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1、3-1刚体刚体 刚体的定轴转动的描述刚体的定轴转动的描述 刚体是指在任何情况下，都没有形变的物体。刚体是指在任何情况下，都没有形变的物体。 当物体自身线度当物体自身线度l与所研究的物体运动的空间范围与所研究的物体运动的空间范围r相比不相比不可以忽略；物体又不作平动而作转动时，即必须考虑物体可以忽略；物体又不作平动而作转动时，即必须考虑物体的空间方位时，我们可以引入刚体模型。的空间方位时，我们可以引入刚体模型。 刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连续分布刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连续分布的质点系。的质点系。质点模型基本上只能表征物体的平动特征。质点模型基本上只能表征物体的
2、平动特征。平动和转动是刚体的两种基本运动形式。刚体的任何复杂平动和转动是刚体的两种基本运动形式。刚体的任何复杂运动都可以看成平动与转动的合成。运动都可以看成平动与转动的合成。本节讨论转动中最简单的运动定轴转动。本节讨论转动中最简单的运动定轴转动。一、一、 刚体刚体二、二、 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述 若物体在运动过程中，其所有的质元都绕某一直线作圆周运若物体在运动过程中，其所有的质元都绕某一直线作圆周运动，这种运动称之为转动。动，这种运动称之为转动。该直线称为该直线称为转轴。转轴。 若转动轴固定不动，即既不能改若转动轴固定不动，即既不能改变方向又不能平移，这个转轴为变方向又不能平移，
3、这个转轴为固固定轴定轴，这种转动称为，这种转动称为定轴转动定轴转动。 我们只讨论定轴转动。我们只讨论定轴转动。OZ、转动瞬轴、定轴转动、转动瞬轴、定轴转动 若转轴的方向或位置在运动若转轴的方向或位置在运动过程中变化，这个轴在某个时过程中变化，这个轴在某个时刻的位置称为该时刻的刻的位置称为该时刻的转动瞬转动瞬轴。轴。 垂直于转动轴的平面为垂直于转动轴的平面为转动平面。转动平面。 ）角量描述：）角量描述：d角位移角位移dtd角速度角速度 角加速度角加速度22dtddtd 由于这时组成刚体的各质点均在各自的转动平面内绕轴作圆周由于这时组成刚体的各质点均在各自的转动平面内绕轴作圆周运动，因此前面关于质
4、点圆周运动的全套描述方法，此处全部运动，因此前面关于质点圆周运动的全套描述方法，此处全部可用。可用。 以转动平面与轴的交点为原点，以转动平面与轴的交点为原点，任引一射线为极轴，原点引向考察任引一射线为极轴，原点引向考察点的矢径与极轴的夹角点的矢径与极轴的夹角 为角位置，为角位置，并引入并引入 0 x 2、 定轴转动的角量描述定轴转动的角量描述)刚体定轴转动的特点刚体定轴转动的特点所有质点的角量都相同所有质点的角量都相同 ；质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比 。 vriiarii2inira一、力矩一、力矩 1、力对固定点的力矩、力对固定点的力矩 1）定义：
5、作用于质点的力对）定义：作用于质点的力对惯性系中某参考点的力矩，惯性系中某参考点的力矩，等于力的作用点对该点的位等于力的作用点对该点的位矢与力的矢积，即矢与力的矢积，即FrM 力矩是矢量，力矩是矢量，M 的方向垂直于的方向垂直于r和和 F所决定的平面，其指向所决定的平面，其指向用右手螺旋法则确定。用右手螺旋法则确定。 2）力矩的单位、）力矩的单位、 牛牛米米(Nm)o MFmr3-2 力矩力矩 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律FrMzyxFFFzyxkjiMyzxzFyFMzxyxFzFMxyzyFxFM 3）力矩的计算：）力矩的计算： M 的大小、方向均与参考点的选择有关的大小、
6、方向均与参考点的选择有关sinFrM 在直角坐标系中，其表示式为在直角坐标系中，其表示式为)()(kFjFiFkzjyixzyxkyFxFjxFzFizFyFxyzxyz)()()(kMjMiMzyx 力矩在力矩在x,y,z轴的分量式，称轴的分量式，称力对轴的矩。力对轴的矩。例如上面所列例如上面所列 x , My , Mz , 即为力对轴、轴、轴的矩。即为力对轴、轴、轴的矩。 、力对轴的矩：、力对轴的矩：sinrFMz 设力设力 的作用线就在的作用线就在Z轴轴的转动平面内，作用点到的转动平面内，作用点到轴的位矢为轴的位矢为r，则力对轴，则力对轴的力矩为的力矩为rFrFFFrsinsinrFzM
