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1、模拟试题模拟试题一、解答题：（15分）1.简述圣维南原理，举例说明其应用。（5分）2.什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？分别写出弹性力学平面应力问题和平面应变问题的物理方程。（5分）3.什么是逆解法？什么是半逆解法？叙述解题路径。（5分）二、写出下列受力体的应力边界条件（固定端不必写）（20分）1.图1、2所示悬臂梁（用直角坐标形式）。（10分）2.图3所示三角形悬臂梁（用极坐标形式）。（5分）3.图4所示楔形体（用极坐标形式）。（5分）0qxyo0图3oyx22q0图4Poxyhl图2lxyo0q0qlx0hPM图1三、已求得一点的应力状态，试求主应力与主应力方向，并图示。(15分）（
2、1）已知 见图5所示。（2）已知 见图6所示。 ,5010,50,100MPaMPaMPaxyyx,500,1500,1000MPaMPaMPaxyyx图5xxyyxyxyoxy图6yyxxxyxyoxy图7四、设图7所示简支梁只受重力作用。梁的密度为，试求应力分量。（15分）lhxyghlgoghll图8q五、设有一刚体，如图8所示，具有半径为b的圆柱形孔道，孔道内放置外半径为b、内半径为a的圆筒，圆筒受内压力q，试求圆筒的应力。（20分）六、试用虚位移原理求图9所示梁的挠曲线，并求出 处的挠度值(忽略剪切变形的影响)。设挠度曲线为：2lalxnawnnsin1laPoxz图9（15分）模拟
3、试题答案模拟试题答案一、解答题：1.答：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。这就是圣维南原理。如图a所示柱形构件，在两端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力P。如果把一端的拉力变换为静力等效的力，如图b，只有虚线划出的部分的应力分布有显著的改变，而其余部分所受的影响是可以不计的。PPP2/P2/P图a 图b2.答：等厚度薄板，承受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。这种问题称为平面应力问题。很长的柱体，在柱面上承受平行于板面并
4、且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿长度变化。这种问题称为平面应变问题。平面应力问题的物理方程为：xyxyxyyyxxEEE)1(2)(1)(1平面应变问题的物理方程为：xyxyxyyyxxEEE)1 (2)1(1)1(1223.逆解法：先设定各种形式的、满足相容方程 的应力函数 ，用公式 求出应力分量，然后根据应力边界条件来考察，在各种形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。逆解法基本步骤：024422444yyxxyxYyxXxyxyyx22222,设定求出应力分量求出面力（合力）解决什么问题代入代入应力分量公式应力边界条件确
5、定半逆解法：针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分和全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函数 ，然后来考察，这个应力函数是否满足相容方程，以及，原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量，是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足，自然就得出正确的解答；如果某一方面不能满足，就要另作假设，重新考察。半逆解法基本步骤：设定导出应力表达式得到正确解答满足边界条件满足04是是否否应力分量公式应力边界条件二、（1）222222000022202, 0, 0, 0,hhhhhhxxyxxxxhyxyhyyhyxyhyyPdyMydydy
6、lxq（2）22220022022,2cos,cos, 0, 0hhhhxxyxxhhxxhyxyhyyPdyhPydyPdy（3）0000, 0, 0,ararq（4）2cos,2sin, 022022qqaraara三、（1）主应力和主应力方向为：MPa0150501025010025010022214454,4142. 1tan1tan6135,707. 05010100150tan21211主应力方向如图c。（2）主应力和主应力方向为：MPa18096915002500225002221431,618. 05001000691tan11主应力方向如图d。yyxx122xy1xy1图dx
7、oyxxyy2211xyxy1图cxoy四、解：1.用半逆解法，设 ，则：)(yfy)()()(2)()(),(212122yfyxfyfxyfyxfxyfxy代入双调和方程后得：2345232322345223123224244144422424414244610)()(2610)()(,)(0)(2)(, 0)(, 0)(0)(2)()()(21GyHyyByAGyFyEyxDCyByAyxKyHyyByAyfGyFyEyyfDCyByAyyfdyyfddyyfddyyfddyyfddyyfddyyfdxdyyfdxdyyfd（2）（1）2.应力分量的表达式为：PxGFyEyCByAyxD
8、CyByAyKHyByAyFEyxBAyxxyyx)23()23(2622)26()26(22223232其中，特解取 ,而 。由对称性可知，正应力（剪应力）应是 的偶（奇）函数，因此， 。式（3）简化为：PxgPx0GFEPxCByAyxDCyByAyKHyByAyBAyxxyyx)23(2622)26(2223232（3）（4）3.由边界条件确定常数，进而求出应力解答：2222220, 00, 0hhhhlxxlxxhyxyhyyydydy将式（4）代入以上各式，可求得：101,2,2, 0222hlPHPChPAKDBJbQSxhyPyhyPyhyPyJMyPyhPyxlhPxyyx22
9、2222322224164125345346五、解：由题可知本题为一个轴对称问题，故环向位移 。0u另外还要考虑位移的单值条件，因此，应力分量和位移分量分别如下：1.应力分量为：CrACrAr22222.平面应变问题的位移分量为：1121112CrrAEur3.确定常数A、C：利用边界条件则有：当 时，ar qarr即得：当 时，br 0brru（1）011211CbbA（2）由（1）得：qaCaA222（3）（2）、（3）联立解得：21212122222222babqaAbaqaC4.筒壁应力：qbarrabaqbaaqbarbar2121212121222222222222222qbabr
10、r2222121121qbarrabaqbaaqbarba2121212121222222222222222qbabr2222121121而：六、解：应变能：12434202242nnlanlEIdxdxwdEIU使挠曲线级数中任一个系数 有一变分,就可得到一个从真实位移算起的虚位移：nalxnawnsin与之相应的应变能的变化为：nnnnaanlEIaaU4342外力P在虚位移过程中所作的功为：lanaPnsin应用虚位移原理,可得：lanaPaanlEInnnsin2434443sin2EInlanPlan由此得：挠曲线为：1443sinsin2nnlxnlanEIPlw当P力作用在梁跨度中央处,得： 44432513112EIPlwlx如只取级数的第一项,可得： EIPlEIPlwlx7.4823432
