=2,得BDLBC又平面A8C_L平面BCDE,所以BO_L平面ABC.作EFBD,与CB的延长线交于点E连接AF,则E凡L平面4BC.所以NEA厂是直线AE与平面ABC所成的角.在RtABEF中，由EB=I,NEBF=45,得EF=号，BF=号.在RtACF中，由AC=2,CF=乎，得AF=亨.在RtZkAE尸中，由EF=乎,4F=亨，得tanNEA尸=答.所以直线AE与平面ABC所成的角的正切值是普.
