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1、DdyxfD其中积分区域化为二次积分重积分将二,),( 1.4)21) 12222所围成和（是由两圆周（yxyxoyxcos2cos4DDddfdyxf)sin,cos(),(22cos4cos2)sin,cos(dfd解解xyxxyx422222 高等数学练习题高等数学练习题利用“先二后一”计算.zyxVdddzDcyxzddd20abc34czczab022d)1 (2222221:czbyaxDz2.计算椭球体1222222czbyax的体积 V.解法解法1xyzabczDz解法解法2利用三重积分换元法. 令cos,sinsin,cossinrczrbyrax则),(),(rzyxJ,s
2、in2rcba:zyxVdddrJdddabcabc34rrabcdddsin2rr d1020dsin20d20010 ro oxyz2 3 .求三重积分dvzyxI)(22.2222围成及平面是由曲面其中zyxzo oxyz2解解)(2122yxz2z),(yx.2)(21, 4| ),(2222zyxyxzyx.221, 20 ,20| ),(2zrrzrdvzyxI)(22dzrdrdzr224sincosDrzdzdrdr222252sincos15256)cos1 (cos22022d15256)22143221(2.15324:22 yxD2222zyxz422yx 4.计算,d
3、22syxL其中L为圆周.22xayx 解解 参数方程计算,:L)20( txaoy)cos1 (2txatyasin2t则tyxsdd22 tad2syxLd22saxLddtaaa2cost1220dtta212cos2022duua022cosduua2022cos2.22a 第二型曲线积分的计算 1. 直接计算法 2. 利用格林公式化为二重积分计算格林公式：P(x,y)、Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，L+ 则DLdxdyyPxQQdyPdx)( 3.利用积分与路径无关的条件，选择便于积分的路径 D：单连域， P、Q在D 上具有一阶连续偏导数,且)(上在DyPxQ;QdyPdx
4、1L0与路径无关积分; 0QdyPdx 2Dc0任意.Qdy Pdx 30分是某一二元函数的全微5. 计算,d)(d)(22LyxyxyxI其中L 是沿逆时针方向以原点为中心,CoyxABL解法解法1 令,22xyQyxP则xQ这说明积分与路径无关, 故yxyxyxIABd)(d)(22aaxx d2332a1yPa 为半径的上半圆周.解法解法2 ,BA它与L所围区域为D,CoyxABLDyxdd0yxyxyxBAd)(d)(22xxaad2D(利用格林公式)332aBALyxyxyxId)(d)(22则添加辅助线段DyaLxo计算,d)2cos(d)2sin(LxxyyexyyeI其中L为上
5、半圆周, 0,)(222yayax(sin2 )d(cos2)dxxLIeyyxeyyBA2a沿逆时针方向.ABABL6.yxDdd22yPxQdxedxexax0)20cos(0sin0第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算yxDyxyxzzS ),( , ),(:曲面曲面上侧上侧,下侧下侧SyxRxzQzyPdddddd)(,(,()(,(,(yDxzyxzyxQzyxzyxPxy.),(,(dxdyyxzyxR（上侧正下侧负）上侧正下侧负）曲面曲面zyDzyzyxxS ),( , ),(:前侧前侧,后侧后侧SyxRxzQzyPIdddddd)(,),(),),(yDxzyzyxQzyz
6、yxPyzdydzxzyzyxRz)(,),(前侧正后侧负前侧正后侧负)xzDxzxzyyS ),( , ),(:右侧右侧,左侧左侧曲面曲面),(,()(),(,(zzxyxQyzzxyxPIzxDx.)(),(,(dzdxyzxzyxRzyxDyxyxzzS ),( , ),(: SyxzyxRdd),(yxDyxR),(),(yxzyxdd光滑曲面光滑曲面（上侧正下侧负）上侧正下侧负）(前侧正后侧负前侧正后侧负)zyDzyzyxxS ),( , ),(:光滑曲面光滑曲面 zyDSzyzyzyxPzyzyxPdd),),(dd),(前侧前侧后侧后侧（单值）（单值）（单值）（单值）小结小结:光
7、滑曲面光滑曲面 xzDxzxzyyS ),( , ),(:右侧右侧左侧左侧 xzDSxzzxzyxQxzzyxQdd),(,(dd),(右侧正左侧负右侧正左侧负) 7. 求求 其中其中S为上半球面为上半球面 .zxdxdyyzdzdxIS222yxRz 的上侧的上侧.解解 这里P=0，Q=yz，R=zx,zxfx,zyfy于是于是1)()(RfQfPyxzxzyyz.2222yxRxydxdyyxRxyIRyxD222:2222)(drrdrRrrRrD0,20:2222)cossin(drrRrddrrdRR22202003202cossin202202sin4sindd,44注意：注意：.