7、F/F式中式中为力为力F到轴的距离到轴的距离若力的作用线不在转动在平面内，若力的作用线不在转动在平面内，则只需将力分解为与轴垂直、平行则只需将力分解为与轴垂直、平行的两个分力即可。的两个分力即可。rF1. 1.力对固定点的力矩为零的情况：力对固定点的力矩为零的情况：力力F等于零，等于零，力力F的作用线与矢径的作用线与矢径r共线（力共线（力F F的作用线穿过的作用线穿过0 0点点, , 即，有心即，有心 力对力心的力矩恒为零）。力对力心的力矩恒为零）。 2.2.力对固定轴的力矩为零的情况：力对固定轴的力矩为零的情况：。则力对该轴无力矩作用若力的作用线与轴相交若力的作用线与轴平行 有两种情况, ,
8、0MB）力的方向沿矢径的方向（ ）0sin有心力的力矩为零有心力的力矩为零FA)0F3.质点系内一对内力对任一点的力矩之矢量和为零质点系内一对内力对任一点的力矩之矢量和为零jiijff0jiijfrijjjiijifrfrMM00jijif)rr (jifijfirjr0ijr00jiMM二、刚体定轴转动的转动定律：二、刚体定轴转动的转动定律： iriFiim刚体绕定轴转动，在刚体上取一质元 ，绕轴作半径 的圆周运动，作用在质点上的合力矩imiriiiiiiiiMrFfrFr f2ii iMmr iiiiFfma 由牛顿第二定律可知则质点所受力矩2iiiii irFr fmr 2i iJmr
9、对刚体所受所有力矩求和得：由于刚体各质点相对轴距离不变，令2、刚体定轴转动的转动定理、刚体定轴转动的转动定理 作定轴转动的刚体，其转动角加速度与外力对该轴的力矩之作定轴转动的刚体，其转动角加速度与外力对该轴的力矩之和成正比，与刚体对该轴的转动惯量成反比。和成正比，与刚体对该轴的转动惯量成反比。其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质点运动中地位相当。其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质点运动中地位相当。 转动定律说明了转动定律说明了 J是物体转动惯性大小的量度。因为：是物体转动惯性大小的量度。因为：MJ一定时JMJ即即 J 越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动惯性越大的物体，保持原来转动状态
10、的性质就越强，转动惯性就越大；反之，就越大；反之，J越小，越容易改变其转动状态，保持原有状态越小，越容易改变其转动状态，保持原有状态的能力越弱，或者说转动惯性越小。的能力越弱，或者说转动惯性越小。 如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若若 受力和力矩一样，谁转动得快些呢？受力和力矩一样，谁转动得快些呢？ZZMJMM 转动惯量计算举例：转动惯量计算举例： 转动惯量的单位：千克转动惯量的单位：千克米米2（kgm2）4、转动惯量的计算、转动惯量的计算对于单个质点对于单个质点 2Jmr质点系质点系 21ni iiJmr22mmJr dmrdV若物体质量连
11、续分布若物体质量连续分布，解(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直22dJx dmx dx2222112llJdJx dxml例如图所示，求质量为例如图所示，求质量为m，长为，长为l的均匀细棒的转动惯量：的均匀细棒的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直；转轴通过棒的中心并与棒垂直；(2)转轴通过棒一端并与棒垂直转轴通过棒一端并与棒垂直.lm在棒上任取一质元，其长度为dx，距轴O的距离为x，设棒的线密度(即单位长度上的质量)为 ，则该质元的质量dmdx.该质元对中心轴的转动惯量为整个棒对中心轴的转动惯量为(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为22013lJx dxml由此看出
