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1、习题课一求数列的通项 课堂互动HiMI题型剖析I题型一利用累加、累乘法求数列的通项公式【例1】(1)数列厮满足 = l,对任意的N都有+I=m+即+，求数列斯的通项 公式；(2)已知数列%满足i=,即+ =UT”，求斯.解(I)Tazj+ =“+1, .an+an=n- 1,即。2=2, 3=3,，an。”一=(22).等式两边同时相加得。一=2+3+4+m(m2),即。=。+ 2+3+4+= 1+2+3+4+=-2，22.又色=1也适合上式，；斯=()，WN二(2)由条件知智=七，分别令 =1, 2, 3,，- 1,代入上式得(一 1)个等式，累乘，a” H I !即空色乌.巫=:,烹X.曰
2、 522).a a2 6 an- 2 3 4 n吟=M又%=”=套 62.又a=)也适合上式，斯=而，N*.规律方法(1)求形如为+|=%+/()的通项公式.将原来的递推公式转化为a,l+-a,l=fin)f再用累加法(逐差相加法)求解，即a,=a+(a2-a) +(a3-a2)lF(a“-0L)=m+yU)+(2)+y(3)Fj(n-1).(2)求形如an+=fin)a,t的通项公式.将原递推公式转化为况 =)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由念=及1),且=/(2),， a” 白2夫=加一1),累乘可得祟=yu(2)&一 1).【训练1】 数列“中，a=2, an+-an=2nf求册的
3、通项公式.解 因为q=2, an+-an=2,t 所以做一a=2,6一“2=2?,久“3=2,，a,t-a,l- =2T, 22,以上各式累加得，an-a1=2+22+23+2w,故诙=2)+2=2”,当 =1时，也符合上式，所以%=2”.题型二构造等差(比)数列求通项公式【例 2】在数列斯中，i=1, 6anall i+a,-an-=0(n2, N*).证明：数列是等差数列；求数列%的通项公式.(2)已知数列%中,ai=2f an+i=2an-3f 求 小.(1)证明 由 6a,la,l-1 w+ I = O,整理得十一一Lua，2)，故数列J1是以3为首项，6为公差的等差数列. .LlIU
4、HJ解 由可得;=3+(-l)X6=6-3, an所以 an=_y n N.(2)解 由 an+1 1a,3 得 an+3=2(。“一3),所以数列斯一3是首项为1-3 = -1,公比为2的等比数列，则卬-3=(1)2T,即an = -2n, + 3.规律方法(1)课程标准对递推公式要求不高，故对递推公式的考查也比较简单，一般先构造 好等差(比)数列让学生证明，再在此基础上求出通项公式，故同学们不必在此处挖掘过深.(2)形如a“+i=*+q(其中p, q为常数,且pq(p 1)0)可用待定系数法求得通项公式，步 骤如下：第一步假设递推公式可改写为0f+=p(0f+l);第二步由待定系数法，解得
5、尸告；P-I第三步写出数列卜”+尚)的通项公式；第四步写出数列斯的通项公式.【训练2】已知各项均为正数的数列瓦J的首项为1,且前项和S满足SE=低+小3(22).试求数列力“的通项公式.解&-&-1=低+(22),，(低+低)诋-低7=低+小工(心2).又低0,，低一3 = 1.又启=1, 数列(低是首项为1,公差为1的等差数列, S=1 (w-l)l=w,故 S=/.当 时，bn=SnSn-1=w2n1)2=2-1.当W=I时，b = 符合上式.*. b2n 1.题型三 利用前项和S”与斯的关系求通项公式 【例3】(1)已知数列4的前腹项和为a,若例=如一4, N”，则即等于()A.2n+,