8、414RIRrDdrdr0,20:23sin(drdrRrRrD0,20:222cos. 0cos20dSyxzSdxdyyx2222z,e. 8为锥面其中计算1z及平面.2所围成的立体表面外侧及z1s2s3s 123SSS原式解解41222222yxyxdxdyyxe12222yxdxdyyxe422222yxdxdyyxexyz2120rdrredr1020rdrred20220rdrred.22e的解满足初始条件求微分方程1| 1dxdy . 9022xyxyyx ),1)(1 (dxdy 2xy原方程化为解dxx)1 (y1dy , 2得分离变量 ,得积分 ,21-xarctgy2Cx
9、 ,4C 1|y0 x代入求得以 故所求之解为内与路径在右半平面设曲线积分)0()(2)( 10.2xdyxxxfdxxyfL).(, 1) 1 ()(,xffxf求可导且其中无关有依题意列方程解之由恰当条件解,Q xyP,)(2yf(x)2yxxxxf2x,-(x)f2x2f(x)f(x) 即. 1)(21)(xfxdxxdf)1(ef(x) 212x1-dxeCdxxdx)(eln21ln21-dxeCxx)(e21ln21-dxxCx)32(x2321-xC .32x21-xC代入初始条件f(1)=1,得所以,31C.3132)(xxxf11.052)4( yyy求方程的通解. 解解:
10、特征方程, 052234特征根:i21, 04,321因此原方程通解为xCCy21)2sin2cos(43xCxCex14.0)4()5( yy解方程解解: 特征方程:, 045特征根 :1, 054321原方程通解:1CyxC223xC34xCxeC5(不难看出, 原方程有特解), 132xexxx试求且经过点处的斜率等于一曲线在点),01(,),(.12yxyx该曲线的方程 . 12xeyx解解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:yxxydd10 xy由 得,ddxyxy,)(, 1)(xxQxpCdxQeeypdxpdxCdxxeedxdxCdxxeexx)(Ce
11、xeexxx1xCex由 得 C = 2, 因此所求曲线方程为线性常系数非齐次微分方程线性常系数非齐次微分方程根据解的结构定理根据解的结构定理 , 其通解为其通解为Yy *y非齐次方程非齐次方程特解特解齐次方程齐次方程通解通解求特解的方法求特解的方法 待定系数法待定系数法)(xfyqypy ),(为常数qp 0fx 结论：结论：在（在（1）中，若）中，若),()(xpexfnx)(xfyqypy 则（则（1）具有形如）具有形如xnkexQxy)(*的特解，其中的特解，其中 与与 同次，同次，k按按 不是特征根、是不是特征根、是特征单根、是特征重根依次取特征单根、是特征重根依次取 0、1或或2.
12、)(xQn)(xpn特别是为常数）aaexfx()(xkbexy*特解 ,(x) 13. 且满足连续设函数xxxdttxdtttex00)()()( 解解)()()()(0 xxdttxxexxx(1) ,)(0 xxdtte再求导，得再求导，得.)()(xexx 初始条件为初始条件为(2) 1.(0) , 1)0( 特征方程与特征根为:, 012,2, 1i.sincos)( 21xCxCx故设不是特征根中自由项由于,1,)() 1 (xexf,)(*)(* ,)(*xxaexxaex ,21(*)a解得代入,21)(*xex (x). )()()(0求xxdttxtex对积分方程两边求导，
13、得.21sincos)( 21xexCxCx14: 设, 0)0(,d)()(0 xxuuxxex?)(x如何求提示提示: 对积分换元 ,uxt 令则有xxttex0d)()()()(xexx 解初值问题: xexx )()(,0)0(1)0(答案:xxexex41) 12(41)(xxexex21)1 (21)(级数的收敛、求和与展开级数的收敛、求和与展开 基本问题基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.15.判别下列级数的敛散性:;2) !() 1 (122nnn;2cos)2(132nnnn. )0,0()3(1sanansn解解;2) !() 1 (122nnn利用比值判别法
14、, 可知原级数发散.1322cos)2(nnnn用比值法, 可判断级数12nnn再由比较法可知原级数收敛 .收敛,: )0,0()3(1sanansn用比值判别法可知:时收敛 ;时, 与 p 级数比较可知时收敛;1s时发散.1s1a时发散.1a1a;1ln) 1()3(1nnnn16下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:;1) 1() 1(1npnn;sin) 1()2(1111nnnn.!2) 1()4(1nnnnnn . 1(-1),n1 ,1p1 1n1np0绝对收敛故收敛因时当解npn 1 , 1(-1) ,1p02 11n0npnpnn而收敛由莱布尼兹定理易知时当 , 发散.1(-1)
15、1n条件收敛所以npn),(0n1,0p 3p0n由于时当原级数发散原级数发散.;1) 1() 1(1npnn.110 ,11sin(-1) 111nnnn解,)1( 1n1收敛而n故原级数绝对收敛故原级数绝对收敛.;sin) 1()2(1111nnnn11ln) 1()3(nnnn)11(ln1lnnnnun因单调递减, 且但nnn1ln1nknkk1ln)1ln(lim)1ln(limnn所以原级数仅条件收敛 .kknk1ln1nlim由Leibniz判别法知级数收敛 ;0limnnu因nnuu1n121e所以原级数绝对收敛 .!2) 1()4(1nnnnnn11) 1()!1(2nnnn
16、nnnn!2!2) 1() 1(!) 1(22nnnnnnnnnnnnnn) 1(2nn)11 (12 求幂级数收敛域的方法求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论Rx 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性 .17.求下列级数的敛散区间:;)11 () 1 (12nnnxn.2)2(21nnnxn 1 解解:nnnnnna)11 (limlim当ex1因此级数在端点发散 ,enn1)11 (nneu nn)11 ( nn)11 ( )(01ne. )1,1(eee时,12)11 () 1 (nnnxn,1eR exe11即时原级数收敛 .故收敛区间为nnnxn212)2()()(lim1xuxunnn解解: 因) 1(2121nnxn22xnnxn22,122x当时，即22x,2时当x故收敛区间为. )2,2(级数收敛;一般项nun不趋于0,nlim级数发散; 18. 求幂级数.!) 12(1) 1(120的和函数nnnxnn解解先求出收敛区间, )(xS则xnnnxxxnnxxS01200d! ) 12(1) 1(d)(22