12、，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.解(1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图2.36(a)所示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距离为R，则该质元对转轴的转动惯量为考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为2dJR dm222mmJdJR dmRdmmR例设质量为例设质量为m m，半径为，半径为R R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量. .则整个圆盘对中心轴的转动惯量为232dJr dmr dr320122R
13、JdJr drmR (2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量.整个圆盘可以看成许多半径不同的同心圆环构成.为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，如图2.36(b)所示，其面积为dS2rdr，设圆盘的面密度(单位面积上的质量) ，则小圆环的质量dmdS2rdr，该小圆环对中心轴的转动惯量为2mR以上计算表明，质量相同，转轴位置相同的刚体，由于质量分布不同，转动惯量不同.(2)质量元的选取：质量元的选取：)(dldxdm或线分布线分布面分布面分布 dsdm体分布体分布 dvdm(1)刚体的转动惯量刚体的转动惯量 以上各例说明：以上各例说明：线分布线分布体分布体分布面分布面分布与刚体的总质
14、量有关，与刚体的总质量有关，与刚体的质量分布有关，与刚体的质量分布有关，与轴的位置有关。与轴的位置有关。 (3)由于刚体是一个特殊质点系，即各质点之间无相对位移，由于刚体是一个特殊质点系，即各质点之间无相对位移，对于给定的刚体其质量分布不随时间变化，故对于对于给定的刚体其质量分布不随时间变化，故对于 定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。例如图例如图 (a)所示，质量均为所示，质量均为m的两物体的两物体A，B. A放在倾角为放在倾角为的光滑的光滑斜面上，通过定滑轮由不可伸长的轻绳与斜面上，通过定滑轮由不可伸长的轻绳与B相连相连.定滑轮是半径为定滑轮是半径为R的
15、圆盘，的圆盘，其质量也为其质量也为m.物体运动时，绳与滑轮无相对滑动物体运动时，绳与滑轮无相对滑动.求绳中张力求绳中张力 和和 及物体及物体的加速度的加速度a(轮轴光滑轮轴光滑).1T2T1sinATmgma解物体A，B，定滑轮受力图见图2.37(b).对于作平动的物体A，B，分别由牛顿定律得2BmgTma1122,.TTTT又对定滑轮，由转动定律得21T RT RJ由于绳不可伸长，所以ABaaR212JmR又联立式，得12+3sin5Tmg2(1-sin)5ABaag23+2sin5Tmg例转动着的飞轮的转动惯量为例转动着的飞轮的转动惯量为J，在，在t0时角速度为时角速度为 .此后飞轮经历此
16、后飞轮经历制动过程，阻力矩制动过程，阻力矩M的大小与角速度的大小与角速度的平方成正比，比例系数为的平方成正比，比例系数为k(k为大为大于零的常数于零的常数)，当，当 时，飞轮的角加速度是多少？从开始制动到现时，飞轮的角加速度是多少？从开始制动到现在经历的时间是多少？在经历的时间是多少？0013解(1)由题知 ，故由转动定律有 2Mk 2kJ2kJ 即将 代入，求得这时飞轮的角加速度为013209kJ (2)为求经历的时间t，将转动定律写成微分方程的形式，即dMJJdt2dkJdt分离变量，并考虑到t0时， ，两边积分0001t320kdtJd 013故当 时，制动经历的时间为02.Jtk1、转动动能、转动动能212JkEikiEiiivm221iiirm2221iiirm22)(21 可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方 乘积的一半。乘积的一半。注意比较注意比较212kEJ转动动能转动动能Emvk122平动动能平动动能i质点的动能质点的动能 221iikivmE 整个刚体的动能整个刚体的动能 对对i 求和求和3-3 刚体定