6、B.2C.2n ,D.2 2(2)已知数列%中，前项和为S”，且=%上斯，则的最大值为() 3(in-A.-3B.- 1C.3D.1解析(1)因为 Sf=2%-4,所以22 时，S-=2azl-1-4,两式相减可得 与-S-1 = 2%-fldn- 即一整理得 an2c,I-1,所以 a-=2.因为 S =ci =2d 4,即 a =4, 所以数列%是首项为4,公比为2的等比数列，则%=4乂27=2+1,故选A.(2)由 S”=一4”得，当22 时，Sn-I= -&T，两式作差可得：恁=S-Se= 手卬一中”，整理得詈=S=1+高，D3Cin- n 1 n 1由此可得，当=2时，4取得最大值，
7、其最大值为3.1答案(I)A (2)C规律方法 已知*=/()或*=/()的解题步骤：第一步 利用S,满足条件P，写出当 22时，SLl的表达式；第二步 利用“=S“一SLIme2),求出或者转化为4的递推公式的形式；第三步 若求出22时的斯的通项公式，则根据R=Si求出a,并代入22时的伍“的 通项公式进行脸证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.如果求出的是“的递推 公式，则问题化归为例2形式的问题.【训练 3】 在数列“中，i = l, 2a233Fa=a“+i(EN),求数列为的通项公式外.、 +1 /日解 由。+2。2+3的+0t+,得 当 22 时，2t723t73( -两式
8、作差得 nan=an+ 得(+即数列为从第二项起是公比为3的等比数列，且句=1, 2=U于是2做=2,故当22 时，nan=23n2.N*.逐步落实j 1, =1, 于是a”=(2X3-2-：-，心2,素养达成一、素养落地1 .通过学习数列通项公式的求法，提升数学运算与逻辑推理素养.2 .求数列通项的方法有：(1)公式法，(2)累加、累乘法，(3)构造法等，但总的思想是转化为特 殊的数列(般是等差或等比数列)求解.二、素养训练1 .数列1, 3, 6, 10, 15,的递推公式可能是()1 (=1)A 4n。+|+一1 (7n 22)1 (=1)B. =0,所以 a=+l.答案+14 .已知数
9、列%中, = l,对于任意的22, nN*,都有切生的%=7，则须=.2解析 由。阕23得田。2药“-|=(1尸(22),所以为=(ZIr) 2(22),所以100内。一石.处案项口味815 .已知数列斯满足勾=1, %+二一*N求数列斯的通项公式. 斯十L解由*=u得士 v+屋+1=2）,则色的值为（）A.lB.2C.3D.4解析 ,*=3,+”=4,.*=%+2,即奇数项、 偶数项构成的数列均为常数列，又Z=3, 42 02i=3.答案CA.2C.4 .己知数列为的首项为0 = 1,且满足%+=%”+,则此数列的通项公式等于（）B.n(nl)n (+1)D.予解析； %+1=呼卜2,2。+
10、1=2。+2,即 2+%+-2%”=2.又 2% = 2,数列2%是以2为首项，2为公差的等差数列，2z=2+(w-1)2=2, _n_ a - 2 1 答案C5 .已知数列,J的前项和为S”且勾=2, Sjl+ =4zt+2,则2=()A.2O 480B.49 152C.60 152D.89 150解析 由题意得S2 = 4tZ+2,所以+2 = 41+2,解得2 = 8,故。2 2。1=4,又卜2 = 5” +2-S+1 =4。“+14。“，于是 an+22an+ = 2(an+12a,t),因此数列%+-2。是以外-24=4 为首项，2为公比的等比数列，即*-2%=4X2T=2叫于是荆一患=1,因此数列倒 是以1为首项，1为公差的等差数列，得赁=1+(-1)=，即4=m2.所以。2=12乂212= 49 152,故选 B.答案B二、填空题6 .在等比数列小中，3，例，。3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且。1，。2，中 的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818则数列恁的通项公式为.解析 当0=3时，不合题意；当白=2时，当且仅当。2=6, 6=18时，符合题意；当S = IO时，不合题意.因此。1=2,。2=6,的=18,
