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1、补充知识：矢量运算补充知识：矢量运算 目的及要求目的及要求:1掌握矢量、矢量运算法则；2理解单位矢量的定义，掌握矢量解析法；3从矢量角度深刻理解并掌握 速度速度、加速加速度度、力力、场强场强等概念及其计算。 1标量标量：只有大小和正负而无方向的量，如质量、时间、：只有大小和正负而无方向的量，如质量、时间、温度、功、能量。温度、功、能量。 表示：一般字母：表示：一般字母：m、t、T， 运算法则：代数法则运算法则：代数法则一、矢量和标量的定义及表示一、矢量和标量的定义及表示1单位A 表示：粗体字母表示：粗体字母A A 或或 ，其大小用，其大小用 A 或或 表示表示 。 AA0AAA0A叫做单位矢量
2、单位矢量；A也叫做也叫做模。模。矢量相等矢量相等 ：大小相等、方向相同的两矢量相等。大小相等、方向相同的两矢量相等。矢量平移后保持不变。矢量平移后保持不变。2矢量：矢量：既有大小又有方向的量，如位移、加速度、电场强度既有大小又有方向的量，如位移、加速度、电场强度二、矢量的加减法（几何法）二、矢量的加减法（几何法）1矢量的加法矢量的加法 平行四边形法则平行四边形法则 平移使起点重合平移使起点重合 作平行四边形作平行四边形 从起点从起点O作对角线作对角线就是就是合矢量合矢量 CBACBA已知： 、 ，求BBAO 大小大小: cos222ABBAC方向：方向： cossinarctanABAA co
3、sA sinA 矢量加法的其他法则矢量加法的其他法则 （1）多矢量相加时，可依次相加。）多矢量相加时，可依次相加。BAcEFFCECBABAcF （2）多边形法则：）多边形法则： 平移后首尾相接平移后首尾相接。（3）交换律）交换律 结合律结合律CBACBAABBA)()(A2矢量的减法矢量的减法)(-BABABBBAC矢量减法规律（自己总结）矢量减法规律（自己总结）矢量减法规律：矢量减法规律： 起点相同的两个矢量的差，就是起点相同的两个矢量的差，就是从减矢量的从减矢量的末端指向被减矢量的末端的矢量末端指向被减矢量的末端的矢量。三、矢量合成的解析法三、矢量合成的解析法（矢量投影（矢量投影 ，代数
4、运算，问题简化），代数运算，问题简化） 已知两个以上矢量求合矢量叫做矢量合成矢量合成，反之叫矢量分解矢量分解。 注：注：当一矢量分解为两分矢量时，有无限多组解，若先限定了两矢量的当一矢量分解为两分矢量时，有无限多组解，若先限定了两矢量的方向，则解答才是唯一的。因此，常将一矢量进行正交分解。方向，则解答才是唯一的。因此，常将一矢量进行正交分解。 1矢量的合成和分解矢量的合成和分解2矢量解析法矢量解析法 把矢量在特定坐标系中分解成沿坐标轴的分矢量，分矢量的把矢量在特定坐标系中分解成沿坐标轴的分矢量，分矢量的量值都是标量、方向沿量值都是标量、方向沿x、y、z，在同一坐标轴上的分矢量就可，在同一坐标轴
5、上的分矢量就可用用代数法则代数法则运算（可用正、负的数值表示分矢量，只有两个指运算（可用正、负的数值表示分矢量，只有两个指向），从而使问题简化。向），从而使问题简化。的方向一致。，方向与其大小，方向上的叫做，则若AAAAAAA1单位矢量0003. 矢量的正交分解矢量的正交分解（坐标表示）表示表示x、y、z 方向的单位矢量。方向的单位矢量。kAjAiAAAAAzyxzyx在直角坐标系中，常用在直角坐标系中，常用kji、 Ax= A cos、Ay= A cos、Az= A cos 222zyxAAAAxyOzijkxAyAzA1coscoscos222 A4矢量合成的解析法矢量合成的解析法所以所以
