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1、4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量大学物理大学物理Physics for institutePhysics for institute4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量PzOFrdFdFrMsin : 力臂力臂dFrM 对转轴对转轴 z 的力矩的力矩 F 一力矩一力矩 M 用来描述力对刚体用来描述力对刚体的转动作用的转动作用0, 0iiiiMFFF0, 0iiiiMFFF*4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量zOkFr讨论讨论FFFzFrkMzsin rFMzzFF （1）若力若力 不在转动平面内，把力分不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方
2、向的两个分量解为平行和垂直于转轴方向的两个分量 F 其中其中 对转轴的对转轴的力矩为零，故力矩为零，故 对转对转轴的力矩轴的力矩zFF4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量O（2）合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM （3）刚体内刚体内作用力作用力和和反作用力反作用力的力矩的力矩互相互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdijMjiM4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 例例1 有一大型水坝高有一大型水坝高110 m、长、长1 000 m ,水深水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所示水面与大坝表面垂直，如图所示. 求作用在大
3、坝上的力，以及这个力对通过大坝求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝基点基点 Q 且与且与 x 轴平行的力矩轴平行的力矩 .QyOxyOhxL4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 解解 设水深设水深h，坝长，坝长L，在坝面上取面积，在坝面上取面积元元 ，作用在此面积元上的力，作用在此面积元上的力yLAdd ypLApFdddyOhxyAdydQyOxL4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量)(0yhgpp令大气压为令大气压为 ，则，则 0pyLyhgpAPFd)(dd0hyLyhgpF00d)(代入数据，得代入数据，得N1091. 510FyOhxyAdyd2021
4、gLhLhpL4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量QyOyydFdhFyMdd 对通过点对通过点Q的轴的力矩的轴的力矩FdyLyhgpFd)(d0hyLyhgpyM00d)(3206121LhgLhp代入数据，得：代入数据，得：mN1014212 .M4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量Ormz二二 转动定律转动定律FtFnFrFMsinmrmaFttM （1）单个质点单个质点 与转轴刚性连接与转轴刚性连接m2mrM 2tmrrFM4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量2iejjjjrmMM（2）刚体刚体 质量元受质量元受外外力力 ，内内力力jFejFi
5、外外力矩力矩内内力矩力矩OzjmjrjFejFi2iejjjjjjrmMM0jijjiijMMM4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合合外力矩外力矩成正比，与刚体的成正比，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比.)rmMjjjj2e(转动定律转动定律JM 2jjjrmJ定义转动惯量定义转动惯量OzjmjrjFejFimrJd24- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量讨论讨论JM（2）tJJMdd（3）（1） 不变不变M，0转动定律转动定律JM 4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量三转动惯量三转
6、动惯量 J 的的意义：意义：转动惯性的量度转动惯性的量度 . 转动惯量的单位：转动惯量的单位：kgm22jjjrmJmrJd24- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量v 质量离散分布质量离散分布22222112jjjjrmrmrmrmJ J 的计算方法的计算方法 v 质量连续分布质量连续分布VrmrrmJVjjjdd222 ：质量元：质量元md ：体积元：体积元Vd4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量刚体的转动惯量与以下三个因素有关：刚体的转动惯量与以下三个因素有关：（3）与转轴的位置与转轴的位置有关有关（1）与刚体的体密度与刚体的体密度 有关有关（2）与刚体的几何形状
7、及体密度与刚体的几何形状及体密度 的分的分布有关布有关说说 明明4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量2mdJJCO四四 平行轴定理平行轴定理 质量为质量为 的刚体的刚体，如果对其质心轴的转动如果对其质心轴的转动惯量为惯量为 ，则对任一与则对任一与该轴平行该轴平行，相距为相距为 的的转轴的转动惯量转轴的转动惯量CJmddCOm4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量质量为质量为m，长为，长为L的细棒绕其一端的的细棒绕其一端的JP2221mRmRJP圆盘对圆盘对P 轴的转动惯量轴的转动惯量RmO2231)2(mLLmJJc2mdJJc2121mLJcO1d=L/2O1O2O
8、24- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量( (2) ) 为瞬时关系为瞬时关系 ( (3) ) 转动中转动中 与平动中与平动中 地位相同地位相同maF JM ( (1) ) , 与与 方向相同方向相同 JM M说明说明 转动定律应用转动定律应用JM 4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 例例2 质量为质量为mA的物体的物体A 静止在光滑水静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳平面上，和一质量不计
9、的绳索相连接，绳索跨过一半径为索跨过一半径为R、质量为、质量为mC的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为，并系在另一质量为mB 的物体的物体B上，上，B 竖竖直悬挂直悬挂滑轮与绳索间无滑动，滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计轴承间的摩擦力可略去不计( (1) )两物体的两物体的线加速度为多少？线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的水平和竖直两段绳索的张力各为多少？张力各为多少？( (2) ) 物体物体 B 从静止落下距从静止落下距离离 y 时，其速率是多少时，其速率是多少？4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量解解 ( (1) ) 用用隔离法分隔离
10、法分别对各物体作受力分析，别对各物体作受力分析，取如图所示坐标系取如图所示坐标系ABCAmBmCmAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmT2FT1FCPCF4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量amFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra yOT2FBPBmT2FT1FCPCFAPOxT1FNFAm4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF解得：解得：4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量如令如令 ，可得，可得BABAT2T1mmgmmFF （2） B由静止出发
11、作匀加速直线运动，由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率下落的速率2/22CBABmmmgymayv0Cm2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转转动试计算细杆转动到与竖直线成动试计算细杆转动到与竖直线成 角时角时的角加速度和角速度的角加速度和角速度例例3一长为一长为 l 、质量质量为为 m 匀质细杆竖直放置，匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链其下端与一固定铰链O相相接，并可绕其转动接，并可绕其转动由于由于此竖直放置的细杆处于非此竖直放置的细杆处于非m,lOmg4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得作用，由转动定律得NFJmglsin21式中式中231mlJ 得得sin23lgNFm,lOmg4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量ttdddddd由角加速度的定义由角加速度的定义lgdsin23d代入初始条件积分得代入初始条件积分得)cos1 (3lgddNFm,lOmg
