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1、习题答案习题答案( (一一) )(28)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 第九章重积分 9.1 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质(1)其中解:(2)其中D 是由曲线及直线围成的闭区域;依题意画图如下其中解:1.由二重积分的几何意义计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 3,DId: 11,02;Dxy 3DId33 1 ( 1) 2 12.2yx2yxoyxxy22 xy2143DId3 ,可用定积分计算:221(2)yydy23 2111(2)23yyy9,2932I 13.5(3)其中D是由解:221xyD 的面积为,3 .I所以其中D是由x 轴与y 轴及直线 围
2、成的闭区域;2.比较下列二重积分的大小:机动 目录 上页 下页 返回 结束 312(1).()()DDIxy dIxy d与1xy所围成; 解: 依题意画D的图形: xy01xyD1,( , ),xyx yD3() ,xyxy3()().DDxy dxy d即 12.II (2). 212ln()dln()DDIxyIxyd与其中D 解:依题意画图如下:2ln()ln()xyxy2ln()ln().DDxy dxydln(),DIxy d2,|,0 x yexeye( , )x yD1ln()1ln(1),xye 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xee02eyD当时,3.利用二重积分的性质
3、估计下列积分的值:(1)其中1ln()1ln(1),xye 2,|,0Dx yexeye即12.II解:当( , )x yD时,而D的面积为22()(1).e eee e2(),exyee所以 222(1)ln()(1)(1)ln(1).De exy de ee ee(2)22ln(2),Dxyd22,|3;Dx yxy时,而D的面积为3 ,其中( , )x yD22225,xy22ln2ln(2)ln5,xy223 ln2ln(2)3 ln5.Dxyd解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 当所以有9.2 9.2 二重积分的计算9.2(1) 利用直角坐标计算二重积分1.计算下列二次积分(1)
4、20(1)x edx(2)2100yxedx2100ydxxe dy2201(1)|2ex2(1).e机动 目录 上页 下页 返回 结束 100 xydxe dy100yxedx10(1)xedx10()xex2.e(3)100()xdxxy dy12001()2xxyydx12032x dx3 101|2x1.2(4)10 xxxdxye dy1201|2xxxeydx1201()2xxx e dx1201() ()2xxxd euv1212001()|()2xxxx ee d xx101(12 )2xex dx 2.将二重积分uv2,2yyx0 x ,Df x y dxdy机动 目录 上页
5、 下页 返回 结束 110012xxe dxxe dx 11001|()2xxexd e 11001(1)(|)2xxexee dx101(1)(| )2xeee1(1)12e1(3).2e化为二次积分:(1) D 是由及所围成的区域;解: 画D的图形:yx02D2yx,Df x y dxdy1202,xdxf x y dy2200,ydyf x y dx1(2)D是由22,02yx yxy及所围成的在第一象限内的区域;3.画出积分区域,并计算二重积分(1),Df x y dxdy22210,xdxf x y dy100,xdxf x y dy2120,.yydyf x y dx机动 目录 上
6、页 下页 返回 结束 解: 画D的图形:1xyyx222xy20,DIxydxdy其中D为22yxyx及所围成的闭区域.解:画D的图形:机动 目录 上页 下页 返回 结束 xy2oyx2 xy2142221yydyxydxDIxydxdy222211|2yyyxdx22411(2)2y yy dy232511(44)2yyyy dy4326211 141(2)|2 436yxyx45.8(2)(32 ),DIxy dxdy其中D是两坐标轴及直线2xy所围成的闭区域.解:画出D的图形解:画出D的图形(32 )Dxy dxdy2oyx2xy2D机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中D为矩形域:4
7、.计算2200(32 )xdxxy dy22200(3)|xxyydx2203 (2)(2) xxxdx220(422)xxdx23202(4)|3xxx20.3cos2,Dxxydxdy0, 11;4xy 0 xy411cos2Dxxydxdy11cos2xxydy40dx14011cos2(2)2dxxydxy14101sin2|2xydx4012sin22xdx401cos2 |2x 1.2D5. 计算二重积分其中D是以为边的平行四画出D的图形22()d dDIxyx y22()dyy axyx22()Dxydxdy解:D边形.机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,3 ,(0)yx yx
8、a yaya a和D0 xya3ayxyxa3aady3321()|3ayy aaxxydy3333211()()33aayyyaya y dy32231(2)3aaaya ya dy32233211()|323aaaya ya y414.a6.计算二重积分2d d ,DxIx yy由直线及曲线,2yx x1xy 解: 画出D的图形2d dDxIxyy12xxxdyy21d x所围成的闭区域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中D是由yx0221yx12x 211(| )xxxdxy221(1)xdx3211()|3xx4.37.交换下列积分次序,并计算:(1)110yydye dx解:
9、由已给积分次序知1:01,yxDy 画出D的图形:xy01x yx11DD1xy 0 xye dy110yydye dx10dx100|yxedx10(1)xedx机动 目录 上页 下页 返回 结束 xy01x yx11D2.e10()|xex21130;1xxydxdyy(2)解: 由已给积分次序知201:1,xDxy 画出D的图形:xy0112yx211301xxydxdyy301yyxdxy10dy120301|21yyxdyy2130121ydyy31301(1)61dyy31011|3y1( 21).38. 计算下列二重积分(1)d d ,xyDIyex y2x 1xy 及曲线 解:
10、 xyDIye dxdy为便于积分,选择先对 x 再对 y 积分:2,1,yx其中D 是由直线1D所围成的区域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 画出D的图形:12112()xyydye d xy2211()xydye d xy1222112()()yyyee dyeedy2211|xyedy12112|xyyedy212211211()|()|22yyyeeyee4212ee01x 2x xy2212y D1xy (2) 1,02yx yx及9.计算下列二重积分: 其中D是直线所围成;21d d ,DIxx y机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 画出D的图形:yxxy01212D21
11、d dDIxx y122001xdxx dy122001|xx ydx12201x xdx1222011(1)2x dx 3122201 2(1) |2 3x 13 3(1).38(1) 22yDedxdyD 是由 0,1xyx y所围成的区域. 解:画出D 的图形:其中D是由直线(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 xy0D1yx22yDedxdy21200yyedydx21200|yyexdy2120yeydy22120()2yyed 2120|ye 121.e sin,DyIdxdyyyx2yx及曲线所围成的闭区域.解: 画出D的图形:xy2yx0yxDsinDydxdyy210si
12、nyyydydxy120sin()yyy dyy10sin (1)yy dy1100sinsinydyyydy1 sin1. 10. 求平面0,0,2xyxy所围柱体被平面0,326zxyz截得的立体的体积.解:(632 )DVxy dxdy2200(632 )xdxxy dy画出立体的图形:机动 目录 上页 下页 返回 结束 22200(63)|xyxyydx2206(2)3 (2)(2) xxxxdx220(288)xxdx32202(48 )|3xxx16.360326xyz2xyxyz2329.2(2)9.2(2)利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分其中:22DIxy d224
13、.xy解:1.(1)计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 画出D的图形:yx222DIxy d2200dr rdr3 2012|3r16.3(2)计算 其中D 是由半圆周2,DIx yd24yx及 x 轴所围成的上半个闭圆域.解: 画出D的图形:xy024yx2DIx yd22200cossindrrrdr22400cossin dr dr 35 20011cos|35r 64.15(3)计算其中D:解:(4)计算 画出D的图形:机动 目录 上页 下页 返回 结束 22ln(1),DIxyd224;xyyx222ln(1)DIxyd22200ln(1)drrdr222012ln(1) ()
14、2rd ruv22222200ln(1)|ln(1)rrr dr22220(1)4ln51drrr22220(1)4ln5(11)1drrr2222004ln5(1)|ln(1)| rr(5ln54).(4),DIxy d其中D:224;xy解: 画出D的图形:yx2(4)DIxy d2200(4cossin )drrrdr22(),xyDIedxdy222,(0);xyaa221,DIxyd2.利用极坐标计算下列二重积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 223320011(2cossin )|33rrrd2088(8cossin )33d2088(8sincos )|3316 .(1)其中
15、D是闭区域解:画出D的图形:yxa22()xyDIedxdy2200arderdr22012 ()()2aredr20|rae 2(1).ae(2)其中D:224;xy3.利用极坐标计算下列二重积分2122220001(1)(1)drrdrdrrdr机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 画出D的图形:221,DIxyd1D2D2x1y122222(1)(1)DDxydxdyxydxdy2414220111112 ()|2 ()|2442rrrr5 .(1)22,:DxdxdyD xyx解: 画出D的图形:xy01cosr(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 xy01cosrDxdxdy
16、cos202cosdrrdr3cos2202cos dr dr 15cos222022cos|5rd32022cos5d 222153 8.153222cos5d 22,DIxy d22,(0)xyax a其中D是由围成的闭区域.解: 画出D的图形:xy0acosra22DIxy dcos202adr rdr4.计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 322133a 34.9a22,DIxy dxdy22224.xy其中积分区域D为:解: 画出D的图形:cos202adr rdr3cos2021|3ard3322cos3ad 33202cos3ad yx2D22DIxy dxdy220dr rdr3 212|3r414.3在第一象限的部分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 22,Dxydxdyxy2212xy6.将下列积分化为极坐标形式再进行计算.5.计算二重积分解: 画出D的图形:D222200(1).()aaxdxxydyD其中积分区域D为:xy12022Dxydxdyxy22201cossinrrdrdrr2201cos sin drdr 22220111sin|22r1.4解