6、jAiAAyxjBiBByxxxxBACyyyBACBABA求如 图 ），（、已知已知然后然后将将BA、正交分解正交分解，其解析式为，其解析式为jBAiBABACyyxx)()(故故BOyxCAxAxByByA解：解：先先将将BA、用用平行四边形法则合成平行四边形法则合成CBAC22yxCCC大小大小方向方向xyCCarctan 而而jCiCCyx(由图由图 可得出可得出)jBAiBABAyyxx)()(四、矢量的乘法四、矢量的乘法物理中学常遇到两个矢量相乘的问题。物理中学常遇到两个矢量相乘的问题。 FssFWcos如图：如图：AmB 大小大小 mA方向方向。的方向一致；否则相反与ABm, 0
7、1. 矢量的数乘矢量的数乘两个矢量相乘得到一个标量的乘法叫点乘点乘，其乘积称为标积标积（点积）cosABBA、AB式中为两矢量 、 的夹角。2矢量的点乘矢量的点乘 标积标积方向上AB在BA等于 在B的模的乘积或等于A方向上的分量 cosB与AzzyyxxBABABABA讨论：讨论：（4）引入矢量标积后，功就可以表示为）引入矢量标积后，功就可以表示为sFsFWcos的模的乘积。的模的乘积。与与的分量的分量BA cos（3）标积满足交换律、分配律标积满足交换律、分配律CBACBAABBAA ) (（1）（2）特别注意：特别注意：02AAA3 3矢量的叉乘矢量的叉乘 矢积矢积 BAC讨论：讨论： 两
8、矢量相乘得到矢量的乘法叫叉乘叉乘，其乘积称为矢积矢积（叉积）ABc大小大小: sinABC 方向方向:垂直于 、 组成的平面，指向用右手螺旋法则确定。BA)(ABBA（2）AB Fr 力矩定义：FrM（3）rF sin的方向Fr（1）结合律）结合律zzyyxxBAkBAjBAiBA0 AACABACBA )( 五、矢量的导数和积分五、矢量的导数和积分1.矢量的导数矢量的导数xOzy)(1tA)(ttA2A)()(t1ttAtA2如图，当当t0时，有tAtAtddlim0可以证明ktAjtAitAtAzyxdddddddd2.矢量的积分矢量的积分若ktBj(tBitBtBtAzyx)()()(d
9、d则k ttBj t(tBi ttBttBzyx)d()d)d(d )(AkAjAiAzyxA对应环流环流通量通量 lAd sAd4 4、矢量相等、矢量相等1、矢量定义矢量定义2 2、矢量表示法、矢量表示法5 5、共线矢量、共线矢量3 3、零矢量、零矢量6 6、零矢量无方向对吗？、零矢量无方向对吗？Reviewing1、2、3、 aABa大小相同且方向相同的矢量叫相等矢量（或同一矢量方向相同或相反的非零矢量长度为零的矢量为零矢量不对！有方向且方向为任意方向具有大小和方向的量矢量的非法运算矢量的非法运算A1*矢量与标量不能相等矢量与标量不能相等 ！CBlnDecm152 BAB2cm10Thin
10、king一条小船从A地向东航行50 km到达B地,又从B地向北偏东30航行30 km到达C地。ABC相当于小船从相当于小船从A地出发沿直线到达地出发沿直线到达C地地矢量作业1. 矢量应如何正确表示？矢量应如何正确表示？2. 矢量减法满足什么规律（请附图说明）？矢量减法满足什么规律（请附图说明）？3. 写出矢量点乘的解析表达式。写出矢量点乘的解析表达式。4. 矢量叉乘的右手螺旋法则如何操作？矢量叉乘的右手螺旋法则如何操作？5. 已知已知：求求,22, 6ba baba32，夹角为与45ba6. 矢量的解析表示法给矢量运算带来什么好处？矢量的解析表示法给矢量运算带来什么好处？试举例说明（比如加减、乘法、微分及积分等）。试举例说明（比如加减、乘法、微分及积分等）。 baba32解： baba32bbbabaaa623bbbaaa686226362224，夹角为与45ba求 、已知22645cosbaba,22, 6ba 已知 当且仅当k为何值时，矢量 相互垂直？ 解：,34b,ababkak1与babkak1与 相互垂直的充要条件是：0)()(1babkak01bbkaak即：代入和将91622bbbaaa得：0916 kk34k
